大學文科數學貫徹導引的思想，結合文科生對高等數學的可接受性，力求讓廣大文科大學生接觸到更為廣泛、更具有實用價值的數學知識．大學文科數學分三部分，包括微積分、線性代數、概率論與數理統計，共含13章．內容豐富，條理清楚，重點突出，難點分散，注重數學思想的介紹，力求做到深入淺出．
目 錄
第一部分微積分
第1章 函數與極限 ．．-2
1.1 函數及其性質．．-2
1.1.1 函數的概念 -2
1.1.2函數的幾種特性-4
1.1.3 函數的運算 -6
1.1.4初等函數 7
1.2數列的極限 - 12
1.2.1數列的概念 ．-- 12
1.2.2數列極限的定義 ．-- 12
1.2.3收斂數列的性質 ．-- 14
1.3 函數的極限 - 16
1.3.1鄰域 - 17
1.3.2函數極限的概念 ．-- 17
1.3.3 函數極限的性質 ．-- 19
1.3.4兩個重要的極限 ．-- 20
1.3.5無窮小量與無窮大量 ．22
1.4函數的連續性- 25
1.4.1 函數的連續性．-- 25
1.4.2 函數的間斷點 ．-- 26
1.4.3初等函數的連續性 - 27
1.4.4閉區間上連續函數的性質- 28
習題l-- 30
中外數學家簡介【1】 ．．- 31
第2章導數與微分 - 34
2.1導數的概念 - 34
2.1.1引例 - 34
2.1.2導數的定義 ．-- 35
2.1.3函數的可導性與連續性之間的關系．-37 2.2導數的計算 - 38
2.2.1部分基本初等函數的導數公式 ．- 38
2.2.2導數的四則運算法則 - 39
2.2.3復合函數的求導法則 - 40
2.2.4基本初等函數的求導公式- 41
2.2.5隱函數的導數．-- 41
2.2.6高階導數 ．-- 42
2.3 函數的微分 - 43
2.3.1微分的定義 ．-- 43
2.3.2函數可微的條件 ．-- 44
2.3.3基本初等函數的微分公式與微分運算法則一- 44
2.3.4微分在近似計算中的應用- 46
習題2 -- 46
中外數學家簡介【2】 ．．- 47
第3章導數的應用 - 50
3.1微分中值定理- 50
3.1.1羅爾定理 ．-- 50
3.1.2拉格朗日中值定理 - 51
3.1.3柯西中值定理．-- 52
3.2洛必達法則 - 53
3.2.1罟型與要型未定式 - 53
3.2.2其他類型的未定式 ．- 55
3.3函數的單調性及函數的極值、最大值、最小值一- 56
3.3.1函數的單調性．-- 57
3.3.2函數的極值 ．-- 57
3.3.3函數的最大值與最小值 - 60
習題3-- 61
中外教學家簡介【3】 ．．- 62
第4章不定積分 - 65
4.1不定積分的概念和性質 - 65
4.1.1原函數的概念．-- 65
4.1.2不定積分的概念 ．-- 66
4.1.3不定積分的幾何意義 - 67
4.1.4不定積分的性質 ．-- 67 4.1.5基本積分公式．- 68
4.2不定積分的計算 ．- 69
4.2.1第一換元法（湊微分法） - 69
4.2.2第二換元法 ．- 70
4.2.3分部積分法 ．- 72
習題4-- 74
中外數學家簡介【4】 ．- 74
第5章定積分．． ．77
5.1定積分的概念和性質．-77
5.1.1引例 -77
5.1.2定積分的定義．- 79
5.1.3定積分的幾何意義 - 81
5.2定積分的性質 ．- 82
5.3定積分的計算 ．- 84
5.3.1微積分基本公式 ．- 84
5.3.2定積分的換元積分法 - 87
5.3.3定積分的分部積分法 - 88
5.3.4無窮區間上的廣義積分 - 89
5.4定積分的應用- 91
5.4.1定積分的微元法 ．- 91
5.4.2幾何上的應用．- 92
5.4.3物理上的應用．- 96
習題5-- 98
中外數學家簡介【5】 ．- 99
第6章微分方程簡介．． - 101
6.1常微分方程的基本概念 ． - 101
6.2可分離變量的常微分方程 ． - 103
6.3 -階線性微分方程 - 104
習題6- - 106
中外數學家簡介【6】 - 107
微積分發展簡史 - 110
第二部分線性代數
第7章行列式 - 114
7.1”階行列式一 - 114 7.1.1二階和三階行列式 ． - 114
7.1.2排列及其逆序數 - 118
7.1.3”階行列式的定義 ． - 120
7.1.4”階行列式的等價定義 ． - 122
7.2行列式的性質與計算 - 123
7.2.1行列式的性質 - 123
7.2.2行列式的計算 - 126
7.3克拉默法則．． - 128
7.3.1行列式按行（列）展開 ． - 128
7.3.2克拉默法則 - 132
習題7 - 135
第8章矩陣 - 137
8.1矩陣的概念 137
8.1.1引例-137
8.1.2矩陣的定義 - 140
8.1.3幾類特殊的矩陣142
8.2矩陣的運算一 - 145
8.2.1矩陣加法 145
8.2.2數量乘積 - 147
8.2.3矩陣乘法 150
8.2.4方陣的冪 - 156
8.2.5矩陣的轉置 - 159
8.2.6方陣的行列式 - 160
8.3矩陣的逆 ．． - 161
8.3.1可逆矩陣的概念 - 161
8.3.2矩陣可逆的判定164
8.3.3可逆矩陣的性質 - 167
習題8- - 169
第9章線性方程組 ．． - 171
9.1消元法 ．． - 171
9.1.1絨性方程組的有關概念 ． - 171
9.1.2消元法 一 - 173
9.2矩陣的初等行變換 - 176
9.2.1矩陣的初等行變換 ． - 176
9.2.2行階梯形矩陣 - 177 9.2.3行最簡形矩陣一- 179 習題9 - - 179
9．2．3 行最簡形矩陣179
9．2．4 消元法求解線性方程組的矩陣表示181
9．2．5 用初等行變換求矩陣的逆矩陣183
習題9 185
第三部分 概率論與數理統計
第10章 隨機事件及概率188
10．1 隨機事件及其運算188
10．1．1 隨機試驗188
10．1．2 樣本空間188
10．1．3 隨機事件189
10．1．4 事件間的關系189
10．1．5 事件間的運算190
10．1．6 事件的運算法則192
10．2 隨機事件的概率193
10．2．1 頻率193
10．2．2 概率的統計定義194
10．2．3 概率的公理化定義及其性質195
10．3 條件概率197
10．3．1 條件概率的定義197
10．3．2 乘法定理198
10．3．3 全概率公式199
10．3．4 貝葉斯公式201
10．4 事件的獨立性與獨立試驗概型202
10．4．1 事件的獨立性202
10．4．2 獨立試驗概型205
習題10 206
第11章 隨機變量及其分布209
11．1 隨機變量與分布函數209
11．2 離散型隨機變量及其分布律211
11．2．1 離散型隨機變量和概率分布211
11．2．2 常用離散型隨機變量的分布214
11．3 連續型隨機變量及其分布219
11．3．1 連續型隨機變量和密度函數219
11．3．2 常用連續型隨機變量的分布221 第12章 隨機變量的數字特征 - 230
12.1數學期望 一 - 230
12.1.1數學期望的定義 - 230
12.1.2數學期望的性質 ． - 232
12.2方差 - 233
12.2.1方差的定義 - 233
12.2.2方差的性質 - 234
習題12 - - 236
第13章數理統計的基本方法 - 238
13.1總體與樣本一 - 238
13.1.1總體與樣本的定義 ． - 238
13.1.2樣本函數與統計量 ． - 239
13.1.3抽樣分布 - 241
13.2參數的點估計 - 247
13.2.1矩估計法 - 248
13.2.2最大似然估計法 - 249
13.2.3估計量評選標準 ． - 252
13.3參數的區間估計 - 254
習題13 - - 263
參考文獻 - 265
附表 一 - 266
第一部分 微 積 分
微積分學(cAlculus)在自然科學、經濟學和工程技術領域有廣泛的應用，是現
代大學教育的重要組成部分．微積分是在代數學、三角學和解析幾何學的基礎上建
立起來的，包括微分學、積分學兩大分支．微分學包括求導數的運算，是一套關于變
化率的理論，它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進
行演繹．積分學包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方
法．微積分基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積
分的原因．我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分，但是在教學中一般會
先引入微分學．在更深的數學領域中，微積分學通常被稱為分析學，并被定義為研
究函數的科學．
本部分包括函數與極限、導數與微分、導數的應用、不定積分、定積分及其應用
以及微分方程簡介6章內容．第1章 函數與極限
初等數學研究的主要是常量及其運算，而高等數學研究的主要是變量及變量
之間的依賴關系，函數正是這種依賴關系的體現，極限方法是研究變量之間依賴關
系的基本方法．本章將在復習高中所學的函數與極限概念的基礎上，進一步介紹兩
個重要極限、無窮小與無窮大的概念以及函數連續性．
1.1 函數及其性質
1.1.1 函數的概念
在自然界中，某一現象中的各種變量之間，通常并不都是獨立變化的，它們之
間存在著依賴關系，我們觀察下面幾個例子．
例如，某種商品的銷售單價為p元，則其銷售額L與銷售量z之間存在這樣
的依賴關系：L一pl-．
又如，圓的面積S和半徑r之間存在這樣的依賴關系：S一7rr2．
不考慮上面兩個例子中量的實際意義，它們都給出了兩個變量之間的相互依
賴關系，這種關系是一種對應法則，根據這一法則，當其中一個變量在其變化范圍
內任意取定一個數值時，另一個變量就有確定的值與之對應．兩個變量間的這種對
應關系就是函數概念的實質．
定義1.1 設有兩個變量z，v，D是一個數集．對任意的z∈D，存在一定規
律廠，使得v有唯一確定的值與之對應，則y稱為z的函數．記作y一、廠(z)，z∈D.
其中z稱為自變量，v稱為因變量．數集D禰為函數的定義域，函數v的取值范圍
V={y I y一．廠(z)，z∈D)稱為函數的值域．
在函數y一廠(z)中，當.c取定x。(/o∈D)時，則稱廠(z。)為y一廠(z)在r。
處的函數值，即
f(z。)一fci')一。一
有時，函數的值域也記作f(D)，即
廠(D)一{y I y一．廠(z)，l-∈D)．
函數的定義域通常按以下兩種情形來確定．
一種是對有實際背景的函數，根據實際背景中變量的實際意義確定．例如，在自由落體運動中，設物體下落的時間為f，下落的距離為s，開始下落的時刻t-
0，落地的時刻f—T，則s與f之間的函數關系是
s一丟∥。，
這個函數的定義域就是區間[O，T]．
另一種是對抽象地用算式表達的函數，通常約定這種函數的定義域是使得算
式有意義的一切實數組成的集合，這種定義域稱為函數的自然定義域．在這種約定
之下，一般的用算式表達的函數可用“y一廠(z)”表達，而不必再顯式地表示出
“z∈D”．例如，函數v-／『=i7的定義域是閉區間[一1，1]，函數y一—7主i尹
的定義域是開區間（一1，1）．
例1.1確定函數廠(z)一／FF五二z2+ In(z -2)的定義域，并求f(3)和
-廠(f2)．
解該函數的定義域應為滿足不等式組
3+2r -z2≥0，
r-2>0
的z值的全體．解此不等式組，得2
D一{z∈R12
且
f(3)一√可干i叉丐一32+In(3 -2)一Inl一o，
f(tv)一√丁干2t二t4+ In(t2—2)．
函數的定義域D和對應法則-廠稱為函數的兩個要素，而函數的值域一般稱為
派生要素，由定義域和對應法則確定．如果兩個函數的定義域相同，對應法則也相
同．那么這兩個函數就是相同的，否則就是不同的．
例1.2判斷以下函數是否是同一函數，為什么？
(1)y一lnr2與y一2lnr，
解 (l)兩函數的定義域不同：
v—lrrr2，z∈{zlz≠0）；
因此，它們不是相同的函數．
(2)訓一√i與y一√i．
v=2lnr, r∈ { r l z>ol ,
(2)雖然兩函數的自變量和因變量的符號不相同，但兩函數的對應法則和定義
域均相同，因此是同一函數．
表示函數的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法（公式法），這在中學里大家
已經熟悉．其中，用圖形法表示函數是基于函數圖形的概念，即坐標平面上的點集
{(z，v) y一廠(z)，z∈D)，稱為函數y一廠(z)，z∈D的圖形．
例1.3若函數l廠(z)在定義域不同的區間上用
不同解析式來表示，則稱函數廠(z)為分段函數．如
/<0.
f(r，一
z一0，
其圖像如圖I—1所示． 1， z>o．
1.1.2 函數的幾種特性
圖1 1例1.3的函數圖像 1．有界性
設函數y一廠(z)在集合D上有定義，如果存在
一個正數M，對于所有的z∈D恒有
-廠(z)≤M，
則稱函數f(r)在D上是有界的．如果不存在這樣的正數M，則稱函數廠(z)在D
上是無界的．這就是說，如果對于任何正數M，總存在z，∈I，使f(z．)>M，
那么函數-廠(z)在J內無界．
例如，函數-廠(z)一sinz在（一00．+oo）內是有界的，因為無論z取任何實數，
sinx≤1都能成立．這里M=1（當然也可取大于1的任何數作為M，而
sinx≤M成立）．函數、廠(z)一』在區間(o，1)內無界，因為不存在這樣的正數
M，使專≤M對于(o，1)內的一切z都成立．事實上，對于任意取定的正數M
（不妨設M>1），則未才∈(o，1)，當z．一未才時，去一2M>M．但是廠(z)一
』在區間(1，2)內是有界的，如可取M一1，而使≥≤1對于區間(1，2)肉的
一切z值都成立．
9．單調性
設函數y一廠(z)在區間I內有定義，如果對于I內的任意兩點z，和z。，當
Zl
fcr-i)<廠(1-2)，
則稱函數y一廠(z)在區間I內是單調增加的，區間I稱為函數廠(z)的單調增區
間；如果對于J內的任意兩點z．和z：，當ll <-z。時，有
fcZi)>．廠(z2)，則稱函數y一f(-z)在區間J內是單調減少的，區間J稱為函數廠(z)的單調減
區間．
例如，函數f(l-)一z2在區間[0，+c0）內是單調增加的，在區間（一。。，O]內
是單調減少的；在區間（一oo．+oo）內函數l廠(z)一z2不是單調的．
如果函數y一廠(z)在區間I內是增函數（或是減函數），則稱函數f(z)在區
間j內是單調函數，區間J稱為函數l廠(z)的單調區間．函數在區間J內的單調增
加或單調減少的性質，稱為函數的單調性．
顯然單調增加函數的圖像是沿z軸正向逐漸上升的，如圖l-2(A)所示；單調(A)奇函數圖像關于原點對稱 (b)偶函數圖像關瑚對稱
圖1 3奇偶函數的圖像
-廠(z)的周期，一般提到的周期均指最小正周期T．
例如，三角函數y - sini和y- cosr的周期都為2兀;y- tAnr，y- cotr的
周期都是兀．
周期函數的圖形特點：在函數的定義域內，每個長度為Z的區間上，函數的圖
形有相同的形狀．
1.1.3 函數的運算
1．函數的四則運算
設函數廠(z)，91(z)的定義域依次為D，，D。，D—Din D2≠移，則可以定義
這兩個函數的下列運算：
和（差）廠±g:（廠±g）(z)一．廠(z)±g(z)，z∈D；
積 廠．g：（廠．g）(z)一廠(z)g(z)，z∈D；
商 等：（手）(z)一愛騫，z∈D\{rlg‘(T)一o）．
2．復合函數
設函數y一廠(“)的定義域為Di，函數“一91(z)在D上有定義且g(D)[
Di，則由下式確定的函數
y一廠(g(z))， z∈D，
稱為由函數比一g(z)和函數y一廠(“)構成的復合函數，它的定義域為D，變量u
稱為中間變量．
例如，y = f(u) - Arcslnu的定義域為[-1，1]，“一g(r)一2√j二z2在
D=[-I，一等]U[雩．1]上有定義，且g(D)[[一1，1]，則g與廠可構成復
合函數減
少函數的圖像是沿z軸正向逐漸下降的，如圖l-2(b)所示．
┏━━━━┳━━━┳━┓
┃ y一 ┃ ┃ ┃
┃，／ ┃／／j ┃ ┃
┣━━━━╋━━━┻━┫
┃ n 0 ┃ X ┃
┗━━━━┻━━━━━┛
┏━┳━━━━┳━━━━┓
┃ ┃ V‘ ┃ ┃
┃ ┃＼＼ ┃ ┃
┃ ┃ ┃j＼＼～ ┃
┣━┻━━━━╋━━━━┫
┃ “ 0 ┃ 工 ┃
┗━━━━━━┻━━━━┛
(A)單調增函數的圖像 (b)單調減函數的圖像
圖1 2單調函數的圖像
設函數y一廠(z)在集合D上有定義，如果對于任意的l-∈D，恒有
廠（一z）一廠(z)，
則稱函數f(z)為偶函數；如果對于任意的z∈D，恒有
f（一z）一一廠(z)，
則稱函數-廠(z)為奇函數．
例如，f(z)一z2是偶函數，因為f(-:r)一（一z）2一z2一、廠(z)．而廠(z)一
z3是奇函數，因為廠（一z）一（一z）3一一z3一一廠(z)。
奇函數圖像關于原點對稱，偶函數圖像關于y軸對稱．如圖1-3 (A)，(b)
所示．
4．周期性
對于函數y一廠(z)，如果存在正數T，使得
f(z)一f(_r+T)
恒成立，則稱廠(z)為周期函數，稱T為函數周期．顯然nT（”是整數）也為函數
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