連續變量系統中的量子關聯問題研究
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算子代數、算子理論是泛函分析的重要組成部分，有著深刻的量子力學背景，特別是在近些年興起的量子信息科學中有著重要的應用。尤其是無限維量子力學、量子物理的許多問題需要借助算子理論與算子代數中的方法與技巧來分析解決。在量子通信中，糾纏作為一種重要的資源被廣泛應用于量子密鑰、量子隱形傳態、量子計算等領域。但隨著量子信息和量子計算的發展，除了糾纏以外的其他量子關聯也成為重要的通信資源，發揮著越來越重要的作用。本書介紹作者近幾年在這一領域的研究成果，主要利用算子代數與算子理論來討論連續變量系統包括高斯態、重要的非高斯態以及廣義概率論框架下的一些量子關聯及相關問題，研究兩體以及多體量子系統的若干量子關聯度量及其動力演化過程，探尋檢測這些量子資源的各種判據，為量子信息提供一定的理論基礎。
本書的研究具有一定的前沿性和創新性。
數學是科學的語言，隨著各學科的發展，數學作為工具所發揮的作用越來越明顯。算子代數、算子理論是泛函分析的重要分支,有著深刻的量子力學背景,著名的數學家馮·諾依曼曾預言Hilbert空間上的分析學在量子力學中的重要性。量子信息科學是在量子物理基礎上發展起來的新興前沿學科，各個學科領域科學家對其高度重視并協同展開研究。量子調控研究成為《國家中長期科學和技術發展規劃綱要（20062020年）》中基礎研究方面提出的四項重大科學研究計劃之一，具有廣泛和深刻的應用前景。所以，在量子理論研究中，以矩陣代數和算子理論為工具來對量子信息進行理論刻畫，成了量子理論的熱點問題之一，既豐富了數學知識的應用，又促進了量子信息和量子計算的創新和發展。在量子信息理論中，量子關聯是重要的物理資源。1935年，Einstein、Podolsky和Rosen(EPR)首次發現了復合系統量子態與經典力學相矛盾的反常現象：對一個粒子進行局域操作，會影響到與它距離甚遠的另一個粒子。這種現象被稱為量子關聯。同年，Schrdinger第一次給出了糾纏的概念。但是，當時對糾纏的研究只是停留在哲學的層面上，直至1989年，Werner從數學角度正式給出糾纏態的定義，使人們對糾纏問題的刻畫更準確、更嚴謹。從此，糾纏問題吸引了大量物理學家、計算機學家及數學家共同協作進行研究，并且關于糾纏的研究在深度和廣度上都有突破性的進展，取得了很多豐富的成果。糾纏作為一種重要的信息載體，也被廣泛應用于量子密鑰、量子隱形傳態、量子計算等領域。在數學層面，檢測糾纏的各種判據和刻畫糾纏程度的多種度量不斷涌現，極大地促進了量子信息科學的蓬勃發展。隨著研究的深入,學者們發現了量子系統中不同于量子糾纏的量子關聯。1998年,Knill和Laflamme提出了一個量子計算模型(DQC1),這個模型不存在糾纏態,但是實現了對經典計算機指數級加速的量子運算。因此,糾纏之外的量子關聯也是重要的物理資源。這就啟發了學者們從不同的角度探索研究不同的量子關聯，如Henderson和Vedral及 Ollivier 和Zurek獨立地基于量子互信息和量子測量提出了量子失協(quantum discord)；Luo先后提出了基于測量誘導的擾動(measurementinduced disturbance)和測量誘導的非定域性 (measurementinduced nonlocality)；量子導引(quantum steering)、Bell 非定域性、量子相干性等量子關聯也被廣泛研究。可以說，量子關聯已在量子計算、量子相變、量子計量學、量子動力學及其退相干、量子密集編碼、遠程量子態控制得到了廣泛應用，也將在未來的保密通信和計算機領域發揮至關重要的作用。近年來, 無限維系統特別是連續變量系統也受到了人們的廣泛關注，這類系統可以由正則場算子（位置算子和動量算子）描述。在連續變量系統中,常見的量子態是高斯態。在量子信息領域，許多應用需要制備一般量子態。對一般物理系統來說，這很難全部實現。但是在量子光學系統中，物理實驗通過分束器、移相器、零差測量可以制備和操控高斯態。Braunstein給出了高斯態的量子信息理論，基本包含了所有在實驗上能實現的連續變量系統態。所以高斯系統具有非常廣闊的應用前景和極高的理論研究價值，研究表明其在量子光學、量子隱形傳態、量子克隆、連續變量量子密碼、連續變量量子計算、連續變量量子算法等中有著很好的應用。為了識別量子態是否具有某種量子關聯，以及便于直觀了解該量子關聯的程度并掌握量子關聯在信息處理過程中的變化情況，重要的任務就是尋找識別量子關聯的判據，并構造具體的量化度量。高斯態糾纏已被證明是一個難度較大但有價值的工具,可以提高光學分辨率、光譜學、層析成像及量子運算的識別等。因此很多檢測高斯糾纏的判據也相繼得出。之后，高斯量子失協、高斯幾何失協也作為重要的物理資源被廣泛應用于量子密鑰分布, 但是即使這樣，我們從中獲得的信息仍然很少，只能針對特殊的雙模高斯態給出精確的表達式。因此，為了讓量子通信積累更多的量子資源，需要在連續變量系統中，進一步挖掘容易計算，包含更多信息、更多性能的量子關聯。從不同的角度引入不同的量子關聯或者同一關聯的不同度量，刻畫它們的性質以及在量子信息處理中的演化與作用就顯得尤為重要。目前有關連續變量系統的量子關聯的成果尚且有限，還有很多值得探討的問題，本書是作者近年來的研究成果，主要利用算子代數與算子理論討論了連續變量系統的若干量子關聯問題，旨在拋磚引玉。本書共分6章。第1章是緒論,主要介紹了連續變量系統量子信息論的一些基礎知識和定理等。第2章我們針對連續變量系統，基于一般局域高斯正算子值測量和基于純高斯態作為生成種子的高斯正算子測量，運用平均距離定義了兩種量子關聯Q和QP,證明了Q和QP的一系列性質。第3章主要討論了由保持約化態不變的局域測量誘導的一種量子關聯MIN 在高斯態上的表現行為，以及連續變量系統引入高斯MIN 的可能性問題。第4章主要討論由局域高斯酉算子誘導的非經典性。第5章在第2章的基礎上進行分析改進，研究了刻畫k體高斯乘積態的關聯度量Q(k)r。第6章討論了連續變量系統中的另外一種量子關聯量子導引， 提出了量子導引witness的定義、導引判據、witness可比較問題和*優性問題，并構造了一種易于計算的節省物理資源的高斯量子導引度量。*后介紹一下本書所用符號。本書采用量子力學中的慣用符號系統Dirac符號。書中Hilbert空間均指復Hilbert空間，向量用ket符號|·〉表示，用braket符號〈·,·〉表示給定Hilbert空間H中的內積。對給定Hilbert空間H、K,B(H,K)表示H到K上的有界線性算子組成的集合（當H=K時，簡記為B(H)）；C2(H,K)表示由B(H,K)中的HilbertSchmidt類算子組成的Hilbert空間，即C2(H,K)=AB(H,K):A2=［Tr(A A)］12＜
馬瑞芬，副教授，本科畢業于東北師范大學，碩士畢業于四川大學，博士畢業于山西大學，現任職于太原科技大學應用科學學院。主持國家自然科學基金青年一項，主持并完成山西省自然科學基金一項，參與國家自然科學基金面上項目兩項（一項結題，一項在研）。工作以來從事研究生課程泛函分析、非線性分析的教學,對算子代數和算子理論有一定的掌握。近幾年主要研究連續變量系統尤其是高斯系統中的量子信息理論,并取得了一定的成果, 相關論文發表在《Quantum information Processing》(SCI)、《International Journal of Theoretical Physics》(SCI)、 《Communications in Theoretical Physics》（SCI）、《Quantum Information and Computation》（SCI）、《四川大學學報》(自然科學版)、《山西大學學報》(自然科學版)等刊物上。
第1章緒論(1)1.1Banach空間及算子(1)1.2量子力學基本概念(5)1.3連續變量系統(7)1.4量子關聯(16)第2章連續變量系統由平均距離誘導的量子關聯(21)2.1基于馮·諾依曼測量誘導的量子關聯(22)2.2基于高斯正算子值測量誘導的量子關聯Q、QP(25)2.3雙模高斯系統的量子關聯(33)2.4量子關聯Q、QP與高斯糾纏、高斯幾何失協的比較(39)2.5量子關聯Q在噪聲信道中的演化(45)2.6注記(47)第3章連續變量系統測量誘導的量子非定域性(48)3.1測量誘導的量子非定域性(48)3.2高斯系統馮·諾依曼測量誘導的非定域性(49)3.3高斯正算子值測量誘導的非定域性的不存在性(57)3.4注記(60)第4章高斯系統局域酉算子誘導的量子關聯(62)4.1酉算子誘導的高斯鑒別強度(62)4.2基于HilbertSchmidt范數誘導的高斯鑒別強度DS(65)4.3DS在局部高斯信道下的演化(70)4.4基于保真度刻畫的高斯鑒別強度DFS(75)4.5注記(79)第5章k體高斯乘積態的關聯度量(80)5.1兩體高斯量子關聯Qr(80)5.2k體高斯量子關聯Qkr(85)5.3注記(90)第6章連續變量系統中的量子導引(92)6.1量子導引概念(93)6.2基于局域不確定關系的導引非線性判據(99)6.3兩體高斯態的量子導引witness(107)6.4高斯態的導引度量(119)6.5注記(131)參考文獻(133)第1章緒論(1)1.1Banach空間及算子(1)1.2量子力學基本概念(5)1.3連續變量系統(7)1.4量子關聯(16)第2章連續變量系統由平均距離誘導的量子關聯(21)2.1基于馮·諾依曼測量誘導的量子關聯(22)2.2基于高斯正算子值測量誘導的量子關聯Q、QP(25)2.3兩模高斯系統的量子關聯(34)2.4量子關聯Q、QP與高斯糾纏、高斯幾何失協的比較(39)2.5量子關聯Q在噪聲信道中的演化(45)2.6注記(47)第3章連續變量系統測量誘導的量子非定域性(49)3.1測量導出的量子非定域性(49)3.2高斯系統馮·諾依曼測量誘導的非定域性(51)3.3高斯正算子值測量誘導的非定域性的不存在性(58)3.4注記(61)第4章高斯系統局域酉算子誘導的量子關聯(63)4.1酉算子誘導的高斯鑒別強度(63)4.2基于HilbertSchmidt范數誘導的高斯鑒別強度DS(66)4.3DS在局部高斯信道下的演化(71)4.4基于保真度刻畫的高斯鑒別強度DFS(AB)(76)4.5注記(80)第5章k體高斯乘積態的關聯度量(81)5.1兩體高斯量子關聯Qr(81)5.2k體高斯量子關聯Qkr(86)5.3注記(91)第6章連續變量系統中的量子導引(93)6.1量子導引概念(94)6.2基于局域不確定關系的導引非線性判據(101)6.3兩體高斯態的量子導引witness(108)6.4高斯態的導引度量(120)6.5注記(132)參考文獻(134)
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