隨著中國智能制造業的發展和德國工業 4.0 的實施，世界制造業進入智能化、數字化時代，各種新技術，特別是其賴以建構和發展的數學基礎，在工業尤其是制造業中的作用尤為突出�；诖耍緯攸c介紹了與智能技術發展密切相關且經常被用到的數學基礎知識、理論和方法。本書涉及優化與計算、決策論與對策論、運籌學隨機模型、數值方法等方面的內容，具體包括線性規劃與單純形法、線性規劃的對偶理論與靈敏度分析、運輸問題、整數規劃、目標規劃、非線性規劃、多目標規劃、動態規劃、決策論、對策論、排隊論、馬爾可夫過程與應用、科學計算、插值法、逼近方法、數值微積分等。本書可作為高等學校機械工程專業，特別是智能制造相關方向本科生和研究生的教材，也可作為系統科學與工程、控制科學與工程、交通運輸工程、管理科學與工程等人工智能相關學科交叉領域各類人員的學習參考書。
王曉原, 男,1970年11月生，工學博士，教授，博碩士生導師。（主持國家基金、國家863子課題、山東省自然（社科）基金等60余項）。
目 錄
第一篇 優化與計算
第 1 章 線性規劃與單純形法 ............................ 2
1.1 線性規劃問題 ....................................... 2
1.1.1 線性規劃問題的數學模型 ........ 2
1.1.2 圖解法 ........................................ 4
1.2 線性規劃問題的標準型與解的概念 ... 6
1.2.1 線性規劃標準型 ........................ 6
1.2.2 線性規劃解的概念 .................... 7
1.3 線性規劃問題的幾何意義 ................... 8
1.3.1 相關概念 .................................... 9
1.3.2 線性規劃問題的相關結論 ........ 9
1.4 單純形法 ............................................. 11
1.4.1 確定初始基可行解——大 M 法.................................................. 11
1.4.2 最優性檢驗與單純形表 .......... 13
1.4.3 基的變換——（ l， k）旋轉變換 .......................................... 15
1.5 單純形法步驟 ..................................... 16
1.6 單純形法的進一步討論 ..................... 19
1.6.1 兩階段法 .................................. 19
1.6.2 退化與循環 .............................. 20
1.6.3 標準型及檢驗數的其他形式 .... 21
課后習題...................................................... 21
第 2 章 線性規劃的對偶理論與靈敏度分析 .. 22
2.1 對偶問題 ............................................. 22
2.2 對偶理論 ............................................. 23
2.3 對偶單純形法 ..................................... 26
2.4 對偶問題的經濟意義——影子價格.. 27
2.5 靈敏度分析 ......................................... 28
2.5.1 目標函數中的價值系數 c 的分析 .......................................... 29
2.5.2 資源系數 b 的分析 .................. 30
2.5.3 系數矩陣 A 的分析.................. 31
2.6 參數線性規劃..................................... 35
2.6.1 參數 c 的變化分析 .................. 35
2.6.2 參數 b 的變化分析.................. 36
課后習題...................................................... 37
第 3 章 運輸問題.............................................. 40
3.1 運輸問題的數學模型......................... 40
3.2 表上作業法......................................... 41
3.2.1 確定初始基可行解.................. 42
3.2.2 最優解的判別.......................... 45
3.2.3 改進的方法——閉回路調整法.. 48
3.2.4 表上作業法計算中的問題 ...... 49
3.3 產銷不平衡的運輸問題..................... 51
課后習題...................................................... 54
第 4 章 整數規劃.............................................. 57
4.1 整數規劃問題..................................... 57
4.2 分支定界法......................................... 58
4.3 割平面法............................................. 61
4.4 0—1 型整數規劃................................ 63
4.4.1 引入 0—1 變量的實例 ............ 63
4.4.2 0—1 型整數規劃的解法 ......... 65
4.5 指派問題............................................. 66
課后習題...................................................... 69
第 5 章 目標規劃.............................................. 70
5.1 目標規劃的數學模型......................... 70
5.2 解目標規劃的單純形法..................... 72
課后習題...................................................... 74
第 6 章 非線性規劃.......................................... 75
6.1 非線性規劃問題................................. 75
6.1.1 非線性規劃問題舉例.............. 75
6.1.2 多元函數極值的有關概念和
性質.......................................... 76
6.1.3 正定矩陣與二次型 .................. 77
6.1.4 凸函數的極值 .......................... 77
6.2 一維搜索 ............................................. 79
6.2.1 牛頓法與對分法 ...................... 79
6.2.2 二次插值法（拋物線法） ...... 81
6.2.3 0.618 法 .................................... 82
6.3 無約束最優化方法 ............................. 83
6.3.1 最速下降法（梯度法） .......... 83
6.3.2 牛頓法 ...................................... 85
6.3.3 共軛梯度法 .............................. 86
6.3.4 坐標輪換法 .............................. 89
6.3.5 單純形法 .................................. 91
6.4 約束最優化 ......................................... 93
6.4.1 用線性規劃逼近非線性規劃（近似規劃法） ...................... 93
6.4.2 懲罰函數法 .............................. 95
課后習題...................................................... 98
第 7 章 多目標規劃........................................ 100
7.1 多目標規劃問題............................... 100
7.2 絕對最優解、有效解及弱有效解 ... 100
7.3 化多為少法....................................... 101
7.4 分層序列法....................................... 106
課后習題.................................................... 106
第 8 章 動態規劃............................................ 107
8.1 多階段決策問題............................... 107
8.2 動態規劃的基本概念和最優性原理 108
8.2.1 動態規劃的基本概念............ 108
8.2.2 最優性原理和動態規則遞推方程........................................ 109
8.3 建立動態規劃數學模型的步驟 ........ 112
課后習題..................................................... 114
第二篇 決策論與對策論
第 9 章 決策論................................................ 116
9.1 非確定型決策 ................................... 117
9.1.1 等可能性準則 ........................ 118
9.1.2 最大最�。ɑ蜃钚∽畲螅蕜t................................................ 119
9.1.3 折衷準則 ................................ 120
9.1.4 后悔值準則 ............................ 121
9.2 風險型決策 ....................................... 124
9.2.1 期望值準則 ............................ 124
9.2.2 期望值與標準差準則 ............ 126
9.2.3 最大可能性準則 .................... 127
9.3 決策樹............................................... 128
9.3.1 單級決策問題 ........................ 128
9.3.2 多級決策問題 ........................ 129
9.4 貝葉斯決策 ....................................... 131
9.5 效用值及其應用 ............................... 134
9.5.1 效用與效用曲線 .................... 134
9.5.2 效用值準則 ............................ 136
9.6 層次分析法 ....................................... 137
9.6.1 層次分析法原理 .................... 137
9.6.2 標度........................................ 139
9.6.3 層次模型................................ 140
9.6.4 計算方法................................ 141
課后習題.................................................... 142
第 10 章 對策論.............................................. 144
10.1 對策現象及其要素......................... 144
10.1.1 對策現象.............................. 144
10.1.2 對策現象的基本要素.......... 144
10.1.3 對策的分類.......................... 145
10.2 有限兩人零和對策......................... 145
10.3 最優純策略..................................... 146
10.3.1 鞍點概念.............................. 146
10.3.2 鞍點存在準則...................... 147
10.4 最優混合策略................................. 148
10.4.1 引例...................................... 148
10.4.2 最優混合策略...................... 148
10.4.3 矩陣對策基本原理.............. 149
10.5 矩陣對策的解法............................. 151
10.6 建立對策模型舉例......................... 155
課后習題.................................................... 156
第三篇 運籌學隨機模型
第 11 章 排隊論 .............................................. 160
11.1 排隊服務系統的基本概念 ............. 160
11.1.1 排隊系統 .............................. 161
11.1.2 排隊模型的分類 .................. 162
11.1.3 排隊模型的參數 .................. 162
11.2 到達間隔與服務時間的分布.......... 163
11.2.1 普阿松流 .............................. 163
11.2.2 負指數分布 .......................... 164
11.2.3 愛爾朗（ Erlang）分布........ 165
11.3 生滅過程 ......................................... 165
11.4 單服務臺排隊系統模型（ M/M/1） 167
11.4.1 M/M/1/∞/∞模型 ................... 167
11.4.2 M/M/1/N/∞模型（隊長受限制） .................................. 169
11.4.3 M/M/1/∞/m 模型（顧客源有限） .................................. 171
11.5 多服務臺模型（ M/M/C） ............. 173
11.5.1 M/M/C/∞/∞模型................... 173
11.5.2 M/M/C/N/∞模型（系統容量有限制情形） ...................... 175
11.5.3 M/M/C/∞/m 模型（顧客源有限情形） .......................... 178
11.6 M/G/1 排隊系統 ............................. 179
11.6.1 普阿松輸入和定長服務時間的排隊系統.......................... 180
11.6.2 輸入為普阿松流，服務時間
為愛爾朗分布的排隊系統 .. 181
11.7 具有優先權的排隊模型 ................. 182
11.8 排隊系統的最優化......................... 184
11.8.1 排隊系統的最優化問題 ...... 184
11.8.2 M/M/1 模型中最優服務率 μ.. 184
11.8.3 M/M/c 模型中最優的服務臺數 c................................... 186
課后習題.................................................... 187
第 12 章 馬爾可夫過程與應用...................... 190
12.1 馬爾可夫過程................................. 190
12.2 穩態概率......................................... 192
12.3 首次到達概率和首次回歸概率 ..... 193
12.4 預測模型舉例................................. 194
12.5 決策模型舉例................................. 195
課后習題.................................................... 199
第四篇 數值方法
第 13 章 科學計算簡介 .................................. 202
13.1 數值分析簡介 ................................. 202
13.2 誤差................................................. 203
13.2.1 誤差的來源與分類 .............. 203
13.2.2 誤差的定義 .......................... 204
13.2.3 有效數字 .............................. 204
13.3 誤差的傳播 ..................................... 206
13.3.1 誤差估計 .............................. 206
13.3.2 病態問題與條件數 .............. 207
13.3.3 算法的數值穩定行（ numerical stability） .......... 207
13.4 數值誤差控制 ................................. 208
課后習題.................................................... 210
第 14 章 插值法.............................................. 212
14.1 代數多項式插值............................. 212
14.1.1 待定系數法.......................... 212
14.1.2 拉格朗日（ Lagrange）插值多項式.................................. 214
14.1.3 牛頓插值多項式.................. 216
14.2 分段低次插值................................. 219
14.2.1 龍格現象及高次插值的病態
性質...................................... 219
14.2.2 分段線性插值...................... 220
14.3 三次樣條插值 ................................. 220
14.3.1 三次樣條插值函數的概念 .. 221
14.3.2 樣條插值函數的建立 .......... 222
14.3.3 誤差界與收斂性 .................. 225
課后習題.................................................... 225
第 15 章 逼近方法 .......................................... 227
15.1 正交多項式 ..................................... 228
15.2 函數最佳平方逼近 ......................... 229
15.2.1 一般概念及方法 .................. 229
15.2.2 用正交函數族作最佳平方逼近 ...................................... 232
15.3 曲線擬合的最小二乘法 ................. 233
15.3.1 最小二乘法原理 .................. 234
15.3.2 法方程 .................................. 234
15.3.3 常用的擬合方法 .................. 235
課后習題.................................................... 239
第 16 章 數值微積分 ...................................... 240
16.1 數值求積分的基本概念 ................. 240
16.1.1 數值求積分的基本思想 ...... 240
16.1.2 代數精度的概念 .................. 241
16.1.3 插值型的求積公式 .............. 242
16.1.4 求積公式的收斂性與穩定性.................................. 243
16.2 Newton-Cotes 公式......................... 243
16.2.1 Cotes 系數............................ 244
16.2.2 偶階求積公式的代數精度 .. 245
16.2.3 幾種低階求積公式的余項 .. 245
16.3 復化求積公式................................. 246
16.3.1 復化梯形公式...................... 246
16.3.2 復化辛普森公式.................. 247
16.4 龍貝格求積公式............................. 249
16.4.1 梯形公式的逐次分半算法 .. 249
16.4.2 李查遜（ Richardson）外推法.............................................. 250
16.4.3 龍貝格求積公式.................. 251
16.5 數值微分......................................... 252
16.5.1 利用差商求導數.................. 252
16.5.2 利用插值求導數.................. 253
16.5.3 李查遜外推法 .... 254
課后習題.................................................... 254
參考文獻 ........................................................... 256
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