可積模型又被稱為精確可解模型。它們不但具有優美的數學結構，還具有豐富的物理內涵，在物理和數學的多個領域，例如凝聚態物理、統計物理、粒子物理和量子群中都具有重要應用。本書介紹了可積模型的基本方法和典型問題中的應用，包括：BetheAnsatz惙椒ń檣埽孔傭嗵逑低常嗵邐錮碇諧Ｓ玫腖ieb-Liniger模型，共形場論，準確可解系統，以及非線性薛定諤可積系統中光怪波物理。這些內容在量子場理論，低維凝聚態物理學，統計物理學
目錄
前言
第1章 Bethe Ansatz 方法簡介 1
1.1 可積性概述 1
1.2 自旋鏈模型 4
1.2.1 坐標 Bethe Ansatz 4
1.2.2 基態及低能元激發 9
1.2.3 熱力學性質 15
1.2.4 代數 Bethe Ansatz 20
1.2.5 開邊界問題 26
1.2.6 反射代數 Bethe Ansatz 31
1.2.7 非對角 Bethe Ansatz 39
1.2.8 近藤問題 52
1.2.9 各向異性 56
1.3 嵌套的代數 Bethe Ansatz 60
1.4 SU(4) 對稱自旋梯子模型 66
1.5 自旋為 1 的玻色氣體 70
參考文獻 77
第2章 Lieb-Liniger 模型：多體物理之美 79
2.1 引言 79
2.2 Bethe 假設 80
2.3 基態行為 86
2.4 弱相互作用：半圓律 88
2.5 強相互作用: 費米化 90
2.6 元激發：集體運動 92
2.7 Yang-Yang 熱力學方法 96
2.8 Lieb-Liniger 模型中的量子統計 99
2.9 普適的熱力學行為 104
2.10 Luttinger 液體理論 108
2.11 量子臨界性 111
2.12 關聯函數 114
2.13 關于 Lieb-Liniger 玻色氣體的實驗發展 120
參考文獻 124
第3章 共形場論入門 126
3.1 共形變換 126
3.1.1 d 維共形變換 127
3.1.2 二維共形變換 132
3.1.3 Witt 代數 133
3.1.4 共形子代數 135
3.1.5 元場的多點函數 136
3.1.6 二維共形代數的中心擴張 137
3.1.7 守恒量與能{動張量 138
3.2 幾個常用概念 140
3.2.1 徑向積 141
3.2.2 算子積展開 143
3.2.3 正規積 145
3.2.4 能{動張量展開 146
3.3 共形場：舉例 147
3.3.1 自由玻色子 148
3.3.2 頂點算子 150
3.3.3 su(2)1 代數 152
3.3.4 自由費米子 152
3.3.5 鬼系統 155
3.3.6 中心荷 157
3.4 態 158
3.4.1 最高權態 159
3.4.2 嗣場 161
3.4.3 Kac 行列式和酉表示 163
3.4.4 極小模型 168
3.4.5 Virasoro 特征標 170
3.5 有理共形場 171
3.5.1 伊辛模型 171
3.5.2 融合代數 173
3.5.3 共形塊的交換關系 176
3.5.4 流代數 177
3.5.5 W-代數 178
3.5.6 結語 180
參考文獻 181
第4章 類非線性薛定諤可積系統中光怪波物理 184
4.1 光怪波物理簡介 184
4.1.1 怪波現象 184
4.1.2 理論解釋 186
4.1.3 研究進展 188
4.2 類非線性薛定諤可積模型方法 192
4.2.1 達布變換 193
4.2.2 相似變換 200
4.2.3 調制不穩定性 203
4.3 高斯背景上光怪波的激發 207
4.3.1 高斯背景上光怪波精確解 207
4.3.2 怪波激發性質 210
4.4 高階效應誘發光學局域波態轉換 214
4.4.1 調制不穩定性分析 216
4.4.2 局域波精確解構造 219
4.4.3 一階怪波與孤子的態轉換 221
4.4.4 二階怪波與孤子的態轉換 225
4.4.5 呼吸子與其他非線性波的態轉換 229
4.4.6 Kuznetsov-Ma 呼吸子與單峰孤子的態轉換 232
4.4.7 一般呼吸子與多峰孤子的態轉換 233
參考文獻 235
第5章 Introduction to Exactly Solvable Quantum Many-body Systems (精確可解量子多體系統導論) 245
5.1 Introduction (引言) 246
5.2 1-Degree of Freedom System (單自由度系統) 251
5.2.1 Factorised Hamiltonian (因式化哈密頓量) 251
5.2.2 Intertwining Relations: Crum's Theorem (交互關系: Crum's 定理) 253
5.2.3 Five Typical Solvable Potentials (五種典型的可解勢) 255
5.2.4 Shape Invariance: Sufficient Condition of Exact Solvability (形狀不變性: 完全可解性的充分條件) 261
5.2.5 Solvability in the Heisenberg Picture (海森伯繪景下的可解性) 264
5.2.6 Difference Schrodinger Equations (差分薛定諤方程) 269
5.2.7 From One Particle to Many Particles (從單粒子到多粒子) 278
5.2.8 Reffeection Groups and Root Systems (反射群和根系) 279
5.3 Calogero-Sutherland Systems (Calogero-Sutherland 系統) 283
5.3.1 Simplest Cases (Based on Ar-1 Root System) (幾個簡單的例子 (基于 Ar-1 根系)) 283
5.3.2 Universal Formalism (普適形式) 287
5.3.3 Jack Polynomials (Jack 多項式) 299
5.4 Multi-Particle QM with Difference Schrodinger Equations (差分薛定諤方程中的多粒子量子力學) 305
5.4.1 Ruijsenaars-Schneider Systems (Ruijsenaars-Schneider 系統) 307
5.4.2 Macdonald Polynomials (Macdonald 多項式) 308
5.5 Comments and Discussion (總結和討論) 313
5.6 Appendix: Symbols, Definitions & Formulas (附錄: 符號、定義和公式) 314
參考文獻 315
第6章 Quasi-Exactly Solvable Systems (準精確可解系統) 322
6.1 Exact Solvability Versus Quasi-Exact Solvability (精確可解性與準精確可解性) 322
6.2 Generalities: Characterization of QES Operators (概論: 準精確可解算符的特性) 323
6.3 Lie Algebra Approach (李代數方法) 324
6.4 Relationship Between 2nd-order Differential Operator and Schrodinger Operator (二階差分算符和薛定諤算符的關系) 328
6.5 Examples of QES Systems with Lie Algebraization (準精確可解系統李代數化的例子) 329
6.5.1 Sextic Potential (六次勢) 329
6.5.2 Harmonic Oscillator (諧振子) 331
6.5.3 Lame Equation (Lame 方程) 331
6.5.4 QES Quartic Potential (準精確可解的四次勢) 333
6.5.5 Quantum (Driven) Rabi Model (量子驅動的 Rabi 模型) 335
6.6 Stackel Transform and Coupling Constant Metamorphosis (Stackel 變換和耦合常數變形) 338
6.6.1 Two Electrons in External Oscillator Potential (諧振外勢中的兩電子體系) 338
6.6.2 2D Hydrogen in Uniform Magnetic Field (均勻磁場中的二維氫原子) 340
6.6.3 Hooke Atom: Two Planar Charged Particles in Uniform Magnetic Field (Hooke 原子: 均勻磁場中的兩個平面帶電粒子) 341
6.6.4 Two Coulombically Repelling Electrons on a Sphere (球面上的兩個具有庫侖排斥勢的電子) 343
6.6.5 Inverse Sextic Power Potential (逆六次勢) 344
6.7 Solutions to QES: Bender-Dunne Polynomials (精確解: Bender-Dunne 多項式) 346
6.8 3-term Recurrence Relation and Continued Fractions (3 項遞歸關系和連分式) 348
6.8.1 Bargmann-Hilbert Spaces (Bargmann-Hilbert 空間) 351
6.8.2 2-photon Quantum Rabi Model (兩光子量子 Rabi 模型) 352
6.8.3 Two-mode Quantum Rabi Model (雙模量子 Rabi 模型) 358
6.9 Solutions to QES Differential Equations: Heine-Stieltjes Polynomials (準精確可解差分方程的解: Heine-Stieltjes 多項式) 362
6.10 Solutions to QES Systems: Functional Bethe Ansatz Method (準精確可解系統的解: Bethe Ansatz 方法) 365
6.11 Examples of Solutions of QES Models (準精確可解模型的解的一些例子) 370
6.11.1 Bose-Hubbard Dimer with Local M-body Interaction (Bose-Hubbard二聚體中的局域多體相互作用) 370
6.11.2 BA Solutions of the Driven Rabi Model (驅動 Rabi 模型的Bethe Ansatz 解) 372
6.11.3 BA Solutions of Two Electrons on a Sphere (球面上兩電子的Bethe Ansatz 解) 374
6.11.4 BA Solutions of the Inverse Sextic Power Potential (逆六次勢的Bethe Ansatz 解) 375
6.11.5 Kink Stability Analysis of the á6-type Field Theory (á6 型場論的扭結穩定性) 377
6.12 Realization of gl(M) in Fock Spaces and Bargmann-Hilbert Spaces(gl(M) 在 Fock 空間和 Bargmann-Hilbert 空間中的表示) 380
參考文獻 382
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