數值分析的若干問題與方法介紹數值分析的若干問題與新方法，是作者對近年來數值計算方法研究工作的系統整理和總結。其主要內容包括：高精度數值積分公式的構造及加速；數值積分公式的對偶公式；Cotes校正公式及其誤差估計；數值積分的Monte Carlo方法；改進數值積分公式的兩種新策略；高精度數值積分公式的重構及漸近性；數值積分公式誤差的X優估計；一類含中介值定積分等式證明題的構造；數值微分公式的構造及其應用；Newton迭代公式的改進等。本書可供計算數學工作者、從事科學與工程計算的科研人員，以及相關專業的研究生和本科高年級學生參考。
在科學與工程計算、信號處理、小波分析、系統工程理論等領域的實際問題建模中，經常會遇到定（重）積分的計算、表格表示函數的微分計算、線性方程組的求解、非線性方程和方程組的求解等問題。由于實際數學模型問題的復雜性，一般情況下計算和得到其準確值十分困難，只能考慮求其近似解（即數值解）。因此，相應的用于近似求解的數值計算方法的研究和選擇就顯得尤為重要。隨著科學技術的飛速發展，特別是計算機技術的大量普及，求解各種數學問題的數值方法越來越多地應用于科學技術與工程應用各領域，出現了一些新興的計算性交叉學科分支，如計算物理、計算化學、計算生物學、計算經濟學、計算材料力學等。科學計算已成為繼理論分析和實驗之后的第三大科學論證手段。現在，實驗、理論分析和科學計算“三足鼎立”，已成為當今科學活動的主要方式，而作為科學計算的基礎和核心內容的數值計算方法已被廣泛地應用于科學技術和國民經濟的各個領域。數值分析課程，是目前許多高校都開設的課程，是工科各專業研究生的一門重要必修基礎課，也是本科數學專業和工科相關專業高年級學生的一門重要的數學基礎課程。它講授的內容是計算數學的基本理論和方法。數值計算方法是學習理工科專業理論不可缺少的數學工具，也是培養學生的抽象思維能力、慎密概括能力、數值計算能力和初步的科學研究能力的重要手段。數值計算方法是工程數學與計算機應用的橋梁，它討論的是如何設計算法，將連續的數學模型離散化，利用計算機程序在有限步驟內有效求得近似解的方法，是工程應用和科學研究領域非常重要的基礎工具。數值分析課程的內容包括插值法、函數逼近、數值積分與數值微分、解線性方程組的直接法和迭代法、非線性方程與方程組的數值解法、矩陣特征值計算及常微分方程初值問題數值解法等。本書主要介紹數值分析的若干問題與新方法，是作者對近年來數值計算方法研究工作的系統整理和總結。其主要內容包括：高精度數值積分公式的構造及加速；數值積分公式的對偶公式；Cotes校正公式及其誤差估計；數值積分的Monte Carlo方法；改進數值積分公式的兩種新策略；高精度數值積分公式的重構及漸近性；數值積分公式誤差的最優估計；一類含中介值定積分等式證明題的構造；數值微分公式的構造及其應用；Newton迭代公式的改進等。作者多年來一直從事工科各專業研究生及數學專業高年級本科生數值分析課程的教學及對數值計算方法的研究工作。本書匯集了作者多年來在數值計算方法研究中取得的若干成果。作者感謝所指導的研究生徐偉和明萬元及本科生管林挺，他們參與了本書部分章節內容的部分工作，從不同角度作出了貢獻。作者還要特別感謝家人多年來始終不渝的支持。本書得到了南昌航空大學學術文庫及江西省研究生數值分析優質課程建設項目的資助，在此表示感謝。作者衷心感謝華中科技大學出版社編輯為本書付出的辛勤勞動。因作者水平有限及時間倉促，本書難免存在不足之處，懇請讀者批評指正。
鄭華盛
第1章高精度數值積分公式的構造與加速(1)
1.1高精度數值積分公式Ⅰ的構造(1)
1.1.1高精度單重數值積分公式Ⅰ的構造(1)
1.1.2高精度二重數值積分公式Ⅰ的構造(4)
1.2高精度數值積分公式Ⅱ的構造(9)
1.2.1高精度單重數值積分公式Ⅱ的構造(9)
1.2.2高精度二重數值積分公式Ⅱ的構造(11)
1.3一類高精度數值積分公式的加速算法(12)
1.4數值實驗(15)
1.4.1數值積分公式Ⅰ的數值實驗(15)
1.4.2數值積分公式Ⅱ及加速算法的數值實驗(16)
1.5小結(19)
第2章數值積分公式的對偶公式(20)
2.1單重數值積分公式的對偶公式(20)
2.1.1對偶公式的概念(20)
2.1.2幾個低階數值積分公式的對偶公式(21)
2.1.3三類高精度數值積分公式的對偶公式(26)
2.1.4三類復合數值積分公式的對偶公式(29)
2.2二重數值積分公式的高精度對偶公式(31)
2.2.1二重數值積分公式的對偶公式的概念(31)
2.2.2二重積分的高精度對偶公式的構造(31)
2.2.3一般區域上二重積分的高精度對偶公式構造(37)
2.3數值實驗(37)
2.4小結(42)
第3章Cotes校正公式及其誤差估計(43)
3.1Cotes校正公式及其誤差估計(43)
3.2復合Cotes校正公式及其加速公式(45)
3.3數值實驗(47)
3.4小結(49)
第4章數值積分的MonteCarlo方法(50)
4.1一維數值積分的MonteCarlo方法(50)
4.1.1原始的平均值法(51)
4.1.2兩類新的MonteCarlo型數值積分方法(51)
4.2高維數值積分的MonteCarlo方法(55)
4.2.1二重積分的MonteCarlo方法(56)
4.2.2k維積分的MonteCarlo方法(63)
4.3數值算例(69)
4.4小結(73)
第5章改進數值積分公式的新策略(74)
5.1預備知識(74)
5.2兩種改進新策略(75)
5.2.1第一種改進策略(75)
5.2.2第二種改進策略(78)
5.3應用實例(78)
5.4小結(86)
第6章高精度數值積分公式的重構及漸近性(87)
6.1數值積分公式的重構及其余項(87)
6.1.1一個低階數值積分公式的重構及其余項(87)
6.1.2一類高精度數值積分公式的重構及其余項(89)
6.2一些數值積分公式漸近性的討論(90)
6.3兩個數值積分公式的反問題(97)
6.4小結(98)
第7章數值積分公式誤差的最優估計(99)
7.1主要結論(99)
7.2實例(100)
7.3小結(104)
第8章一類含中介值定積分等式證明題的構造(105)
8.1定義及引理(105)
8.2主要結果(106)
8.3應用實例(107)
8.4小結(115)
第9章數值微分公式的構造及其應用(116)
9.1數值微分公式的構造及其余項(116)
9.1.1數值微分公式的構造方法Ⅰ(116)
9.1.2數值微分公式的構造方法Ⅱ(119)
9.1.3數值微分公式的重構實例(120)
9.2數值微分公式中介值點的漸近性(135)
9.3數值微分公式的校正公式及其余項(139)
9.4幾個有關數值微分公式的反問題(145)
9.5小結(147)
第10章Newton迭代公式的改進(148)
10.1Newton迭代公式的幾個改進(148)
10.1.1定義及引理(148)
10.1.2迭代公式的構造及收斂性(149)
10.2基于Newton迭代改進的新的三階預估校正格式(152)
10.2.1基本定義(152)
10.2.2預估校正格式及其收斂階(153)
10.3數值實驗(154)
10.3.1迭代格式Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的數值實驗(154)
10.3.2預估校正格式的數值實驗(155)
10.4小結(157)
參考文獻(158)
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