Wiener sausage是以布朗運(yùn)動(dòng)軌道為中心的空間鄰域，它是一個(gè)集合值隨機(jī)泛函。大偏差理論主要研究罕見(jiàn)事件發(fā)生概率為指數(shù)型的估計(jì)，由Varadhan于1966年引入，現(xiàn)已成為概率論的主流分支之一。
本書(shū)從大偏差角度研究Wiener sausage相交軌道的性質(zhì)，主要是下臨界和臨界維數(shù)情形。我們采用經(jīng)典的Feynman-Kac方法和高階矩逼近方法，研究其相交體積和相交時(shí)間的大偏差理論。進(jìn)而，利用大偏差提供的尾估計(jì)研究了單個(gè)Wiener sausage體積的重對(duì)數(shù)律、強(qiáng)逼近等極限性質(zhì)。
本書(shū)可供高等院校研究生以及科研工作者學(xué)習(xí)參考。
適讀人群 ：研究生以及科研工作者
作者在研究Wiener sausage相交軌道的體積以及相交時(shí)間的一些大偏差性質(zhì)等方面是國(guó)內(nèi)的權(quán)wei。
經(jīng)典的布朗運(yùn)動(dòng)在描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)常把質(zhì)點(diǎn)看成是沒(méi)有體積的純幾何點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，然而現(xiàn)實(shí)中的物體總是有體積的，此時(shí)布朗運(yùn)動(dòng)理論難免出現(xiàn)偏差.一個(gè)典型的例子是，第二次世界大戰(zhàn)期間著名概率論專(zhuān)家Doob發(fā)現(xiàn)三維空間的布朗運(yùn)動(dòng)是以概率1不常返的，并由此認(rèn)為飛機(jī)碰撞是小概率事件.然而，雖然飛機(jī)都被規(guī)定在不同高度上飛行，碰撞事件還是時(shí)有發(fā)生，其原因是與忽略飛機(jī)具有體積這一事實(shí)相關(guān)，這就迫切需要一種新的模型來(lái)對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)加以補(bǔ)充. Wiener sausage就是一種有用的補(bǔ)充模型，這是一個(gè)隨機(jī)集合值的泛函，以布朗運(yùn)動(dòng)軌道為中心、某一長(zhǎng)度為半徑的空間鄰域. 最重要的是，Wiener sausage考慮到了物體的體積，從而彌補(bǔ)了布朗運(yùn)動(dòng)的不足. 由于它具有極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)性，其相關(guān)理論一直以來(lái)都是學(xué)界關(guān)注的重點(diǎn). 近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，Wiener sausage的相關(guān)理論也被廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制、智能材料、傳感器設(shè)計(jì)等諸多領(lǐng)域.
樣本軌道的相交性質(zhì)是學(xué)界關(guān)心的重要問(wèn)題，它與量子場(chǎng)理論中的重正則群方法、隨機(jī)游動(dòng)的自回避以及隨機(jī)聚合物等有著緊密聯(lián)系. 特別地，相交軌道的大偏差理論在分析一些物理問(wèn)題時(shí)起著關(guān)鍵作用. 該領(lǐng)域的研究可以追溯至Dvoretzky，Erds(文獻(xiàn)［34］和［35］) 和Kakutani對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)相交行為的研究工作. 隨后涌現(xiàn)大批學(xué)者投入研究，建立了很多奠基性的工作. 例如Varadhan在文獻(xiàn)［81］中提出了重正則思想，German、Horowitz、Rosen(文獻(xiàn)［40］)，Dynkin(文獻(xiàn)［37］),Yor(文獻(xiàn)［82］)，Calais、Yor(文獻(xiàn)［84］) 定義了樣本軌道的相交局部時(shí)，Le Gall(文獻(xiàn)［53］，［54］,［55］)，Rosen、Le Gall(文獻(xiàn)［61］) 研究了相交軌道的弱收斂性質(zhì)，等等. 特別值得一提的是Donsker 和Varadhan 的四篇經(jīng)典文獻(xiàn)［28]、[29]、[30］、[33］對(duì)相交局部時(shí)及其相關(guān)領(lǐng)域的大偏差研究起到了極其深遠(yuǎn)的影響.
本書(shū)主要研究了Wiener sausage相交軌道的體積以及相交時(shí)間的一些大偏差性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)完整地得到了各種維數(shù)下單個(gè)Wiener sausage體積的重對(duì)數(shù)律. 通過(guò)本書(shū)的編寫(xiě)，一方面我們希望完善Wiener sausage的相關(guān)理論,另一方面也為對(duì)該領(lǐng)域有研究興趣的讀者提供一些有益參考.
本書(shū)的主要內(nèi)容分為三章. 第1章，首先介紹了Wiener sausage的物理背景及其研究進(jìn)展，同時(shí)我們回顧了大偏差的一般理論以及本書(shū)證明中將要用到的重要理論；第2章，研究了p個(gè)獨(dú)立Wiener sausage 相交體積和相交時(shí)間的中偏差，作為中偏差的一個(gè)應(yīng)用，我們得到了相應(yīng)的重對(duì)數(shù)律；第3章，討論了單個(gè)Wiener sausage 體積的重對(duì)數(shù)律，得到了比較完整的結(jié)果.
由于作者水平有限，書(shū)中難免會(huì)存在不足之處，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正.
本書(shū)得到國(guó)家自然科學(xué)基金(No.11401590)和中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(No.2722013JC081)以及中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院一流學(xué)科建設(shè)經(jīng)費(fèi)的資助，特此表示感謝. 我還要感謝武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院高付清教授和中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院許多同仁的鼓勵(lì)、支持和幫助，感謝我的愛(ài)人和女兒，他們?yōu)槲业墓ぷ魈峁┝藷o(wú)條件的支持，才使本書(shū)得以完成.
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王艷清，中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院副教授、碩士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)榇笃钆c偏差不等式、隨機(jī)分析及其應(yīng)用等。主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目天元基金、青年基金和教育部人文社科青年項(xiàng)目各一項(xiàng)，在《Electronic Journal of Probability》、《Statistics and Probability Letters》、《中國(guó)科學(xué)》等國(guó)內(nèi)外期刊發(fā)表論文10余篇。
第1章 概 述
1.1 研究背景
1.2 預(yù)備知識(shí)
1.2.1 大偏差理論
1.2.2 非負(fù)隨機(jī)變量的大偏差
第2章Wiener sausage相交體積和相交時(shí)間的中偏差和重對(duì)數(shù)律
2.1 下臨界維數(shù)Wiener sausage相交軌道的大偏差和重對(duì)數(shù)律
2.1.1 相交體積的中偏差
2.1.2 相交時(shí)間的中偏差
2.1.3 相交體積和相交時(shí)間的重對(duì)數(shù)律
2.2 臨界維數(shù)Wiener sausage相交軌道的中偏差和重對(duì)數(shù)律
2.2.1 相交時(shí)間的偏差不等式
2.2.2 相交時(shí)間的重對(duì)數(shù)律
2.2.3 相交體積的偏差不等式和重對(duì)數(shù)律
第3章 單個(gè)Wiener sausage體積的重對(duì)數(shù)律
3.1 一維Wiener sausage長(zhǎng)度的重對(duì)數(shù)律
3.1.1 尾估計(jì)
3.1.2 小球估計(jì)
3.1.3 重對(duì)數(shù)律
3.2 平面Wiener sausage面積的重對(duì)數(shù)律
3.2.1 |Wr(t)|-E|Wr(t)|的尾估計(jì)
3.2.2 E|Wr(t)|-|Wr(t)|的尾估計(jì)
3.2.3 重對(duì)數(shù)律
3.3 三維Wiener sausage體積的重對(duì)數(shù)律
3.3.1 中偏差
3.3.2 重對(duì)數(shù)律
3.4 高維Wiener sausage體積的重對(duì)數(shù)律
3.4.1 強(qiáng)逼近
3.4.2 重對(duì)數(shù)律
參考文獻(xiàn)
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