[引言]
每位媽媽都能鍛造一個有價值的人
孫路弘
我的媽媽是一個普普通通的家庭婦女，她怎么有能力教會我數學呢？
在我小的時候，媽媽的任務無非就是給全家人做飯、洗衣，早晨叫我起床、扔給我干凈的衣服。10 歲那年我上小學四年級，在我的印象中，我家住在一個筒子樓里，從樓梯上去后，一邊有5 戶人家，另一邊有4 戶人家。9 戶人家共享3 個衛生間、3 個廚房。每個月，都有一家要負責收整個樓層9 家的電費。由于沒有電表，電費是按照人頭計算的。
輪到我家收電費時，媽媽會給我一張紙，上面左側一列有每家應該繳納的費用，而右側是空格，用來填寫收繳上來的實際金額。如果左側應該收到的總數與右側實際收到的總數能夠對上，收繳電費的工作就算完成了。我挨家挨戶地去收錢，一收到錢就把金額寫在右側相應的位置，然后回家把錢交給媽媽。媽媽點錢，我負責將右側的數字都加起來，然后把加好的總數寫在紙上。
有一次，我發現左右兩側的總數不符，簡單一算，差三毛六。媽媽聽了這個數后，連看都沒看就說肯定是我把數字的位置寫錯了。我一一核對了一下，還真是，一家應該收五毛九，我寫成了九毛五。不過，媽媽清點了實際收到的錢數，卻是正確的，也就是說，是我粗心將數的位置寫錯了。吃過晚飯，我問媽媽：“你怎么連看都沒有看就知道是位置寫錯了呢？”媽媽說：“差三毛六，是9 的倍數，應該不會是加錯了，而是位置顛倒了。”正是這句話讓我陷入了長時間的沉靜——至少對一個10 歲的孩子來說，連續三天都比較安靜，沒有那么多好奇的問題，算是夠長時間了。
只要差錯是9 的倍數，最大的可能就是位置顛倒了，這是為什么呢？沒錯，九毛五與五毛九的差就是三毛六，她是通過三毛六猜測到我將九和五的前后次序弄錯了。這里面有什么規律嗎？如果寫錯位置的是八毛五和五毛八，那么差是兩毛七，仍然是9 的倍數；如果錯的是一毛七和七毛一，差是五毛四，還是9 的倍數。也就是說，不管我錯的地方在哪里，只要差是9 的倍數，媽媽都會推測出是我將數字位置弄顛倒了。
她是怎么知道的呢？這個問題不僅讓我安靜了三天，更讓我將一生都投進了數學的天地。
數學這個東西能夠嚇住許多人，很多家長卻仍然前赴后繼地將孩子送上這條艱難的旅途。而生活中這么一件小事兒，就能夠讓一個孩子自愿自覺地去追求數學這門如此枯燥的學科，其威力可真是不小。多少家長因為希望孩子學好數學而送孩子參加各種奧數班、補習班，費了九牛二虎之力，最終卻適得其反，使孩子一見到數字便心生恐懼。孩子遇到的困難越多，內心的挫敗感就越強烈。當家長們匆匆忙忙送孩子走上艱難的數學之旅時，大概從來沒有考慮過孩子的心理感受，更無從談什么興趣激發、培養和發展了。媽媽從來沒有強迫過我學
習數學，我也自然沒有被數學嚇住。我小的時候對數字、算術沒有任何意識，也就是說，對我而言學的不是什么數學，也不是什么算術，而是游戲、是挑戰、是好奇。
試想一下，最初孩子的腦海中本來沒有“數學”這個詞匯，父母打算教他這么一門高深的學科，于是正經八百地說：“孩子，數學是所有科學的基礎，必須學好，咱們今天就開始從數學的基礎學起……”這樣從一開始，便在孩子的意識中樹立了一個艱難的認識，一個模糊的、似懂非懂的概念。當孩子發現父母、老師講的許多話都難以理解時，數字、數學、算術就漸漸變成讓他們恐懼的東西，其心理上就會本能地出現抗拒、抵觸的情緒。這時，父母和老師又覺得孩子不聽話、不配合，認為孩子的態度有問題，卻不知道實際上是教學方法、教學形式讓孩子無法接受。
孩子在能力上不具備接受抽象事物的基礎，反映出來的消極、逃避不是態度問題，而是能力有限的一種表現。如果從學前階段就留下這樣的心理烙印，小學一二年級又得到進一步的強化，那么對孩子來說，數學從此就真的成了讓人恐懼的東西。以后每當再遇到數學系的學生，他們就會心生敬佩，覺得能夠學數學得多么聰明啊！其實，數學都是被父母、老師弄成這個樣子的。
讓我感到自豪的不是我自己，而是我有一位難得的媽媽。收電費不是杜撰的故事，當然也不是神話，它來自真實的生活。此外，還有買日用品時讓我口算錢數、乘公共汽車時讓我去買票并核對找的錢是否正確等，這樣的生活細節培養了讓我引以為豪的數學能力。從小學到初中，再到高中、大學，在數學領域建立起來的腦力成為支撐思想的能力，這些能力幫助我更快地理解一些復雜的事情，更快地掌握比較抽象的概念，更快地進入新的領域。等我自己成為數學教師后，在與各種不同性格的孩子互動的過程中，我漸漸認識到，讓我引以為豪的并不是我自己的能力，而是給了我這種能力的人——我的媽媽。
媽媽的三言兩語總是會讓我回味無窮。每年，我家至少會輪上一次查收電費的任務；每周，我都會有加總一周早餐費用的任務；每天，我都習慣性地計算一次下樓的樓梯數。在這些任務中，我有時能夠做對，有時會粗心犯錯。但是，我的粗心導致的諸多錯誤不但沒有成為挨罵的理由，反而成了引領我探索數學天地的極大誘惑。媽媽指出過我忘記進位的錯誤，還指出過錯位的錯誤。總之，她總是能夠快速看出是乘法做錯了，還是加法做錯了。她的這種快速發現錯誤根源的能力總是讓我十分感慨，在我成人之后更是如此。
媽媽才是孩子智慧啟蒙的關鍵人物。在北京師范大學數學系求學的過程中，我選修的科目中有兒童心理學。這門學科強調，孩子學習任何新知識、掌握任何新能力、建立各種新概念的過程都是循序漸進的，不僅有術語的認識、熟悉、運用、掌握的過程，還有親自動手嘗試的過程。這個過程可以在學校里由老師輔導來完成，可以通過同學之間的討論來完成，當然也可以像小朋友玩游戲一樣，在參與、體驗、嘗試中完成。從我幼兒時期的數數、掰手指加法，到兒童時期的加減混合、一位數乘法，再到少兒時期的兩位數乘法、簡單除法，然后是智力思考應用題、火車追擊問題、泳池排水問題、雞兔同籠問題，及至初中的初等代數、初等幾何，每個階段都有媽媽的影子。媽媽沒有上過大學，也沒有資格當數學老師，甚至連幼兒園老師的資質也不具備，但她卻啟蒙了我的數學才智，培養了我一生不變的思考習慣。可見，能夠真正啟蒙孩子智慧的不是老師，而是媽媽。
每位媽媽都能鍛造出一個不同的人。任何國家、任何民族，其優秀的兒女、杰出的人才都是由母親哺育的。有人說，兩個民族的競爭其實就是兩位母親的競爭。媽媽的細致周到成就了孩子的健康，媽媽的三言兩語塑造了孩子的信念，媽媽的一點一滴啟發了孩子一生的追求。在當數學老師的職業生涯中，發現每位媽媽都能夠在有意無意之間傳遞一種知識、激發一個興趣、點燃一簇火花。不斷積累的知識最終會成為思想的基石，不斷激發的興趣最終會成就一生的事業，不斷放射的火花最終會迸射出光芒，照亮世界、照亮人類，如明星閃爍般燦爛輝煌，媽媽也就成了培養人才的偉大的人。
愛因斯坦有這樣一位媽媽，牛頓有這樣一位媽媽，萊布尼茨也有這樣一位媽媽。再看看中國歷史，祖沖之有這樣一位媽媽，徐光啟也有這樣一位媽媽。這些媽媽都是平凡得不能再平凡的人，教科書中沒有她們的名字，歷史典冊中也沒有她們的傳記，但她們的貢獻與所哺育出的偉人的名字就鐫刻在人類歷史進程的豐碑上。
對于媽媽而言，你的孩子在12 歲以前，都是你能夠雕琢他的時候。每一個時刻的眼神，每一個瞬間的肢體反饋，每一次的嘔心瀝血、夢中驚醒，都貫穿著你對孩子的影響——對孩子身體健康的影響，對孩子智力發育的影響，對孩子智慧啟蒙的影響。你培育的不是孩子，而是民族的未來。那么，你打算如何啟蒙他呢？
任何一個兩位數，比如48，都可以變成84，然后做一次減法會得到一個數，那個數一定是9 的倍數。比如84 － 48 = 36，36 就是4 乘以9 的結果。你不妨再試試28 這個數，先變成82，然后做一次減法，得到的是54，54 是不是9 的倍數呢？多嘗試幾個，比如37、46、19，等等。
神話來自神奇。我的媽媽并不知道這個規律的原理，但卻知道這個規律，并在比較兩個數字不同的時候運用了這個規律，讓一個孩子覺得如此神奇，并將神奇延續下去，從而成為神來之筆，最終被藝術家變成神話。對孩子來說，原理其實并不重要，重要的是應用，把規律用熟、用透、用爛，從而激發出好奇心。在追問每一個“為什么”的過程中，孩子漸漸培養了興趣，獲得了快樂，而科學的秘密也就一點一點地被揭示了出來。這一切讓孩子陷入其中、不能自拔，不知不覺中挖掘的能力、探索的辦法都成為習慣、成為本能。智慧源于其中，能力萌發于此。
更重要的是，我的媽媽總是能夠在日常平凡的生活中找到自然而然的機會來激發我的興趣。借收電費計算錯誤的機會激發了我對數字倍數的興趣，借乘車買票鍛煉了我對減法的熟練應用，借買書培養了我口算、心算、連加的能力。多數婦女都能夠生育孩子，但卻不是所有生了孩子的婦女都能夠成為讓孩子自豪的媽媽。尋找生活中的各種細節，并借機發揮，把話題引到孩子有興趣的層面，這才是合格的媽媽應該做到的。
當我50 歲的時候，回顧自己已經走過的人生道路，我感謝的人是我的媽媽。她能夠做到的這一切，所有用心的媽媽都能夠做到，也一定能夠通過對孩子智慧的啟迪，對興趣的激發、培養和促進，讓孩子擁有更強大、更深刻的思考能力，從而創造美好的人生。
有人說，99% 的父母是教不好自己的孩子的。還有一種更加鮮明的說法：再好、再出色的教師，也教不好自己的孩子。有趣的是，媽媽在她40 歲談到對我的教育時，她認為自己是失敗的。根據是我沒有成為大學教授，沒有成為科學家，沒有成為知識分子。然而等到她50 歲談到對我的教育時，她認為一部分是成功的，比如我做人善良、比較正直、追求事業、不斷努力。根據是我在不斷學習新的知識，并努力進入全新的領域。等到她60 歲再談到對我的教育時，她的說法是，她是成功的。根據是我仍然在從事教育領域的工作，并漸漸得到了這個領域的認可，獲得了一定的知名度，而且自我感覺有所成就、對社會有價值。
在父母能不能教好自己孩子的這個問題上，為了比較客觀地判斷父母對孩子教育的作用和效果，請思考如下幾個問題：
教好孩子的意思是性格好、智力高，還是品質好？或者還有其他的意思？
教好孩子用什么來衡量？是考試分數、老師的贊揚，還是各種賽事的
獎狀？
教好孩子應該用孩子的哪個年齡階段來衡量？
媽媽用她的實踐給出了答案，好媽媽勝過好老師。老師給的是知識、是理性、是系統，而媽媽給的是興趣、是動力、是喜悅。媽媽，不是要成為家里的老師，而是成為一個啟蒙孩子智力發育的朋友。在追隨科學的路上僅僅有知識、理性、系統并不足以啟發孩子，往往還會是一種打擊。人需要被自己的興趣所驅動，而這就需要來自媽媽的細心引導與布局。等孩子長大、真正回頭望去時，那種感激、敬佩便會油然而生，因為那既成就了媽媽的期望，也成就了自己的一生。
請您打開這本《媽媽教的數學》，讓自己成為一位鍛造有價值人才的媽媽。
引言：每位媽媽都能鍛造一個有價值的人
第一回：家里有一桿秤
物體的輕重是最容易讓孩子理解量化作用的切入點，而能夠親眼看到、動手嘗試、直接體會并感受，更可以促進孩子理解數字的威力。寓教于樂就是來自生活的教育。
第二回：指尖上的數學
從數學的歷史發展來看，十進制成為最常用的計算體系應該與人類有10個手指有關。數字誕生在手指上，指尖上當然有美妙的數學。
第三回：粗心到底是什么
成人想當然地認為他應該會這個，他應該有積極主動的行為來重復檢查。但兒童心理學讓我了解到，孩子的本性越淳樸，就越不喜歡重復性的動作。如果媽媽換一個方法讓孩子去做，那么主動性和被動性將會發生變化。
第四回：默想是智力發展的敵人
說出來的任何內容都是對自我意識的超越，是建立在自我思維的水平之上的。這就相當于為自己制造了雙核的計算機處理器，無論是在速度上還是深度上，都肯定能夠超越單核的處理器。
第五回：應用題的關鍵難點
從孩子早期接受數學概念的能力來看，語言理解是最基礎的一關，也是最初的難點。培養孩子對數學詞匯的熟悉、理解，并漸漸形成認知。這樣，當孩子再遇到應用題時，題意理解這一關就可以輕松跨過了。
第六回：從手指開竅出大腦智慧
對孩子來說，指尖上的數學并不是登堂入室的學術任務，而是啟迪心智、啟發思維、啟動樂趣的探索過程。調動孩子運用手指參與不同形式的計算、數數和清點，都是大腦發育階段最合適、最貼切的活動。
第七回：發燒是多少度
兒童心理學在談到記憶力的時候有這樣的解釋：對一個事物的記憶來自于頭腦中對這個事物的集中時間，集中的時間越長，對這個事物記憶的時間也就越長。
第八回：孩子懂了嗎？媽媽怎么知道
做題并不能驗證孩子對數學概念的掌握情況。作為媽媽，能夠用來檢驗孩子對數學概念掌握情況的唯一方式，就是觀察或者詢問。
第九回：滿分學生沒有未來
至今我從心里樂于教數學，熱衷于輔導孩子數學，并能夠快速找到孩子學習數學時卡住的原因，這些能力都應該歸功于媽媽與我的交談——面對考試卷子的交談。
第十回：不會做題，只有三個可能
發現孩子有完全不會的題目時，父母要明確幫助孩子的目標是什么。不是替孩子把題目做出來，而是幫助他找到一條清晰的通路，理清楚題目的情況，弄明白題目希望他完成什么，或者鼓勵他提出自己的疑問。
后記
蔡校長寫給讀者的話：生活處處皆數學
保教授寫給讀者的話：為未來澆灌數學之樹
王博士寫給讀者的話：媽媽——早期智慧的培育者
測試題答案
第一章：家里有一桿秤
1972 年3 月21 日 星期二 陰
今天放學回家，一進門就看到媽媽在用秤稱重量。秤盤上放了蘿卜，旁邊還有我家的米袋、我的枕頭和紙。媽媽稱了東西就寫上數，我看到6 兩、1 斤1 兩等幾個數。這時，媽媽拿起我的書包放到秤上，然后在長條棍兒上挪那個疙瘩，她說那是秤砣，之后拿筆寫上：2 斤4 兩。媽媽讓我把書本、鉛筆盒都拿出來，分別放到秤上，又都寫了數，我就知道了我的鉛筆盒重2 兩，三本課本重4 兩，空書包重6 兩。這一天過得很有意義。
媽媽肯定沒有想到，1972 年3 月21 日，她給書包稱重量這個舉動深深影響了我。從那天起，我回家后的第一件事就是給我的書包稱重量，后來開始給爸爸的茶杯稱重量，家里10 斤以內的小東西都被我稱過了重量。有一天在學校，校辦工廠車間許老師到班里講勤工儉學要做橡膠圈的事情。下課后，我看到他喝水的大茶杯，用手掂了一下，然后自言自語地說：“1 斤6 兩。”許老師聽到了，看了我一眼，笑笑說：“你說這個茶杯1 斤6 兩？”我沒敢說話。等下午放學的時候，許老師到班里找到了我，讓我去校辦工廠。到了以后，他讓我拿起桌上的茶杯，我掂了一下，他問我多重，我說差不多9 兩。他從辦公室的門后取出一桿秤，把茶杯放上去稱重，然后驚訝地對我說，你怎么光用手就能知道多重呢？
我每天給書包、書本、鉛筆盒、茶杯、水杯稱重，都是自己用手拿上拿下，連續一個多月，手感就越來越準，當然能夠做到用手稱重了。
當我有一個小小的絕活兒，能夠讓學校的老師感到驚訝，并特別叫我到辦公室去驗證而不是批評我時，這對還是孩子的我來說簡直就是天大的激勵。
記得有一天回家，媽媽見我又在給書包稱重，她拿過來一個瓶子，瓶中有水，讓我稱一下重量。稱完后，我在紙上寫下：1 斤6 兩。媽媽說應該寫成1.6 斤。接著，我把瓶中的水全部倒掉，再稱是8 兩，然后媽媽讓我寫成0.8 斤。這時，媽媽問我剛才的水有多重。我哪里知道水有多重，我都不知道斤是什么、兩是什么，當時僅僅知道這些字代表了這個東西重的程度。數越大，當然就越重了。不過，在這種稱重的過程中，我學到了10 兩就是1 斤、1 斤就是10 兩的知識，記得非常快，也理解得非常快，于是算出倒掉的水重8 兩，也就是0.8 斤。
對于小數點的接受過程是自然的還是人為的，對孩子的理解與應用至關重要。此時，我才意識到小數點的作用是更加容易得出兩個數之間的差，不然媽媽給我解釋1 斤6 兩減去8 兩將是多么大的麻煩。媽媽講到1 斤等于10 兩的時候，我說那么1 斤6 兩不就是16 兩嘛，16 兩拿走8 兩，就是剩下8 兩嘍。
小數點是數學歷史發展過程中一個重要的里程碑，是數學領域的一件大事。這么一件大事講給小學生聽，唯一的結果大概就是成功地把孩子都嚇住，使他們在平時生活中再也不敢碰相關的事情了。媽媽的成功之處就在于讓我自然地接受了小數點的作用，卻沒有用多么悠久的歷史、多么輝煌的成就來培養我敬畏的心情和崇拜的心理。沒有了類似這樣無用的負擔，又與眼前的生活息息相關，接受起來自然就輕松得多了。
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