《圖論及其算法》為圖論的入門教材，介紹了圖論的基奉概念、基小定理和算法，共分9章。主要內容包括圖的基本概念、樹、距離與連通性、圖的遍歷問題、圖的匹配與獨立集、圖的染色、平面圖、網絡流、圖參數A（H）值等。小書將有向圖和無向圖融為一個整體，不僅介紹了圖論的基小原理，而且介紹了如何應用圖論方法解決實際問題，還強調了圖論算法，配合適當的例題和習題，并在書后附有部分習題的參考答案。小書概念清楚，立論嚴謹，所宵的證明和算法簡潔明了，通俗易懂。
《圖論及其算法》可作為高等院校計算機、數學、信息、電子、管理等專業的教材，還可作為相關專業人員的參考書。
圖論是研究離散對象二元關系中關系結構的一個數學分支，與群論、矩陣論、概率論、拓撲學、數值分析等其他數學分支有著密切的聯系，其廣闊的應用領域涵蓋了計算機科學、化學、物理學、運籌學、信息論、控制論、經濟學、心理學、環境保護領域等。同時，隨著這些學科的發展，特別是計算機科學的快速發展，又促進了圖論的發展。
圖論是一門極有趣味的學科，它最吸引人的地方是蘊含了豐富不俗的思想、漂亮的圖形和巧妙的證明，它涉及的問題廣泛，問題外表雖簡單樸素，本質上卻十分復雜深刻；其解決問題的方法千變萬化，靈活多樣。因此，各專業的學生都應該具有一定的圖論基礎，從而掌握一種強大而靈活的工具來分析和處理自己學科領域的問題。目前，圖論已經成為計算機科學、數學、運籌學、組合優化、機電等學科的基本課程之一。
本書介紹了圖論的基本概念、基本定理和算法，共分9章。主要內容包括圖的基本概念、樹、距離與連通性、圖的遍歷問題、圖的匹配與獨立集、圖的染色、平面圖、網絡流和圖參數A（H）值等。本書將有向圖和無向圖融為一個整體，不僅介紹了圖論的基本原理，也介紹了如何應用圖論方法解決實際問題，還強調了圖論算法，配有適當的例題和習題，并在書后附有部分習題的參考答案。
本書吸取了國內外許多優秀圖論著作的精華，結合了編者多年的教學經驗和本科生的特點，內容力求精煉，所有的證明和算法簡潔明了，通俗易懂，易于學生學習和教師的教學。
由于圖論不強調數值計算而強調證明技巧和解釋的清晰，所以許多問題都有多個證明，編者對這些證明精心選擇，深入淺出地介紹了圖論的證明技巧。
圖論和計算機科學之間有著千絲萬縷的聯系。由于算法的研究是計算機科學的核心，所以算法在現代圖論中占有舉足輕重的地位。本書介紹了圖論算法及其應用，計算機專業在教學中還可以引導學生編寫程序，上機實踐。
由于圖論是一門新興的學科，所以國內外許多圖論書籍出現了多個版本的術語和符號。本書在介紹圖論的基本概念、術語和結論時，選擇了最為通俗易懂的語言加以描述，符號力求清晰、簡潔、通用。在主題的挑選、順序的安排和題目的選擇上，遵循認知規律和由淺入深的原則，使讀者能輕松愉快地進入圖論的系統學習和研究。在內容的編排上，各章之間既相互聯系又自成體系，便于讀者學習和查閱，同時體現了教材的系統性和科學性。
全書共分9章，第1、2、9章由哈爾濱學院理學院李明哲編寫，第3、4、7章由牡丹江師范學院數學系金俊編寫，第5、6、8章由黑龍江科技學院理學院石端銀編寫，全書由李明哲主持編寫并負責統稿。哈爾濱學院蓋功琪仔細審閱了本書，并提出了許多寶貴意見。
在本書的編寫過程中得到了哈爾濱學院軟件學院院長賈宗福教授的熱誠幫助和指導，本書作為黑龍江省高教學會高等教育科學研究“十一五”規劃課題（項目編號：115C一901）的研究成果，在編寫過程中得到了�？蒲刑幍膸椭椭笇В诖吮硎局孕牡母兄x。
由于水平有限，書中不妥之處在所難免，殷切希望廣大讀者批評指正。
出版說明
前言
第1章 圖的基本概念
1.1 圖論發展簡史
1.2 圖的概念
1.2.1 圖
1.2.2 子圖
1.2.3 一些重要類型的圖
1.3 頂點的度和圖的同構
1.3.1 頂點的度
1.3.2 圖的同構
1.4 圖的運算
1.4.1 并與和
1.4.2 笛卡兒積
1.4.3 超立方體
1.4.4 網格
1.4.5 邊收縮
1.4.6 線圖
1.5 路和連通
1.5.1 路和回路的定義
1.5.2 連通性
1.6 有向圖
1.6.1 有向圖的概念
1.6.2 有向圖的度
1.6.3 有向網絡
1.6.4 有向圖的連通性
1.7 圖的矩陣表示
1.7.1 關聯矩陣
1.7.2 鄰接矩陣
1.7.3 距離矩陣
1.7.4 連通矩陣
1.7.5 特殊類型圖的鄰接矩陣
1.7.6 有向圖的矩陣表示
1.8 習題
第2章 樹
2.1 樹的基本性質
2.1.1 樹的概念
2.1.2 樹的性質
2.1.3 樹的度序列與同構
2.1.4 樹的葉子數
2.1.5 有向樹
2.2 生成樹
2.2.1 生成樹的概念
2.2.2 生成樹的計數
2.3 最優生成樹
2.3.1 Kmskal算法
2.3.2 Prim算法
2.3.3 破圈法
2.4 深度優先搜索與廣度優先搜索
2.4.1 深度優先搜索
2.4.2 廣度優先搜索
2.5 最優二元樹與前綴碼
2.5.1 最優二元樹
2.5.2 前綴碼
2.6 樹的Pmfer編碼
2.7 習題
第3章 距離與連通性
3.1 圖的距離
3.1.1 離徑、中心、半徑與直徑
3.1.2 樹的中心
3.1.3 自補圖與距離
3.2 圖的連通性
3.2.1 點連通度、邊連通度
3.2.2 點、邊連通度的性質
3.2.3 塊
3.3 連通圖
3.3.1 k.連通圖
3.3.2 2.連通圖
3.3.3 Menger定理
3.4 最短路算法
3.4.1 從一個始點到一個終點的最短路
3.4.2 任意兩點問的最短路
3.5 習題
第4章 圖的遍歷問題
4.1 歡拉圖
4.1.1 歐拉圖的相關定義
4.1.2 一筆畫問題
4.1.3 七筆畫問題
4.2 中國郵遞員問題
4.3 哈密爾頓圖
4.4 格雷碼
4.5 旅行售貨員問題
4.6 E-圖與H-圖的關系
4.7 習題
第5章 圖的匹配與獨立集
5.1 二分圖
5.2 圖的匹配
5.3 二分圖的匹配
5.3.1 二分圖的完全匹配
5.3.2 二分圖最大匹配的生成算法
5.4 最優匹配
5.4.1 求最優匹配的Kuhn-Munkres算法
5.4.2 求最小基數最優匹配的算法
5.5 穩定匹配
5.6 獨立集和覆蓋
5.7 Ramsey數
5.7.1 Ramsey定理
5.7.2 一般化的Ramsey數
5.8 習題
第6章 圖的染色
6.1 頂點染色
6.1.1 色數
6.1.2 色數的一個算法
6.2 邊染色
6.2.1 邊色數的概念
6.2.2 Vizing定理
6.3 色多項式
6.4 圖染色的應用
6.4.1 點染色的實際應用
6.4.2 邊染色的實際應用
6.5 習題
第7章 平面圖
7.1 平面圖的概念及Euler公式
7.1.1 平面圖的概念
7.1.2 Euler公式
7.2 一些特殊平面圖及平面圖的對偶圖
7.2.1 一些特殊平面圖
7.2.2 對偶圖
7.3 Kuratowsk定理
7.4 平面性算法
7.5 五色定理和四色猜想
7.6 習題
第8章 網絡流
8.1 流與割
8.2 最大流最小割定理
8.3 最大流問題的算法
8.3.1 最大流問題的標號算法(2F算法)
8.3.2 最大流問題的最短增廣路算法
8.4 Menger定理
8.5 最小費用流問題
8.6 最小費用流問題的算法
8.6.1 負回路算法
8.6.2 最小費用路算法
8.7 習題
第9章 圖參數A(H)值
9.1 圖參數A(H)
9.1.1 圖參數A(H)的概念
9.1.2 2-圖
9.1.32-圖母圖的結構
9.1.4 3-圖的存在性
9.1.5 3-圖的推廣
9.2 樹的A(T)值
9.2.1 關于樹的A(T)值的結論
9.2.2 由樹構造的A(H)=3圖
9.2.3 方法證明
9.3 頂點數不超過7的圖按參數A(H)的分類
9.3.1 頂點數不超過7的3一圖
9.3.2 頂點數不超過7的4一圖
9.3.3 |V(H)|≤7的圖按A(H)值的分類
9.4 習題
附錄
附錄A部分習題參考答案
第1章習題答案
第2章習題答案
第3章習題答案
第4章習題答案
第5章習題答案
第6章習題答案
第7章習題答案
第8章習題答案
第9章習題答案
附錄B本書符號列表
參考文獻
因為理論物理學研究的需要，所以在這個學科內不止一次地發現過圖論。烏倫伯克（uhlenbeck）在統計力學的研究中用點來代表分子，兩個點的鄰接表示存在某種物理形式的最鄰近的相互作用，如磁的吸力或斥力。在李政道和楊振寧的類似解釋中，點代表歐幾里得空間的小立方體，其中每一個立方體可能被一個分子占有或者不被分子占有。于是，兩個點鄰接就表示兩個空間都被占有。另外，物理學還用圖論來作為一種圖形的表示方法。在范曼（Fevnmanon）提出的圖解中，點代表物理粒子，線代表粒子碰撞后的路線。
在概率論中，馬爾可夫鏈的研究引進了有向圖，它的意思是：點代表事件，一條從一個點到另外一個點的有向線表示這兩個事件直接相繼有正的概率。研究中，直接定義一個馬爾可夫鏈是一個網絡，其中從每一個點出發的所有有向線的值的和是1。有向圖有一種類似的表示法出現在數值分析的矩陣求逆和特征值計算的部分中，瓦爾加（Varga）給出了一些例子。對于一個給定的矩陣，特別是“稀疏的”矩陣，可以用如下的方式構成一個有向圖：用點來代表給定的矩陣的行與列的指標，當矩陣的i、j元非零時有一條從點f到點.，的有向線。這種方法與處理馬爾可夫鏈的方法有相似性。
線性規劃與運籌學的領域里也利用圖論的方法研究網絡上的流的形式。一個圖的點表示某種貨物可以儲藏或裝船的實際位置，從一處到另一處的一條有向線和記在這條線上的一個正數代表一條運輸貨物的水道和它的能力，這個能力給出可以同時通過的最大允許數量。
科技的迅猛發展向圖論提出了越來越多的需要解決的問題，使圖論在科學界非�；钴S。尤其是計算機科學的快速發展，為圖論及其算法的實現提供了強大的計算與證明的手段，有力地推動了圖論的發展，而圖論在開關理論、數據結構、操作系統、形式語言、計算機網絡、編譯程序、人工智能等方面亦有顯著貢獻。
目前，圖論領域形成了兩個研究方向：一個是以研究圖的性質為主，稱之為抽象圖論；另一個是以研究圖的算法為主，稱之為算法圖論，也稱為網絡最優化。本書中不僅介紹了圖論的基本原理，還介紹了圖論算法及其應用。
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