本書是為適應高等學校理工科和經濟類專業的教學需要而編寫的教材，內容包括：線性方程組與矩陣、方陣的行列式、矩陣與向量的運算、向量組與向量空間、矩陣的特征值與特征向量、二次型、Matlab軟件在線性代數中的應用。每節內穿插有例題、練習題，每章末附有習題。書末附錄包括用逆序法定義行列式的值及習題參考解答。
本書注意理論和實際相結合，選材適當，體系新穎，論述嚴謹，條理清楚，對概念的解釋透徹并具有一定的可讀性，便于教學和學生自學。
本書可作為高等學校理工類與經濟類本、�？啤熬�性代數”課程的教材用書。
本書以線性方程組為切入點，由線性方程組及高斯消元法引進矩陣及其初等變換的概念；第2章在行列式性質的證明中，強調了矩陣初等變換的作用，這使得矩陣及其初等變換背景清晰，加強了矩陣和行列式的聯系；向量線性相關性，是讀者較難理解的概念，本書中加了一個直觀性較強的引例，同時將矩陣秩的性質較多地用在了線性相關性問題的討論中，降低了理解上的難度；將向量的內積運算與矩陣乘法放在了一起，以期引起讀者對二者關聯性的注意；將向量空間改放在第4章，一方面利用了向量空間基與維數與向量組最大無關組和秩的相似性，敘述上簡略一些，另一方面也便于敘述線性方程組解的理論，突出了向量空間的實用性。以上考慮，較少見于國內同類教材。每一章的最后，都給出了一個與內容有聯系的閱讀材料，以增加本書的可讀性，也希望讀者能夠對線性代數的問題感興趣。一些定理的證明和一些拓展性的內容，書中用小字排列、初學者可以略去，不影響對其他內容的理解。
前言
第1章 線性方程組與矩陣
1.1 線性方程組
1.1.1 線性方程組的概念
1.1.2 非齊次線性方程組的解法
1.1.3 齊次線性方程組的解法
1.2 矩陣與向量
1.2.1 矩陣與向量的概念
1.2.2 矩陣的初等變換
1.3 閱讀材料經濟數學中的線性模型
1.3.1 價格平衡模型
1.3.2 投入產出模型
習題1
第2章 方陣的行列式
2.1 n階行列式的定義
2.2 n階行列式的性質
2.2.1 代數余子式展開性質
2.2.2 初等變換性質
2.3 行列式的計算舉例
2.4 行列式的應用
2.4.1 矩陣的秩
2.4.2 克拉默法則
2.5 閱讀材料行列式的歷史與發展
習題2
第3章 矩陣與向量的運算
3.1 矩陣與向量的線性運算
3.1.1 矩陣的加法和數乘
3.1.2 向量的加法和數乘
3.2 矩陣的乘法
3.2.1 矩陣乘法的定義
3.2.2 矩陣乘法的性質
3.2.3 方陣的冪與方陣的多項式
3.3 向量的內積與向量的正交性
3.3.1 向量的內積
3.3.2 向量的正交性與正交矩陣
3.4 逆矩陣
3.4.1 逆矩陣的概念
3.4.2 初等變換求逆矩陣
3.4.3 利用逆矩陣求解矩陣方程
3.5 矩陣的分塊
3.5.1 分塊矩陣及其運算法則
3.5.2 一些特殊的分塊方法
3.6 閱讀材料矩陣乘法的兩個應用
3.6.1 矩陣乘法在計算機圖形學中的一個應用
3.6.2 賭徒輸光問題
習題3
第4章 向量組與向量空間
4.1 向量組的線性相關性
4.1.1 引例
4.1.2 向量組的線性相關性
4.2 向量組的秩
4.2.1 向量組的相互線性表示
4.2.2 向量組的最大線性無關向量組與向量組的秩
4.2.3 矩陣的行秩與列秩,向量組秩的求法
4.3 向量空間
4.3.1 向量空間和子空間
4.3.2 向量空間的基與維數
4.4 線性方程組解的結構
4.4.1 齊次線性方程組
4.4.2 非齊次線性方程組
4.5 閱讀材料線性方程組的應用
4.5.1 化學反應方程式的平衡
4.5.2 網絡流的管理
習題4
第5章 矩陣的特征值與特征向量
5.1 特征值和特征向量
5.2 相似矩陣與矩陣的對角化
5.2.1 相似矩陣的概念
5.2.2 矩陣的對角化
5.3 施密特正交化方法與實對稱矩陣的對角化
5.3.1 施密特正交化方法
5.3.2 實對稱矩陣對角化
5.4 閱讀材料矩陣對角化的兩則應用
5.4.1 人口遷移問題
5.4.2 線性微分方程組求解
習題5
第6章 二次型
6.1 二次型及其矩陣表示
6.2 二次型化為標準形
6.2.1 正交變換法
6.2.2 初等變換法和配方法
6.2.3 慣性定理
6.3 正定二次型與正定矩陣
6.4 閱讀材料主成分分析法
習題6
第7章 Matlab軟件在線性代數中的應用
7.1 Matlab軟件基本介紹
7.1.1 Matlab的安裝和啟動
7.1.2 命令窗口與文本編輯窗口的使用
7.1.3 數組
7.1.4 循環語句介紹
7.2 用Matlab求解線性代數中的問題
7.2.1 行列式的計算
7.2.2 矩陣的基本運算
7.2.3 矩陣的初等變換及矩陣的秩
7.2.4 求解線性方程組
7.2.5 求矩陣的特征值和特征向量
7.2.6 將實對稱矩陣的對角化
7.2.7 二次型的簡化與正定化
附錄A 用逆序法定義行列式的值
附錄B 習題參考解答
參考文獻
第1 章線性方程組與矩陣
線性方程組是各個方程關于未知量均為一次的方程組.對線性方程組的研究,是線性代數的一個重要內容,也是科學計算中最常遇到的問題.例如,在應力分析、分子結構、電路分析和測量學中都會遇到線性代數方程組的求解問題.在數學問題的數值計算方法中,大量的問題,如最小二乘法、三次樣條函數插值、微分方程邊值問題的有限元法、差分法等,也都涉及線性方程組的求解.
在線性代數中,線性方程組的求解和矩陣及矩陣初等變換的理論密切相關.本章首先給出求解線性方程組的一個重要方法――高斯消元法,然后引進矩陣和矩陣初等變換的概念,并利用矩陣初等變換的方法討論線性方程組的求解.
1.1 線性方程組
1.1.1 線性方程組的概念
n個自變量x1,x2,,xn的線性方程通常表示為
???
a1x1+a2x2++anxn=b,
???
其中系數a1,a2,,an和b為已知實數或復數,b稱為常數項,n為任意正整數.m個方
???
程構成的方程組
..
. .
.
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
???
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
??? (1.1.1)
??????
am1x1+am2x2++amnxn=bm
???
稱為一個線性代數方程組,其中,aij表示第i個方程中第j個自變量xj的系數,i=1,2,,m,j=1,2,,n,bi為第i個方程的常數項.
??? 當常數項b1,b2,??? ,bm全為零時,方程組(1.1.1)中所有項均為一次項,方程組變為???
..
. .
.
a11x1+a12x2++a1nxn=0
???
a21x1+a22x2++a2nxn=0
??? , (1.1.2)
??????
am1x1+am2x2++amnxn=0
???
式(1.1.2)稱為方程組(1.1.1)對應的齊次線性方程組,相應的式(1.1.1)稱為非齊次線性方程組.
例1.1.13個自變量的線性方程組
3x1. 7x2+7x3=.5 x1 . 3x2+4x3=.44x1. 6x2+2x3=4
第1 章線性方程組與矩陣
..
. .
.
3x1. 7x2+7x3=0x1. 3x2+4x3=0.4x1. 6x2+2x3=0
定義1.1.1(方程組的解)當將方程組中的未知量x1,x2,,xn用一組常數c1,
???
c2,,cn代替時,若方程組兩邊的值相等,則稱c1,c2,,cn是方程組的一組解.
??????
當方程組(1.1.1)有解時,稱方程組是相容的,否則稱方程組不相容.
對給定的一個線性方程組,它的解可能①有唯一解;②有無窮解;③無解.對于3個未知量,3個
方程的情形,每個方程表示一個平面.當方程組有唯一解時,表示3個平面有唯一的交點;方程組有
無窮多解時,表示3個平面重合或交于一條直線;方程組無解時,則表示3個平面沒有共同的交點.
線性方程組的所有解構成的集合,稱為方程組的解集.如果兩個線性方程組有相同的解集,稱這兩個方程組是等價方程組,或稱同解方程組.
求解線性方程組的方法,是利用同解變換的方法,將線性方程組化為相對較簡單的同解方程組,逐步簡化以得出線性方程組的解.
1.1.2 非齊次線性方程組的解法
設線性方程組(1.1.1)是相容的,下面介紹解線性方程組的基本方法――高斯消元法.
例1.1.2求解線性方程組
..
. .
.
3x1. 7x2+7x3=.5 x1 . 3x2+4x3=.4.4x1. 6x2+2x3=4
解將第一個方程與第二個方程對調位置,使對調后的第一個方程中x1的系數為
1, 得到
..
. .
.
x1 . 3x2+4x3=.43x1. 7x2+7x3=.5.(1.1.3)4x1. 6x2+2x3=4
為了消去第二、三個方程中的x1項,將第一個方程的兩邊乘以.3加到第二個方程上,兩邊乘以.4 加到第三個方程上, 得
..
. .
.
x1 . 3x2+4x3=.42x2 . 5x3 =7.(1.1.4)6x2. 14x3=20
消去式(1.1.4)中第三個方程的x2項,為此,將第二個方程兩端乘以.3 后加到第三個方
程上, 得
x1 . 3x2+4x3=.42x2. 5x3=7.(1.1.5)x3=.1
1.1 線性方程組3
??
可以看到,式(1.1.3)~式(1.1.5)都是同解方程組,但式(1.1.5)的求解卻要容易得多,形如式(1.1.5)的方程組稱為梯形方程組(echelonformlinearsystem).由方程組(1.1.5)逐步回代,可以順次解出
x3 = .1,x2=1,x1=3.(1.1.6)
上述解題過程中,對線性方程組施行的變換稱為對線性方程組的初等變換(elementaryoperation).歸納起來,對線性方程組施行的初等變換共有三種：
I.交換任意兩個方程的位置,第i個方程和第j個方程相交換,記作Li. Lj ;
II.以非零常數λ乘以某一個方程的兩邊,第i個方程兩端乘以常數λ,記作λLi;
III.以常數k乘以第j個方程后加到第i個方程上,記作Li+kLj.這三種類型的初等變換均不改變線性方程組的解.利用方程組的初等變換將方程組化為梯形方程組的過程稱為消元過程,由梯形方程
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