本書系統地介紹了信息安全理論與技術所涉及的數論、代數、橢圓曲線等數學理論基礎。全書共分為6 章： 第1 章是預備知識， 介紹了書中后面幾章所涉及的基礎知識； 第2 章和第3 章是數論基礎， 包括整數的因子分解、同余式、原根、二次剩余、數論的應用等內容； 第4 章是代數系統， 包括群、環、域的概念， 一元多項式環和有限域理論初步等內容； 第5 章是橢圓曲線， 包括橢圓曲線的預備知識、橢圓曲線、橢圓曲線上的離散對數等內容； 第6 章是線性反饋移位寄存器， 包括反饋移位寄存器、分圓多項式和本原多項式、ｍ 序列等內容。書中每章末都配有適量習題， 以供學生學習和復習鞏固書中所學內容。
本書是高等學校信息安全專業本科生的教材， 也可作為信息科學技術類專業（如計算機科學技術、通信工程和電子科學技術等） 本科生和研究生的教材， 同時， 也可以供從事信息安全和其他信息技術工作的人員參考。
在互聯網科技高度發展的今天，信息安全越來越受到重視。作為信息安全專業本科的專業基礎教材，本書系統地介紹了信息安全領域涉及的數學基礎知識，內容全面，論證清晰，對信息安全理論和技術的深入學習具有重要的意義。
計算機與網絡技術的飛速發展和廣泛應用，
極大地促進了社會的發展，
也極大地改變了人們的生活和工作方式。與此同時，
信息安全問題也更多地受到關注：
信息安全理論與技術已經成為信息科學與技術中極為重要的研究領域；
信息安全專門人才的培養受到了社會空前的重視。
信息安全數學基礎
是信息安全專業本科的專業基礎課，
對信息安全理論和技術的深入學習具有重要的意義。本書是在南開大學信息安全專業信息安全數學基礎
課程授課講義的基礎上整理而成的。全書共分為6 章：
第1 章是預備知識，
介紹了書中所涉及的基礎知識；
第2 章和第3 章是數論基礎，
包括整數的因子分解、同余式、原根、二次剩余和數論的應用等內容；
第4 章是代數系統，
包括群、環、域的概念，
一元多項式環和有限域理論初步等內容；
第5 章是橢圓曲線，
包括橢圓曲線的預備知識、橢圓曲線、橢圓曲線上的離散對數等內容；
第6 章是線性反饋移位寄存器，
包括反饋移位寄存器、分圓多項式和本原多項式、ｍ
序列等內容。書中每章末都配有適量的習題，
供學生在學習和復習鞏固書中所學內容時使用。
本書內容的選取，
我們參照了高等學校信息安全專業指導性專業規范（第二版）中對信息安全數學基礎
相關教學內容和要求的闡述；
并將多年來積累的實際教學經驗融入其中，
力求知識系統化、較好地覆蓋信息安全領域所涉及的數學基礎知識。對書中內容所涉及的基礎預備知識做了簡明扼要的介紹；
書中所涉及的數學結論都給出了詳細的證明；
習題的配置著力于幫助學生鞏固所學的內容和能力拓展。本書適合高等學校信息安全、計算機科學技術和通信工程等專業本科生和研究生使用，
也可供相關領域的科研人員和技術人員參考。
本書由賈春福、鐘安鳴、趙源超等編寫，
最后由賈春福統稿。李瑞琪、鄭萬通、王小璐、董奇穎、陳孟琪、李士佳、田美琦等對書中的內容進行了校對，
在此表示感謝。另外，本書是南開大學教材資助項目，
在此也表示衷心的感謝。
由于時間倉促，
書中難免有疏漏和不當之處，
敬請讀者批評指正。
編者
2017 年12 月于南開園
賈春福，男，博士后，南開大學信息技術科學院計算機科學與信息安全系副主任。主要研究領域涉及計算機網絡與信息安全、可信計算、惡意代碼分析和軟件安全等領域。先后主持或參加國家攀登計劃項目、國家973計劃項目、863計劃項目和國家自然科學基金項目8項；省部級科研項目等9項；獲天津市自然科學二等獎1項。發表研究論文近百篇，其中70余篇分別被SCI和EI收錄，100余篇次被國內、國際專著或論文引用。
第1 章預備知識 1
1.1集合、 關系和函數 1
1.1.1集合 1
1.1.2關系 6
1.1.3函數 13
1.2組合數學初步知識 19
1.2.1排列與組合 19
1.2.2生成函數 26
習題 33
第2 章數論基礎（一） 35
2.1整除 35
2.1.1整除與帶余除法 35
2.1.2最大公因子與輾轉相除法 38
2.1.3連分數 43
2.1.4算術基本定理 50
2.1.5梅森素數和費馬素數 53
2.2同余 55
2.2.1同余的概念和性質 55
2.2.2剩余類和歐拉定理 58
2.2.3線性同余方程 63
2.2.4孫子定理與同余方程組 67
2.2.5高次同余方程 74
習題 79
第3 章數論基礎（二） 82
3.1原根 82
3.1.1整數的次數 82
3.1.2原根的概念 86
3.1.3指數與 ｎ 次剩余 92
3.2二次剩余 96
3.2.1二次剩余的概念和性質 96
3.2.2勒讓德符號與二次互反律 100
3.2.3雅可比符號 106
3.3數論的典型應用 109
3.3.1素性檢驗算法 109
3.3.2因子分解算法 115
習題 117
第4 章代數系統基礎 119
4.1群 119
4.1.1群及其基本性質 119
4.1.2子群 123
4.1.3循環群和群的生成 125
4.1.4陪集和拉格朗日定理 128
4.1.5同態與同構 130
4.1.6正規子群與商群 134
4.1.7循環群的分類 137
4.1.8置換群 138
4.2交換環和域 141
4.2.1交換環及其基本性質 141
4.2.2域及其基本性質 147
4.2.3同態與同構 148
4.2.4一元多項式環 150
4.2.5理想和商環 151
4.3域上的一元多項式環 156
4.3.1一元多項式的整除 157
4.3.2一元多項式環的理想 160
4.3.3域上一元多項式唯一分解定理 161
4.3.4多項式不可約性檢驗 162
4.3.5一元多項式的同余與商環 164
4.4有限域理論初步 165
習題 169
第5 章橢圓曲線 171
5.1橢圓曲線的預備知識 171
5.1.1仿射平面和射影平面 171
5.1.2判別式、 結式和代數不變量 173
5.1.3一元三次方程的公式解Cartan 公式 177
5.2橢圓曲線的概念 178
5.2.1Weierstrass 方程 178
5.2.2橢圓曲線方程 181
5.2.3橢圓曲線上點的加法群（Mordell
Weil 群） 182
5.2.4有限域上的橢圓曲線 187
5.3離散對數初步 191
5.3.1有限域上的離散對數 191
5.3.2橢圓曲線上的離散對數 193
習題 194
第6 章線性反饋移位寄存器 196
6.1反饋移位寄存器 196
6.1.1反饋移位寄存器簡介 196
6.1.2線性反饋移位寄存器簡介 197
6.1.3非線性組合移位寄存器簡介 198
6.2分圓多項式和本原多項式 198
6.2.1分圓多項式 198
6.2.2本原多項式 202
6.3 M 序列 205
6.3.1 LFSR 的特征多項式 205
6.3.2 m 序列的產生條件 207
6.3.3 m 序列的特點 208
6.3.4 m 序列的破譯 210
習題 212
參考文獻 213
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