本書內容包括常微分方程兩點邊值問題的差分解法、橢圓型方程的差分解法、拋物型方程的差分解法、雙曲型方程的差分解法和有限元方法簡介。力求做到：（1）精選內容。重點介紹有限差分方法。（2）難點分散。對于差分方法，先從常微分方程兩點邊值問題出發，介紹差分方法的有關概念以及常用的分析技巧，然后將這些概念和技巧分別應用于橢圓型方程、拋物型方程和雙曲型方程的數值求解。對于有限元方法，也先從常微分方程兩點邊值問題出發，介紹有限元方法的基本思想，再研究橢圓型方程的有限元解法。（3）強調會“用”各種數值方法。先舉例示范，再要求學生模仿，最后到熟練掌握。書末的兩個附錄分別介紹有限Fourier級數法和Schr?dinger方程的差分方法。
本書是信息與計算科學及數學與應用數學專業的基礎課教材，也可作為高等學校數學及其他專業研究生的教學參考書。
本書內容包括常微分方程兩點邊值問題的差分解法、橢圓形方程的差分解法、拋物型方程的差分解法、雙曲型方程的差分解法和有限元方法簡介。
孫志忠，男，1963年3月生。1984年、1987年在南京大學先后獲得學士學位、碩士學位。1990年在中國科學院計算中心（現計算數學與科學工程計算研究所）獲得博士學位。1990年至今在東南大學數學系任教。現為教授，博士生導師。1997年開始招收研究生。曾經擔任東南大學數學建模隊教練11年，榮獲“全國數學建模優秀教練員”稱號。2010年12月成為江蘇省高校“青藍工程”中青年學術帶頭人培養對象。
孫志忠教授的研究專業為計算數學與科學工程計算，研究方向為偏微分方程數值解法中的差分方法理論。主持完成國家自然科學基金項目3項和江蘇省自然科學基金項目1項。自2006年以來，在SIAM J.Numer.Anal.，Math.Comp.，Numer.Math.，J.Comput.Phys.，Appl.Numer.Math.，Numer.Methods Partial Differential Eq，J.Comp.Appl.Math.，J.Comp.Math.，《中國科學》，《計算數學》，《應用數學學報》等國內外核心刊物上發表研究論文41篇（其中SCI論文33篇）。負責的工科研究生《數值分析》課程2002年被評為江蘇省研究生培養創新工程優秀研究生課程。出版教材《計算方法與實習》、《計算方法與實習學習指導與習題解析》、《計算方法典型例題分析》、《數值分析》、《數值分析全真試題解析》和《偏微分方程數值解法》。其中，《計算方法與實習》被評為2001年度全國優秀暢銷書，《數值分析》2003年被評為東南大學優秀研究生教材。2009年在科學出版社出版專著The Method of Order Reduction and Its Application to the Numerical Solutions of Partial Differential Equations。
前言
第1章 常微分方程兩點邊值問題的差分解法
1.1 Dirichlet邊值問題
1.1.1 基本微分不等式
1.1.2 解的先驗估計式
1.2 差分格式
1.2.1 差分格式的建立
1.2.2 差分格式解的存在性
1.2.3 差分格式的求解
1.2.4 差分格式解的先驗估計式
1.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性
1.2.6 Richardson外推法
1.2.7 緊差分格式
1.3 導數邊界值問題
1.3.1 差分格式的建立
1.3.2 差分格式的求解
小結與拓展
習題1
第2章 橢圓型方程的差分解法
2.1 Dirichlet邊值問題
2.2 五點差分格式
2.2.1 差分格式的建立
2.2.2 差分格式解的存在性
2.2.3 差分格式的求解
2.2.4 差分格式解的先驗估計式
2.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性
2.2.6 Richardson外推法
2.3 緊差分格式
2.3.1 差分格式的建立
2.3.2 差分格式解的存在性
2.3.3 差分格式的求解
2.3.4 差分格式解的先驗估計式
2.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性
2.4 導數邊界值問題
2.4.1 差分格式的建立
2.4.2 差分格式的求解
2.5 雙調和方程邊值問題
小結與拓展
習題2
第3章 拋物型方程的差分解法
3.1 Dirichlet初邊值問題
3.2 向前Euler格式
3.2.1 差分格式的建立
3.2.2 差分格式解的存在性
3.2.3 差分格式的求解
3.2.4 差分格式解的先驗估計式
3.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性
3.3 向后Euler格式
3.3.1 差分格式的建立
3.3.2 差分格式解的存在性
3.3.3 差分格式的求解
3.3.4 差分格式解的先驗估計式
3.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性
3.4 Richardson格式
3.4.1 差分格式的建立
3.4.2 差分格式的求解
3.4.3 差分格式的不穩定性
3.5 Crank-Nicolson格式
3.5.1 差分格式的建立
3.5.2 差分格式解的存在性
3.5.3 差分格式的求解
3.5.4 差分格式解的先驗估計式
3.5.5 差分格式解的收斂性和穩定性
3.5.6 Richardson外推法
3.6 緊差分格式
3.6.1 差分格式的建立
3.6.2 差分格式解的存在性
3.6.3 差分格式的求解
3.6.4 差分格式解的先驗估計式
3.6.5 差分格式解的收斂性和穩定性
3.7 非拋物線性方程
3.7.1 向前Euler格式
3.7.2 向后Euler格式
3.7.3 Crank-Nicolson格式
3.8 導數邊界值問題
小結與拓展
習題3
第4章 雙曲型方程的差分解法
4.1 Dirichlet初邊值問題
4.2 顯式差分格式
4.2.1 差分格式的建立
4.2.2 差分格式解的存在性
4.2.3 差分格式的求解
4.2.4 差分格式解的先驗估計式
4.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性
4.3 隱式差分格式
4.3.1 差分格式的建立
4.3.2 差分格式解的存在性
4.3.3 差分格式的求解
4.3.4 差分格式解的先驗估計式
4.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性
4.4 緊差分格式
小結與拓展
習題4
第5章 高維方程的交替方向法
5.1 二維拋物型方程的交替方向隱格式
5.1.1 差分格式的建立
5.1.2 差分格式解的存在性
5.1.3 差分格式的求解
5.1.4 差分格式解的先驗估計式
5.1.5 差分格式解的收斂性和穩定性
5.2 二維雙曲型方程的交替方向隱格式
5.2.1 差分格式的建立
5.2.2 差分格式解的存在性
5.2.3 差分格式的求解
5.2.4 差分格式解的先驗估計式
5.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性
5.3 二維拋物型方程的緊交替方向隱格式
5.3.1 差分格式的建立
5.3.2 差分格式解的存在性
5.3.3 差分格式的求解
5.3.4 差分格式解的先驗估計式
5.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性
5.4 二維雙曲型方程的緊交替方向隱格式
小結與拓展
習題5
第6章 有限元方法簡介
6.1 常微分方程邊值問題的有限元解法
6.1.1 變分原理
6.1.2 Ritz-Galerkin方法
6.1.3 有限元方法
6.2 橢圓型方程邊值問題的有限元解法
6.2.1 變分原理
6.2.2 Ritz-Galerkin方法
6.2.3 有限元方法
6.3 拋物型方程初邊值問題的有限元解法
小結與拓展
習題6
參考文獻
附錄A 有限Fourier級數
A.1 有限Fourier級數
A.2 兩點邊值問題差分解的先驗估計式
A.3 拋物型方程第一邊值問題差分解的先驗估計式
A.4 雙曲型方程第一邊值問題差分解的先驗估計式
小結與拓展
附錄B Schr?dinger方程的差分方法
B.1 Schr?dinger方程及其守恒律
B.2 兩層非線性差分格式
B.2.1 差分格式的建立
B.2.2 差分格式解的守恒性和有界性
B.2.3 差分格式解的存在唯一性
B.2.4 差分格式的收斂性
B.2.5 差分格式的迭代解法
B.3 三層線性化差分格式
B.3.1 差分格式的建立
B.3.2 差分格式的可解性
B.3.3 差分格式解的守恒性和有界性
B.3.4 差分格式的收斂性
B.4 緊差分格式
B.4.1 差分格式的建立
B.4.2 差分格式的可解性和收斂性
小結與拓展
第1 章常微分方程兩點邊值問題的差分解法
有限差分方法是用于微分方程定解問題求解的最廣泛的數值方法, 其基本思想是
用離散的只含有有限個未知量的差分方程組去近似代替連續變量的微分方程和定解
條件, 并把差分方程組的解作為微分方程定解問題的近似解. 常微分方程兩點邊值問
題可以看成一維橢圓型方程的定解問題, 模型簡單. 本章研究此模型問題的差分解法,
介紹微分方程數值解法中的一些基本概念, 分析差分格式的能量方法和提高數值解精
度的Richardson 外推法.
1.1 Dirichlet 邊值問題
考慮如下定解問題：
?u00 + q(x)u = f(x); a < x < b; (1.1.1)
u(a) = ?; u(b) = ˉ; (1.1.2)
其中q(x) > 0; f(x) 為已知函數, ? 和ˉ 為已知常數.
當q(x) ′ 0 時, 對方程(1.1.1) 的兩邊從a 到x 積分一次, 得到
u0(x) = u0(a) ? Z x
a
f(s)ds:
將上式再從a 到x 積分一次, 并應用左邊界條件u(a) = ?; 得到
u(x)=? + u0(a)(x ? a) ? Z x
a "Z ?
a
f(s)ds#d?
=? + u0(a)(x ? a) ? Z x
a ?Z x
s
f(s)d??ds
=? + u0(a)(x ? a) ? Z x
a
(x ? s)f(s)ds:
再應用右邊界條件u(b) = ˉ; 可得
u0(a) =
ˉ ? ? + Z b
a
(b ? s)f(s)ds
b ? a
:
因而(1.1.1), (1.1.2) 的解可表示為
u(x) = ? + "ˉ ? ? + Z b
a
(b ? s)f(s)ds#x ? a
b ? a ? Z x
a
(x ? s)f(s)ds:
要想求出某點處的值還需要借助于數值積分. 當q(x) 6′ 0 時, 用同樣的方法要想得到
解的精確表達式是困難的, 甚至是辦不到的. 讀者可對q(x) ′ 1 的情形試一試.
盡管難以求出精確解, 但我們可以設法給出解的估計式.
1.1.1 基本微分不等式
本書中Cm[a; b] 表示閉區間[a; b] 上所有具有m 階連續導數的函數的集合.
設u(x) 2 C[a; b]: 記
kuk1 = max
a6x6b ju(x)j; kuk = sZ b
a
u2(x)dx;
如果u(x) 2 C0[a; b], 則進一步記
juj1 = sZ b
a
[u0(x)]2dx; kuk1 = qkuk2 + juj2
1:
引理1.1 (a) 設u(x) 2 C2[a; b]; v(x) 2 C1[a; b]; 則有
?Z b
a
u00(x)v(x)dx = Z b
a
u0(x)v0(x)dx + u0(a)v(a) ? u0(b)v(b); (1.1.3)
(b) 設u(x) 2 C2[a; b]; 且u(a) = 0; u(b) = 0; 則有
?Z b
a
u00(x)u(x)dx = juj2
1 ; (1.1.4)
(c) 設v(x) 2 C1[a; b]; 且v(a) = v(b) = 0; 則有
kvk1 6
pb ? a
2 jvj1; (1.1.5)
kvk 6 b ? a
p6 jvj1; (1.1.6)
(d) 設v(x) 2 C1[a; b]; 且v(a) = v(b) = 0; 則對任意" > 0 有
kvk2
1 6 "jvj2
1 +
1
4"kvk2; (1.1.7)
(e) 設v(x) 2 C1[a; b]; 則對任意" > 0 有
kvk2
1 6 "jvj2
1 + μ1
"
+
1
b ? a?kvk2: (1.1.8)
證明(a) 由分部積分直接可得(1.1.3).
(b) 由(1.1.3) 易得(1.1.4).
(c) 對于任意的x 2 (a; b); 有
v(x) = Z x
a
v0(s)ds; (1.1.9)
v(x) = ?Z b
x
v0(s)ds: (1.1.10)
將(1.1.9) 和(1.1.10) 兩端平方并應用Cauchy-Schwarz 不等式, 得到
v2(x) 6 Z x
a
ds Z x
a
[v0(s)]2ds = (x ? a) Z x
a
[v0(s)]2ds; (1.1.11)
v2(x) 6 Z b
x
ds Z b
x
[v0(s)]2ds = (b ? x) Z b
x
[v0(s)]2ds: (1.1.12)
將(1.1.11) 乘以b ? x, 將(1.1.12) 乘以x ? a, 并將結果相加, 得
(b ? a)v2(x) 6 (x ? a)(b ? x) Z b
a
[v0(s)]2ds = (x ? a)(b ? x)jvj2
1 : (1.1.13)
注意到當x 2 (a; b) 時,
(x ? a)(b ? x) 6
(b ? a)2
4 ;
由(1.1.13) 得
(b ? a)v2(x) 6
(b ? a)2
4 jvj2
1 ; x 2 (a; b):
將上式兩邊開方, 得
jv(x)j 6
pb ? a
2 jvj1; x 2 (a; b);
易知
kvk1 6
pb ? a
2 jvj1:
對(1.1.13) 式兩端關于x 積分, 得
(b ? a) Z b
a
v2(x)dx 6 jvj2
1 Z b
a
(x ? a)(b ? x)dx 6
(b ? a)3
6 jvj2
1;
兩邊開方得
kvk 6 b ? a
p6 jvj1:
(d) 對任意" > 0; 有
v2(x) = Z x
a
d
ds
[v2(s)]ds = 2 Z x
a
v(s)v0(s)ds;
v2(x) = ?Z b
x
d
ds
[v2(s)]ds = ?2 Z b
x
v(s)v0(s)ds:
將以上兩式相加并除以2; 得到
v2(x)6Z x
a jv(s)v0(s)j ds + Z b
x jv(s)v0(s)j ds = Z b
a jv(s)v0(s)j ds
6" Z b
a
[v0(s)]2ds +
1
4" Z b
a
[v(s)]2ds = "jvj2
1 +
1
4"kvk2; a 6 x 6 b:
因而(1.1.7) 成立.
(e) 留給讀者作為練習.
引理證畢.
1.1.2 解的先驗估計式
我們給出齊次邊值問題解的先驗估計式.
定理1.1 設v(x) 2 C2[a; b] 為兩點邊值問題
?v00 + q(x)v = f(x); a < x < b; (1.1.14)
v(a) = 0; v(b) = 0 (1.1.15)
的解, 其中q(x) > 0, 則有
jvj1 6 b ? a
p6 kfk; (1.1.16)
kvk1 6
(b ? a)2
2p6 kfk1: (1.1.17)
證明(a) 將(1.1.14) 的兩端同乘以v(x), 并關于x 在(a; b) 上積分, 得
?Z b
a
v00(x)v(x)dx + Z b
a
q(x)v2(x)dx = Z b
a
f(x)v(x)dx: (1.1.18)
注意到(1.1.15), 由引理1.1 有
?Z b
a
v00(x)v(x)dx = jvj2
1:
由q(x) > 0; 有
Z b
a
q(x)v2(x)dx > 0:
此外, 應用Cauchy-Schwarz 不等式, 有
Z b
a
f(x)v(x)dx 6 kfk ￠ kvk:
將以上三式代入(1.1.18), 得
jvj2
1 6 kfk ￠ kvk:
再次應用引理1.1, 有
jvj2
1 6 b ? a
p6 kfk ￠ jvj1;
于是
jvj1 6 b ? a
p6 kfk:
(b) 注意到
kfk 6 pb ? akfk1;
由(1.1.16) 及引理1.1, 得
kvk1 6
pb ? a
2 jvj1 6
pb ? a
2 ￠
b ? a
p6 kfk 6
(b ? a)2
2p6 kfk1:
定理證畢.
稱(1.1.16) 和(1.1.17) 為兩點邊值問題(1.1.14), (1.1.15) 解的先驗估計式.
1.2 差分格式
由1.1 節我們知道對于一般的q(x); 要想求出問題(1.1), (1.2) 的精確解的表達式
是很難做到的. 這就促使人們換個思路去尋找近似解(數值解).
首先我們列出幾個常用的數值微分公式：
引理1.2 設h > 0 和c 為兩個常數,
(a) 如果g(x) 2 C2[c ? h; c + h], 則有
g(c) =
1
2
[g(c ? h) + g(c + h)] ?
h2
2 g00(?0); c ? h < ?0 < c + h; (1.2.1)
(b) 如果g(x) 2 C2[c; c + h], 則有
g0(c) =
1
h
[g(c + h) ? g(c)] ?
h
2 g00(?1); c < ?1 < c + h; (1.2.2)
(c) 如果g(x) 2 C2[c ? h; c], 則有
g0(c) =
1
h
[g(c) ? g(c ? h)] + h
2 g00(?2); c ? h < ?2 < c; (1.2.3)
(d) 如果g(x) 2 C3[c ? h; c + h], 則有
g0(c) =
1
2h
[g (c + h) ? g (c ? h)] ?
h2
6 g000(?3); c ? h < ?3 < c + h; (1.2.4)
(e) 如果g(x) 2 C4[c ? h; c + h], 則有
g00(c) =
1
h2 [g(c + h) ? 2g(c) + g(c ? h)] ?
h2
12 g(4)(?4); c ? h < ?4 < c + h; (1.2.5)
(f) 如果g(x) 2 C3[c; c + h], 則有
g00(c) =
2
h ?g(c + h) ? g(c)
h ? g0(c)??
h
3 g000(?5); c < ?5 < c + h; (1.2.6)
(g) 如果g(x) 2 C6[c ? h; c + h]; 則有[13]
1
12
[g00(c?h)+10g00(c)+g00(c+h)]=
1
h2 [g(c+h)?2g(c)+g(c?h)]
+ h4
240g(6)(?6); ?6 2 (c ? h; c + h): (1.2.7)
證明應用帶微分余項的Taylor 公式很容易得到式(1.2.1)?(1.2.6). 下面用帶
積分余項的Taylor 公式證明(1.2.7).
由帶積分余項的Taylor 公式可得
g(c + h)=g(c) + hg0(c) + h2
2 g00(c) + h3
6 g000(c) + h4
24 g(4)(c)
+ h5
120g(5)(c) + h6
120 Z 1
0
g(6)(c + sh)(1 ? s)5ds;
g(c ? h)=g(c) ? hg0(c) + h2
2 g00(c) ?
h3
6 g000(c) + h4
24 g(4)(c)
?
h5
120g(5)(c) + h6
120 Z 1
0
g(6)(c ? sh)(1 ? s)5ds:
將以上兩式相加, 得
1
h2 [g(c + h) ? 2g(c) + g(c ? h)]
=g00(c) + h2
12 g(4)(c) + h4
120 Z 1
0 hg(6)(c + sh) + g(6)(c ? sh)i(1 ? s)5ds: (1.2.8)
類似地, 由帶積分余項的Taylor 公式
g00(c + h)=g00(c) + hg(3)(c) + h2
2 g(4)(c) + h3
6 g(5)(c)
+h4
6 Z 1
0
g(6)(c + sh)(1 ? s)3ds;
g00(c ? h)=g00(c) ? hg(3)(c) + h2
2 g(4)(c) ?
h3
6 g(5)(c)
+h4
6 Z 1
0
g(6)(c ? sh)(1 ? s)3ds
可得
1
12
[g00(c + h) + 10g00(c) + g00(c ? h)]
=g00(c) + h2
12 g(4)(c) + h4
72 Z 1
0 hg(6)(c + sh) + g(6)(c ? sh)i(1 ? s)3ds: (1.2.9)
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