本書以案例的形式闡述了中學數學中初等數學的研究方法，共五個章節，包括初等數學中常用的類比思維與聯想思維，一般化與特殊化，正向思維與逆向思維，極限思想與整體思想等。每個方法概述下均有3到5個案例，每個案例均先提出問題，再解決問題，思維縝密，邏輯嚴謹。
近些年來，研究性學習已經成為基礎教育中的一個高頻詞匯。一位教師是否能真正有效地指導學生進行研究性學習，其自身對本學科的理解與研究能力是至關重要的。但在現實中情況并不令人樂觀，教師自身的研究能力常常是一個短板。因此,教師的專業發展既包含對教育理論的學習與研究，也應該包含對任教學科的深入思考與探索。
復旦大學附屬中學的肖恩利老師結合他多年數學教學、指導優秀學生競賽和初等數學研究的一些體會，對初等數學研究作了較為深入的探究與實踐，深入思考并研究了許多有意義的真問題，積累了大量成果，形成了這本具有個人特色的初等數學研究專著。
在這本專著中，肖老師較為系統地總結了進行初等數學研究的一些方法，并以案例的形式對如何發現問題、提出問題以及研究問題的方法進行了說明和補充。專著首先對初等數學研究的內容進行了一些綜述和范圍界定，并將該專著中初等數學研究的主要內容概括為初等數學的命題與解題的研究（包括教材、試題等）；基于數學軟件環境下的數學思想與方法（類比、猜想等）的研究；結合高等數學方法的初等數學問題研究以及數學史的研究與初等數學問題的溯源研究等四個方面。這一概括既符合數學科學特質，也符合初等數學教育特質，體現了作者獨到的思考。在此基礎上，作者進一步重點討論了在進行初等數學研究時的工具（如信息技術的使用）和重要的思想方法（如類比與聯想、一般化與特殊化、正向思維與逆向思維、極限思想與整體思想）等。對研究工具和思想方法作了科學歸納。
當然，仔細研讀了這本專著后，我們可以感受到作者的核心目的并不局限于方法的羅列和劃分，而是向基礎數學教育工作者提出這樣一個問題：怎樣讓數學的教與學成為一個整體？作者提出了這樣一個觀點：教師的教與學生的學實際上是一枚硬幣的兩個面，并且在一定條件下是可以轉化的，即教師的學與學生的教，體現了教學相長的教育理念。因此教師應該養成時時思考的習慣，既要對數學知識體系有完整而深刻的認識和經常性的思考，又要善于從學生的學中學習。
該專著中提供的案例，既有作者或同事教學過程中碰到的問題，如關于正四面體射影面積問題的向量處理球和圓柱側面可展性的一個證明，也有他們由一些數學問題出發引起的思考，如四邊形的內切橢圓CalkinWilf樹，SternBrocot樹與正有理數的排列等。從這些案例中可以看出，肖老師在初等數學研究領域多年的堅持與積累，以及對初等數學問題的敏銳和扎實的數學功底。這些為一線數學教師的專業發展提供了一個可參考、可借鑒的真實案例。
李秋明
2017年4月
（李秋明，復旦大學附屬中學數學教研組組長，上海市中小學正高級教師，上海市特級教師。兼任上海市教育學會中小學數學專業委員會委員，上海市數學會理事，上海市教師學研究會數學專業委員會副主任，上海市普教系統高級教師評審委員會委員，上海市名師、名校長培養工程中學數學基地主持人。中國數學奧林匹克高級教練員，楊浦知識創新區第六批、第七批、第八批拔尖人才。）
序二
我與肖恩利老師之間，極其投緣。2002年，他從華東師范大學碩士研究生畢業分配到復旦附中，與我同處一個辦公室十多年。認識他，為我的后半生交來一些好運。
我們一起討論過很多大學或中學的一些數學問題的思路，許多都涉及數學教學問題，這樣經常的討論，促使我不斷養成堅持閱讀的習慣。當時，復旦附中對新來的教師的培養還是傳統的、經驗型的，即一位老教師帶教一位新教師的傳、幫、帶模式，我帶教的青年教師就是肖恩利。所以，在教學上，相互接觸的機會比其他老師要多一些。
我們之間并不像傳統的師徒，師道尊嚴，我的帶教看似非常松散，但別具一格。關于我課堂教學的課不必多聽，只要知道我的教學風格即可。我對一個人天天聽我的課感到壓力很大，擔心不能把他帶好，而且，經常有老師坐在教室聽課是會分散學生的注意力的。于是，想了一個減緩壓力的辦法，告訴他三原則：其一是多聽曾容老師的課，因為曾容老師是滬上鼎鼎有名的數學特級教師，他對課堂教學又情有獨鐘，尤精于數學概念教學，他畢生努力實踐的數學過程教學獨樹一幟，他老人家是首屆蘇步青中學數學獎的獲獎人，曾擔任兩屆中國數學會理事，上海市中小學數學教育研究會副理事長，上海市中學生業余數學學校校長，他可謂是國寶級人物。其二是多聽我的活動課、研究課，以保持聽課的總量不變。對于怎樣教導培養學生，特別是指導學生研究型教學方面要多與我討論，無論是數學專業的還是人生經歷的，可以無話不談，各抒己見，使年輕人沒有思想負擔，高高興興地去鉆研教材。其三是建議他多閱讀書籍，尤其是要多了解數學的人文、歷史、數學家的逸聞趣事。要養成多去圖書館閱讀、瀏覽數學雜志的習慣，向全國名師學習，博采眾長。這樣持之以恒，教學水平一定會從量變到質變，產生飛躍。
帶教他3年期滿之后，他從徒弟漸漸變成了師傅。但是，我們已經養成了習慣，還是喜歡經常在一起討論數學問題，經常討論拔尖學生的培養問題。
單就寫數學教學輔導用書來說，我們有過長期合作的經歷，每當出版社約我撰寫著作，我就擬好提綱，將書的內容的整體框架設計好，寫出一個樣本，然后編好目錄，先讓他根據自己的興趣、愛好自主挑選一半的任務，所剩下的任務歸我完成。如2004年由復旦大學出版社出版的《高考數學一月通》，2005年由希望出版社、上海電子出版公司聯合出版的《高考數學高分對策80講》《高考數學復習測試題30套》，這3部著作有一百萬字之多，都是這樣由我和他共同完成的。現在這三本書都已經絕版了，我還是會聽到一些熟悉或不甚熟悉的朋友，稱贊其使他們受益。這給我很大的快慰。今后每當讀者讀到以上三部著作，切記這是肖恩利與我合作的產物。
他在編著書籍的任務中得到了鍛煉，增長了才干，這使他擁有濃濃的成就感。我們之間，不僅編寫數學教學參考資料，還合作寫過多篇有關數學教學科研論文，發表于中文核心刊物，其中有的數學教學論文還被中國人民大學報刊復印中心《中學數學教學》雜志收錄。長久以來，我經常把找我做的工作推給他去做，我覺得有些不好意思，我唯一心安理得的是，我所認識的人中，他是最合適的。數學雜志社邀我審稿、命題的任務，我也是交給他完成的。這是非常辛苦的工作，感謝他能如期按質按量地完成任務。
我認為肖恩利不僅數學論文寫得很好，而且人品也很好。其長處有兩點：一是與人為善。他計算機玩得很好，我經常向他請教計算機問題。無論我提出什么圖形，他都可以盡善盡美地表現出來。他看我操作速度較慢，總是叫我有什么事給他幫忙做就行，這樣既快又好。而我則不希望他代勞，一定要他具體教我操作，為的是學會了這門技術，可以更好地指導學生做數學課題。二是他善于發現問題，總結教學經驗，數學鉆研得精深。當你讀完這部著作，一定能感受到他寬闊的知識面和嚴謹的文字表達功夫，以及他在數學園地耕耘中所達到的高度。
我得知肖恩利要編著《問題·方法中學數學探究案例集》一書從醞釀到成稿已經有一年多時間了。還記得是在學校的大操場上參加2016年的第一次升旗儀式，他興沖沖地告訴我，他申報的科研課題得到了楊浦區學科帶頭人的科研基金的資助，將寫一本有關中學數學探究案例集的著作，邀我將未發表的文章都收錄于他的著作中，我非常感動。過去期待投稿發表一篇數學論文的那種艱辛，至今歷歷在目。如今，哪怕是發表十篇數學論文，都變得那么容易，幾乎是唾手可得，這真是太不可思議了。這是因為肖恩利老師是中學高級教師，中國數學奧林匹克高級教練員，上海市中學生業余數學學校教練員。他多次榮獲中國數學會高中、初中數學聯賽優秀教練員稱號，是楊浦區第八批教育系統拔尖人才和楊浦區第四屆學科帶頭人。他獲得上海市中小學中青年教師教學評選活動一等獎，在《數學通報》《數學教學》《數學通訊》等數學核心類期刊上發表十余篇論文，并與他人合著多本書籍。
我和肖恩利有著千絲萬縷的關系，記得2008年，我任教班級的學生施通通到美國西德維爾友好學校（Sidwell Friends School）交流一年，西德維爾友好學校的老師和同學對他的出色表現贊不絕口，很想知道復旦附中的數學教學風格和秘訣，經他與學校聯系，要復旦附中委派一位數學老師到美國西德維爾高中參加美國獨立學校協會（National Association of Independent Schools，簡稱NAIS）年會，肖恩利有幸受學校委派。在出訪前，他與我討論報告的選題及其內容。最終，他不負眾望，以《中國數學教學》為題，在NAIS的小組會上作了成功的報告。2009年，上海市科學技術協會組織的英才俱樂部，為了指導上海中學生的數學課題研究，邀請的大學教授是束金龍先生，而邀請的中學老師是我。他向我問起肖恩利的教學情況。我才知道，他原來是肖恩利的碩士生導師。而在肖恩利的教學生涯中，恰巧我們相遇。
在我退休之際，能看到肖恩利的有關數學方法的著作，并被請為此書作序，實乃我一生中的幸事。非常相似的是，我也是在這個年齡發表有關高中生數學課外讀物的數學專著，但按學術專著的質量來看，他的著作其難度和深度都寫得比我好。真是青出于藍而勝于藍。在此，我祝賀肖恩利新著出版，并以此為新起點，不斷有創新教學成果，不斷有新著作問世。
汪杰良
2017年3月于復旦附中
（汪杰良，復旦附中數學教師，中學高級教師，中國數學奧林匹克高級教練，中國數學會會員。曾任南京市中學數學教學研究會常務理事、南京市初等數學研究課題組組長、上海市數學會理事、上海市中學數學教學研究會常務委員。）
前言
有人說，數學教師的三項基本功是解題、上課、寫論文，此言不虛，每一位奮戰在教學第一線的教師都對這種說法有深刻的感受。自從踏上工作崗位的第一天起，數學教師幾乎天天都在與題目打交道，積累了不少的解題資料，也肯定產生過不少的火花。那么，是讓這些火花漸漸熄滅，還是讓它越燒越旺，進而能開辟一小片自己的研究領域？我的選擇是第二種。在多年的教學和解題經歷中，我養成了記錄思考引申溯源的習慣：
記錄將自己在教學和解題過程中遇到的好問題、好方法記錄下來；
思考將自己收集的問題反復研讀、反復琢磨；
引申從不同角度研究問題，設法找到問題、方法之間的聯系；
溯源從數學歷史、數學名題、數學名著中尋找問題來源，尋找靈感，從初等數學與高等數學的關聯中尋找思路和解決方法。
到今天為止，解題是我每天都要進行的思維活動，不僅活躍了我的思維，提升了我的研究能力，也讓我在教學實踐和解題實踐中找到了快樂，找到了成就感。雖然離開辟自己的研究領域還有一段距離，但我始終相信，堅持下去，終有收獲！
本書收錄的是我和我的同事們在平時教學和解題中的一些思考，既有對解題方法的探討，如一個射影面積的向量化處理和對一個分段遞推數列周期性的研究，也有對數學原理的思考，如球和圓柱側面可展性的一個證明和從arctan12 arctan13=4到高斯整數 等，并從中提煉了一些進行初等數學研究的主要方法，如信息技術的使用、一些重要的思想方法等。當然，這些方法并沒有包含進行初等數學研究的所有方法，并且在進行初等數學研究的時候，方法的使用并沒有明顯的界限，初等數學研究往往是對研究者的知識、技能和意志力等全方位的考驗，因此，本書的寫作目的并不在于方法的羅列和劃分，而是提出這樣一個問題：怎樣讓數學的教與學成為一個整體？這應該就是我不斷努力追求的目標和方向吧。
在此，特別感謝李秋明老師和汪杰良老師給我的鼓勵、支持和幫助，也感謝他們為本書作序。
限于學識和能力，本書尚有不足之處，敬請指正！
筆者
2017年3月
肖恩利，復旦附中數學教師，中學高級教師，中國數學奧林匹克高級教練員。曾先后榮獲上海市中小學中青年教學評比活動一等獎，全國高中數學聯賽優秀教練員，丘成桐中學數學獎優秀指導教師，上海市楊浦區學了帶頭人，上海市楊浦區教育系統拔尖人才等。在《數學通報》，《數學通訊》，《數學教學》等核心期刊上發表多篇文章。
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