本書原為麻省理工學院計算機科學與工程專業的數學課程講義，谷歌技術專家參與編寫，涵蓋計算機科學涉及的全部基礎數學知識，包括形式邏輯符號、數學證明、歸納、集合與關系、圖論基礎、排列與組合、計數原理、離散概率、遞歸等，特別強調數學定義、證明及其應用方法。本書因具有系統、完整，以及有趣、易讀等明顯優勢，現已被全球IT技術相關從業者及準從業者奉為圭臬、廣泛傳閱，在人工智能日益普及的全新信息時代，更是大放異彩。本書適合計算機相關專業學生及從業人員作為數學入門教材，亦可作為統計、機器學習、數據挖掘等課程的寶貴資料。
唐李洋女，博士，畢業于合肥工業大學管理科學與工程系。現就職于中國電子科技集團公司第三十八研究所，曾游學美國，數據挖掘與大數據分析研究經驗頗豐，在相關領域重要國際期刊及會議發表論文數篇。譯有《高可用MySQL》（第1版和第2版）、《R高性能編程》、《大數據猩球：海量數據處理實踐指南》、《流式架構：Kafka與MapR Streams數據流處理》等圖書。劉杰男，博士，南開大學教授、博士生導師。研究領域包括機器學習與數據挖掘方面的理論方法研究，以及面向信息抽取、網絡挖掘、對話生成等問題的應用研究。在機器學習、數據挖掘領域重要國際期刊及會議發表論文多篇。擔任中國計算機學會中文信息技術專家委員會、中國計算機學會大數據專家委員會、人工智能學會機器學習專家委員會等多個專家委員會委員及通訊委員。相關成果獲得天津市科技進步二等獎兩項。 譚昶男，博士，畢業于中國科學技術大學計算機應用與技術系。現任科大訊飛股份有限公司大數據研究院執行院長兼智慧城市事業群副總裁，中國計算機學會公共政策委員會執行委員及大數據專家委員會委員。負責科大訊飛公司智慧城市、計算廣告和個性化推薦等方向的大數據核心技術研發及應用推廣工作，在大數據技術、個性化推薦方面有著多年的研究和實踐經驗。 金博男，博士，大連理工大學教授。致力于數據挖掘、大數據分析、創新管理、商務智能等領域的科學研究。主持和參與多項國家級和省部級課題，在相關領域重要國際期刊及會議上發表論文60余篇，并擔任數據挖掘領域三大頂級會議KDD、ICDM、SDM的程序委員會委員，是ACM、IEEE和CCF高級會員。馬海平女，博士，畢業于中國科學技術大學計算機科學與技術系。現就職于科大訊飛股份有限公司，擔任大數據研究院研究主管，從事數據挖掘與人工智能算法以及計算廣告和個性化教育等領域的研究工作。在國際知名期刊和學術會議發表論文7篇，合著出版著作《Spark機器學習進階實戰》《Spark核心技術與高級應用》。 朱琛男，碩士，畢業于中國科學技術大學，百度資深數據挖掘工程師。現就職于百度人才智庫（Talent Intelligence Center），從事人力資源智能化研究，致力于用AI為HR賦能。研究方向包括文本數據挖掘、社交網絡分析、圖數據挖掘。在國際頂尖會議與期刊雜志發表論文十余篇，申請專利十余項，曾擔任數個國際頂級會議（KDD、SDM等）程序委員會委員。
目錄
第I部分 數學證明
引言 3
0.1 參考文獻 4
第1章 什么是證明 5
1.1 命題 5
1.2 謂詞 8
1.3 公理化方法 8
1.4 我們的公理 9
1.4.1 邏輯推理 9
1.4.2 證明的模式 10
1.5 證明蘊涵 10
1.5.1 方法#1 11
1.5.2 方法#2：證明逆反命題 12
1.6 證明“當且僅當” 13
1.6.1 方法#1：證明兩個語句相互蘊涵 13
1.6.2 方法#2：構建iff鏈 13
1.7 案例證明法 14
1.8 反證法 15
1.9 數學證明的優秀實踐 16
1.10 參考文獻 18
1.1節習題 18
1.5節習題 21
1.7節習題 21
1.8節習題 23
第2章 良序原理 26
2.1 良序證明 26
2.2 良序證明模板 27
2.2.1 整數求和 27
2.3 質因數分解 29
2.4 良序集合 29
2.4.1 不一樣的良序集合（選學） 30
2.2節習題 31
2.4節習題 38
第3章 邏輯公式 40
3.1 命題的命題 41
3.1.1 NOT，AND和OR 41
3.1.2 當且僅當 42
3.1.3 IMPLIES 42
3.2 計算機程序的命題邏輯 44
3.2.1 真值表計算 45
3.2.2 符號表示 46
3.3 等價性和有效性 47
3.3.1 蘊涵和逆否 47
3.3.2 永真性和可滿足性 48
3.4 命題代數 49
3.4.1 命題范式 49
3.4.2 等價性證明 50
3.5 SAT問題 53
3.6 謂詞公式 54
3.6.1 量詞 54
3.6.2 混合量詞 55
3.6.3 量詞的順序 56
3.6.4 變量與域 56
3.6.5 否定量詞 57
3.6.6 謂詞公式的永真性 57
3.7 參考文獻 58
3.1節習題 59
3.2節習題 61
3.3節習題 65
3.4節習題 68
3.5節習題 69
3.6節習題 71
第4章 數學數據類型 79
4.1 集合 79
4.1.1 常用集合 80
4.1.2 集合的比較和組合 80
4.1.3 冪集 81
4.1.4 集合構造器標記 82
4.1.5 證明集合相等 82
4.2 序列 83
4.3 函數 84
4.3.1 域和像 84
4.3.2 函數復合 86
4.4 二元關系 86
4.4.1 關系圖 87
4.4.2 關系的像 89
4.5 有限基數 90
4.5.1 有限集有多少個子集 91
4.1節習題 92
4.2節習題 96
4.4節習題 97
4.5節習題 105
第5章 歸納法 107
5.1 一般歸納法 107
5.1.1 一般歸納法的規則 108
5.1.2 舉例說明 108
5.1.3 歸納法證明的模板 109
5.1.4 一般歸納法的簡潔寫法 110
5.1.5 更復雜的例子 111
5.1.6 錯誤的歸納證明 113
5.2 強歸納法 115
5.2.1 強歸納法的規則 115
5.2.2 斐波那契數列 116
5.2.3 質數的乘積 117
5.2.4 找零問題 118
5.2.5 堆盒子游戲 119
5.3 強歸納法、一般歸納法和良序法的比較 120
5.1節習題 121
5.2節習題 131
第6章 狀態機 136
6.1 狀態和轉移 136
6.2 不變性原理 137
6.2.1 沿對角線移動的機器人 137
6.2.2 不變性原理的定義 139
6.2.3 示例：《虎膽龍威》 141
6.3 偏序正確性和終止性 143
6.3.1 快速求冪 143
6.3.2 派生變量 145
6.3.3 基于良序集合的終止性（選學） 146
6.3.4 東南方向跳躍的機器人（選學） 146
6.4 穩定的婚姻 147
6.4.1 配對儀式 148
6.4.2 我們結婚吧 150
6.4.3 他們從此幸福地生活在一起 150
6.4.4 竟然是男性…… 151
6.4.5 應用 152
6.3節習題 153
6.4節習題 165
第7章 遞歸數據類型 172
7.1 遞歸定義和結構歸納法 172
7.1.1 結構歸納法 174
7.2 匹配帶括號的字符串 175
7.3 非負整數上的遞歸函數 179
7.3.1 N上的一些標準遞歸函數 179
7.3.2 不規范的函數定義 179
7.4 算術表達式 181
7.4.1 Aexp的替換和求值 181
7.5 計算機科學中的歸納 185
7.1節習題 185
7.2節習題 193
7.3節習題 201
7.4節習題 202
第8章 無限集 206
8.1 無限基數集 206
8.1.1 不同之處 209
8.1.2 可數集 209
8.1.3 冪集的勢嚴格大于原集合 211
8.1.4 對角線證明 213
8.2 停止問題 214
8.3 集合邏輯 217
8.3.1 羅素悖論 217
8.3.2 集合的ZFC公理系統 218
8.3.3 避免羅素悖論 220
8.4 這些真的有效嗎 220
8.4.1 計算機科學中的無窮大 221
8.1節習題 221
8.2節習題 228
8.3節習題 233
8.4節習題 236
第Ⅱ部分 結構
引言 241
第9章 數論 242
9.1 整除 242
9.1.1 整除的性質 243
9.1.2 不可整除問題 244
9.1.3 虎膽龍威 245
9.2 最大公約數 247
9.2.1 歐幾里得算法 247
9.2.2 粉碎機 249
9.2.3 水壺問題的通解 251
9.2.4 最大公約數的性質 252
9.3 質數的奧秘 253
9.4 算術基本定理 255
9.4.1 唯一分解定理的證明 256
9.5 阿蘭·圖靈 257
9.5.1 圖靈編碼（1.0版） 258
9.5.2 破解圖靈編碼（1.0版） 260
9.6 模運算 260
9.7 余運算 262
9.7.1 環Z_n 264
9.8 圖靈編碼（2.0版） 265
9.9 倒數與約去 266
9.9.1 互質 267
9.9.2 約去 268
9.9.3 解密（2.0版） 268
9.9.4 破解圖靈編碼（2.0版） 269
9.9.5 圖靈后記 269
9.10 歐拉定理 271
9.10.1 計算歐拉?函數 273
9.11 RSA公鑰加密 274
9.12 SAT與RSA有什么關系 276
9.13 參考文獻 277
9.1節習題 277
9.2節習題 278
9.3節習題 285
9.4節習題 285
9.6節習題 287
9.7節習題 288
9.8節習題 293
9.9節習題 293
9.10節習題 295
9.11節習題 303
第10章 有向圖和偏序 309
10.1 頂點的度 311
10.2 路和通路 311
10.2.1 查找通路 313
10.3 鄰接矩陣 314
10.3.1 最短路徑 315
10.4 路關系 316
10.4.1 復合關系 316
10.5 有向無環圖＆調度 317
10.5.1 調度 318
10.5.2 并行任務調度 320
10.5.3 Dilworth引理 322
10.6 偏序 323
10.6.1 DAG中路關系的性質 323
10.6.2 嚴格偏序 324
10.6.3 弱偏序 325
10.7 用集合包含表示偏序 326
10.8 線性序 327
10.9 乘積序 327
10.10 等價關系 328
10.10.1 等價類 328
10.11 關系性質的總結 329
10.1節習題 330
10.2節習題 331
10.3節習題 334
10.4節習題 335
10.5節習題 338
10.6節習題 344
10.7節習題 347
10.8節習題 349
10.9節習題 352
10.10節習題 354
第11章 通信網絡 357
11.1 路由 357
11.1.1 完全二叉樹 357
11.1.2 路由問題 358
11.2 路由的評價指標 358
11.2.1 網絡直徑 358
11.2.2 交換機的數量 359
11.2.3 網絡時延 359
11.2.4 擁塞 360
11.3 網絡設計 361
11.3.1 二維陣列 361
11.3.2 蝶形網絡 362
11.3.3 Benes ?網絡 363
11.2節習題 368
11.3節習題 368
第12章 簡單圖 373
12.1 頂點鄰接和度 373
12.2 美國異性伴侶統計 375
12.2.1 握手引理 376
12.3 一些常見的圖 377
12.4 同構 378
12.5 二分圖與匹配 380
12.5.1 二分匹配問題 380
12.5.2 匹配條件 381
12.6 著色 384
12.6.1 一個考試安排問題 384
12.6.2 一些著色邊界 386
12.6.3 為什么著色 387
12.7 簡單路 388
12.7.1 簡單圖中的路、通路和圈 388
12.7.2 圈作為子圖 389
12.8 連通性 390
12.8.1 連通分量 390
12.8.2 奇數長度的圈和2-著色性 391
12.8.3 k–連通圖 392
12.8.4 連通圖的最小邊數 393
12.9 森林和樹 394
12.9.1 葉子、父母和孩子 394
12.9.2 性質 395
12.9.3 生成樹 397
12.9.4 最小生成樹 397
12.10 參考文獻 401
12.2節習題 402
12.4節習題 403
12.5節習題 406
12.6節習題 411
12.7節習題 418
12.8節習題 420
12.9節習題 424
第13章 平面圖 431
13.1 在平面上繪制圖形 431
13.2 平面圖的定義 433
13.2.1 面 434
13.2.2 平面嵌入的遞歸定義 436
13.2.3 這個定義行嗎 438
13.2.4 外表面在哪里呢 438
13.3 歐拉公式 439
13.4 平面圖中邊的數量限制 440
13.5 返回到K_5和K_3,3 441
13.6 平面圖的著色 442
13.7 多面體的分類 443
13.8 平面圖的另一個特征 445
13.2節習題 446
13.8節習題 447
第Ⅲ部分 計數
引言 455
第14章 求和與漸近性 457
14.1 年金的值 458
14.1.1 錢未來的價值 458
14.1.2 擾動法 459
14.1.3 年金價值的閉型 460
14.1.4 無限長的等比數列 460
14.1.5 示例 461
14.1.6 等比數列求和的變化 462
14.2 冪和 463
14.3 估算求和式子 465
14.4 超出邊界 468
14.4.1 問題陳述 468
14.4.2 調和數 471
14.4.3 漸近等式 473
14.5 乘積 474
14.5.1 斯特林公式 475
14.6 雙倍的麻煩 477
14.7 漸近符號 479
14.7.1 小o 479
14.7.2 大O 479
14.7.3 θ 481
14.7.4 漸近符號的誤區 482
14.7.5 Ω（選學） 484
14.1節習題 484
14.2節習題 486
14.3節習題 486
14.4節習題 488
14.7節習題 490
第15章 基數法則 499
15.1 通過其他計數來計算當前計數 499
15.1.1 雙射規則 499
15.2 序列計數 500
15.2.1 乘積法則 501
15.2.2 n-元素集合的子集 501
15.2.3 加和法則 502
15.2.4 密碼計數 502
15.3 廣義乘積法則 503
15.3.1 有缺陷的美元鈔票 504
15.3.2 一個象棋問題 505
15.3.3 排列 505
15.4 除法法則 506
15.4.1 另一個象棋問題 506
15.4.2 圓桌騎士 507
15.5 子集計數 508
15.5.1 子集法則 509
15.5.2 比特序列 510
15.6 重復序列 510
15.6.1 子集序列 510
15.6.2 Bookkeeper法則 511
15.6.3 二項式定理 512
15.7 計數練習：撲克手牌 513
15.7.1 四條相同點數的手牌 514
15.7.2 葫蘆手牌 514
15.7.3 兩個對子的手牌 515
15.7.4 花色齊全的手牌 517
15.8 鴿子洞原理 517
15.8.1 頭上的頭發 518
15.8.2 具有相同和的子集 519
15.8.3 魔術 521
15.8.4 秘密 521
15.8.5 真正的秘密 523
15.8.6 如果是4張牌呢 524
15.9 容斥原理 525
15.9.1 兩個集合的并集 525
15.9.2 三個集合的并集 525
15.9.3 42序列、04序列或60序列 526
15.9.4 n個集合的并集 527
15.9.5 計算歐拉函數 529
15.10 組合證明 530
15.10.1 帕斯卡三角恒等式 530
15.10.2 給出組合證明 531
15.10.3 有趣的組合證明 532
15.11 參考文獻 533
15.2節習題 534
15.4節習題 537
15.5節習題 538
15.6節習題 544
15.7節習題 548
15.8節習題 550
15.9節習題 554
15.10節習題 561
第16章 母函數 566
16.1 無窮級數 566
16.1.1 不收斂性 567
16.2 使用母函數計數 568
16.2.1 蘋果和香蕉 568
16.2.2 母函數的積 569
16.2.3 卷積法則 570
16.2.4 利用卷積法則數甜甜圈 570
16.2.5 卷積法則中的二項式定理 571
16.2.6 一個荒唐的計數問題 572
16.3 部分分式 573
16.3.1 帶有重根的部分分式 575
16.4 求解線性遞推 575
16.4.1 斐波那契數的母函數 575
16.4.2 漢諾塔 576
16.4.3 求解一般線性遞推 580
16.5 形式冪級數 580
16.5.1 發散母函數 580
16.5.2 冪級數環 581
16.6 參考文獻 583
16.1節習題 583
16.2節習題 583
16.3節習題 586
16.4節習題 588
16.5節習題 595
第Ⅳ部分 概率論
引言 599
第17章 事件和概率空間 601
17.1 做個交易吧 601
17.1.1 理清問題 601
17.2 四步法 602
17.2.1 步驟一：找到樣本空間 602
17.2.2 步驟二：確定目標事件 605
17.2.3 步驟三：確定結果的概率 606
17.2.4 步驟四：計算事件的概率 608
17.2.5 蒙特霍爾問題的另一種解釋 609
17.3 奇怪的骰子 609
17.3.1 骰子A vs. 骰子B 610
17.3.2 骰子A vs. 骰子C 612
17.3.3 骰子B vs. 骰子C 612
17.3.4 擲兩次 613
17.4 生日原理 615
17.4.1 匹配概率的確切公式 615
17.5 集合論和概率 616
17.5.1 概率空間 616
17.5.2 集合論的概率法則 617
17.5.3 均勻概率空間 618
17.5.4 無窮概率空間 619
17.6 參考文獻 620
17.2節習題 620
17.5節習題 623
第18章 條件概率 626
18.1 蒙特霍爾困惑 626
18.1.1 帷幕之后 627
18.2 定義和標記 627
18.2.1 問題所在 628
18.3 條件概率四步法 629
18.4 為什么樹狀圖有效 630
18.4.1 大小為k的子集的概率 631
18.4.2 醫學檢測 632
18.4.3 四步分析法 633
18.4.4 固有頻率 634
18.4.5 后驗概率 634
18.4.6 概率的哲學 635
18.5 全概率定理 637
18.5.1 以單一事件為條件 637
18.6 辛普森悖論 638
18.7 獨立性 640
18.7.1 另一個公式 640
18.7.2 獨立性是一種假設 641
18.8 相互獨立性 641
18.8.1 DNA檢測 642
18.8.2 兩兩獨立 643
18.9 概率vs. 置信度 645
18.9.1 肺結核測試 645
18.9.2 可能性修正 646
18.9.3 很可能正確的事實 648
18.9.4 極端事件 648
18.9.5 下一次拋擲的置信度 649
18.4節習題 650
18.5節習題 650
18.6節習題 660
18.7節習題 661
18.8節習題 663
18.9節習題 666
第19章 隨機變量 667
19.1 隨機變量示例 667
19.1.1 指示器隨機變量 668
19.1.2 隨機變量和事件 668
19.2 獨立性 669
19.3 分布函數 670
19.3.1 伯努利分布 672
19.3.2 均勻分布 672
19.3.3 數字游戲 673
19.3.4 二項分布 675
19.4 期望 677
19.4.1 均勻隨機變量的期望值 677
19.4.2 隨機變量的倒數的期望 678
19.4.3 指示器隨機變量的期望值 678
19.4.4 期望的另一種定義 678
19.4.5 條件期望 679
19.4.6 平均故障時間 680
19.4.7 賭博游戲的預期收益 682
19.5 期望的線性性質 686
19.5.1 兩枚骰子的期望 687
19.5.2 指示器隨機變量的和 687
19.5.3 二項分布的期望 688
19.5.4 贈券收集問題 689
19.5.5 無限和 691
19.5.6 賭博悖論 691
19.5.7 悖論的解答 692
19.5.8 乘積的期望 693
19.2節習題 694
19.3節習題 696
19.4節習題 698
19.5節習題 702
第20章 離差 712
20.1 馬爾可夫定理 712
20.1.1 應用馬爾可夫定理 714
20.1.2 有界變量的馬爾可夫定理 714
20.2 切比雪夫定理 715
20.2.1 兩個賭博游戲的方差 716
20.2.2 標準差 717
20.3 方差的性質 718
20.3.1 方差公式 719
20.3.2 故障時間的方差 719
20.3.3 常數的處理 720
20.3.4 和的方差 721
20.3.5 生日匹配 722
20.4 隨機抽樣估計 723
20.4.1 選民投票 723
20.4.2 兩兩獨立采樣 725
20.5 估計的置信度 726
20.6 隨機變量的和 728
20.6.1 引例 728
20.6.2 切諾夫界 729
20.6.3 二項式尾的切諾夫界 729
20.6.4 彩票游戲的切諾夫界 730
20.6.5 隨機負載均衡 731
20.6.6 切諾夫界的證明 732
20.6.7 邊界的比較 734
20.6.8 墨菲定律 735
20.7 大期望 736
20.7.1 重復你自己 736
20.1節習題 737
20.2節習題 738
20.3節習題 739
20.5節習題 746
20.6節習題 750
20.7節習題 753
第21章 隨機游走 755
21.1 賭徒破產 755
21.1.1 避免破產的概率 757
21.1.2 獲勝概率遞推 758
21.1.3 有偏情形的簡單解釋 759
21.1.4 步長多長 761
21.1.5 贏了就退出 762
21.2 圖的隨機游走 763
21.2.1 網頁排名初探 764
21.2.2 網頁圖的隨機游走 765
21.2.3 平穩分布與網頁排名 766
21.1節習題 768
21.2節習題 769
第Ⅴ部分 遞推
引言 779
第22章 遞推 780
22.1 漢諾塔 780
22.1.1 上界陷阱 781
22.1.2 擴充-化簡法 781
22.2 歸并排序 783
22.2.1 尋找遞推 784
22.2.2 求解遞推 784
22.3 線性遞推 786
22.3.1 爬樓梯 786
22.3.2 求解齊次線性遞推 789
22.3.3 求解一般線性遞推 790
22.3.4 如何猜測特解 792
22.4 分治遞推 793
22.4.1 Akra-Bazzi公式 794
22.4.2 兩個技術問題 795
22.4.3 Akra-Bazzi定理 796
22.4.4 主定理 797
22.5 進一步探索 797
22.4節習題 799
參考文獻 802
符號表 806
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