《大學文科數(shù)學：(下冊）》為高等學校非數(shù)學專業(yè)的高等數(shù)學教材，是根據(jù)多年教學經(jīng)驗，參照“文科類本科數(shù)學基礎(chǔ)課程教學基本要求”，按照新形勢下教材改革的精神編寫而成．《大學文科數(shù)學：(下冊）》分為上、下兩冊，上冊內(nèi)容包括一元微積分、二元微積分、簡單一階常微分方程等內(nèi)容．下冊內(nèi)容為線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計．各章配有小結(jié)及練習題，并介紹一些與《大學文科數(shù)學：(下冊）》所述內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學家簡介．
《大學文科數(shù)學：(下冊）》可作為高等學校文科類、藝術(shù)類等少學時高等數(shù)學課程的教材．
目錄
(上冊)
第1章 函數(shù)與極限
第2章 導數(shù)與微分
第3章 微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用
第4章 不定積分
第S章 定積分及其應(yīng)用
第6章 常微分方程
第7章 二元函數(shù)及二重積分
(下 冊）
第8章行列式 1
8.1行列式的定義 1
8.1.1 二、三階行列式 1
8.1.2排列與逆序 2
8.1.3 ?階行列式 3
8.2 行列式的性質(zhì) 5
8.3 行列式按行(列)展開 11
8.4克拉默法則 15
習題8 18
第9章矩陣 22
9. 1矩陣的概念 22
9.1.1矩陣的概念 22
9.1.2幾種特殊的矩陣 25
9.2矩陣的運算 25
9.2.1矩陣的加法與數(shù)量乘法 25
9.2.2 矩陣的乘法 27
9.2.3 方陣的冪 31
9.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置 32
9. 3分塊矩陣 33
9.4 可逆矩陣 37
9. 4. 1方陣的行列式 37
9.4.2可逆矩陣的概念 37
9.4.3可逆矩陣的性質(zhì) 40
9.5矩陣的初等變換和初等方陣 41
9. 6矩陣的秩 47
習題9 50
第10章線性方程組 55
10. 1 消元法 55
10.2線性方程組的一般理論 58
10.3 w維向量空間 63
10.4向量間的線性關(guān)系 65
10.4.1 向量的線性表示 65
10.4.2向量的線性相關(guān)性 67
10.5 向量組的秩 71
10.6線性方程組解的結(jié)構(gòu) 73
10. 6. 1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 74
10.6.2非齊次線性方程組 77
習題10 79
第11章矩陣的特征值與二次型 82
11.1特征值與特征向量 82
11.1.1特征值與特征向量的概念及求法 82
11.1.2特征值與特征向量的性質(zhì) 84
11.2相似矩陣 85
11.3實對稱矩陣的對角化 87
11.4 二次型 91
11.5 二次型的標準形 93
11. 5. 1正交變換化二次型為標準形 93
11.5.2配方法化二次型為標準形 97
11.6 正定二次型 98
習題11 99
第12章隨機事件及其概率 102
12. 1 隨機事件 102
12.1.1隨機試驗與樣本空間 102
12.1.2隨機事件 103
12.1.3事件間的關(guān)系及其運算 104
12. 2隨機事件的概率 106
12. 2.1概率的定義 106
12.2.2等可能概型(古典概型） 108
12.3概率的加法法則 111
12.4條件概率與乘法法則 113
12.4.1條件概率 113
12.4.2乘法公式 114
12.4.3全概率公式與貝葉斯公式 115
12.5事件的獨立性 117
習題12 121
第13章一維隨機變量及其分布 125
13. 1 隨機變量 125
13. 2離散型隨機變量 126
13. 2. 1 (0-1)分布 127
13. 2. 2伯努利試驗、二項分布 127
13. 2. 3 泊松分布 129
13. 3隨機變量的分布函數(shù) 129
13.4連續(xù)型隨機變量及其分布 131
13. 4.1 均勻分布 132
13.4.2指數(shù)分布 133
13.4.3 正態(tài)分布 134
13. 5隨機變量的函數(shù)的分布 137
13. 5. 1離散型隨機變量函數(shù)的分布 137
13. 5. 2連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 138
習題13 140
第14章多維隨機變量及其概率分布 143
14. 1 二維隨機變量 143
14.1.1 二維隨機變量及其分布函數(shù) 143
14. 1. 2 二維離散型隨機變量的分布律 144
14.1.3 二維連續(xù)型隨機變量 145
14.2隨機變量的邊緣分布 147
14.2.1離散型邊緣分布 147
14.2.2連續(xù)型隨機變量的邊緣密度 148
14. 3 隨機變量的獨立性 149
習題14 151
第15章隨機變量的數(shù)字特征 153
15. 1 數(shù)學期望 153
15.1.1離散型隨機變量的數(shù)學期望 153
15.1. 2連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 155
15.1.3 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 156
15.1.4 二維隨機變量的數(shù)學期望 157
15. 2數(shù)學期望的性質(zhì) 157
15.3 方差 159
15.4 方差的性質(zhì) 161
習題15 163
第16章統(tǒng)計量及其抽樣分布 166
16.1 總體和樣本 166
16. 2統(tǒng)計量及統(tǒng)計量的分布 167
16. 3 抽樣分布 169
16. 3.1 X2 分布 169
16. 3. 2 f 分布 171
16. 3. 3 正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布 172
習題16 173
第17章參數(shù)估計 175
17. 1參數(shù)的點估計 175
17.1.1 矩估計法 175
17.1. 2極大似然估計 176
17. 2 估計量的評價標準 180
17. 3 區(qū)間估計 181
17.3.1 參數(shù)的區(qū)間估計 181
17. 3. 2單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 182
習題17 185
參考文獻 187
附錄1標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表 188
附錄2泊松分布數(shù)值表 190
附錄3 t分布臨界值表 192
附錄4 Z2分布臨界值表 194
第8章行列式
行列式的概念來源于解線性方程組的問題，并成為一種重要的數(shù)學工具.在許 多實際問題中都有重要應(yīng)用.本章介紹狀階行列式的概念、基本性質(zhì)、計算方法及 行列式的一個重要應(yīng)用:求解狀元線性方程組的克拉默(Cramer)法則.
8.1行列式的定義
8.1.1 二、三階行列式
從線性方程組的求解過程中，引入行列式的概念.考慮如下二元線性 方程組
(8. 1)
其解為
(8．2）
為便于記憶，引人記號
則當犇乒0時，式(8. 2)可表示為
(8. 4)
(8．3）
稱為行列式
這種表示不僅簡單，而且便于記憶.式（.3)稱為二階行列式， 的元素，犻為行標，犼為列標，二階行列式包含2行2列4個元素. 對角線法則
主對角線(實聯(lián)線)元素乘積取正號，副對角線(虛聯(lián)線)元素乘積取負號. 類似地，可以定義三階行列式
式(8. 5)稱為三階行列式.
三階行列式包含3行3列9個元素，其值可按下面的對角線法則計算得到
實聯(lián)線元素乘積取正號，虛聯(lián)線元素乘積取負號. 例如
從二、三階行列式的定義可以看出，行列式的值是一些項的代數(shù)和.例如，在三 階行列式中，每一項都是三個數(shù)的連乘積，而且這三個數(shù)取自三階行列式不同行與 不同列，總項數(shù)以及每一項的正負號與其下標的排列有關(guān).為了揭示行列式的結(jié)構(gòu) 規(guī)律，將行列式的概念推廣到狀階行列式.先介紹一些排列的基本知識.
8.1.2排列與逆序
定義8. 1. 1由自然數(shù)1，2，…，所構(gòu)成的一個有序數(shù)組，稱為這狀個數(shù)的一 個狀級排列.
例如4321，1234，3214均是1，2，3，4這4個數(shù)的4級排列.
狀個自然數(shù)1，2，…，狀，按從小到大的自然順序排列：2…狀稱為狀級自然 排列．
1234就是4級自然排列.顯然，狀級排列的種數(shù)共有狀！個.用h，z2，…，&表 示這狀！個排列中的一個.
定義在排列A…中，如果則這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆
序.中，逆序的總個數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為.逆序 數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.
例8.1. 1分別求下列排列：4321，1234，3214的逆序數(shù)，并判別排列的奇
偶性.
解在排列4321中，4的逆序為0;的逆序為1;的逆序為2；的逆序為3， 因此，.類似可得，.排列 4321，1234是偶排列;排列3214是奇排列.
定義8. 1. 3在一個排列中，某兩個數(shù)互換位置，其余的數(shù)不動，就得到一個 新排列.這樣的變換稱為一個對換;若對換的兩個數(shù)相鄰，則稱為相鄰對換.
定理8. 1. 1 對換改變排列的奇偶性.
證略.
定理8. 1. 2 n個數(shù)（狀> 1 )共有狀個狀級排列，其中奇偶排列各占一半.
證 略
8.1.3 re階行列式
考察三階行列式
三階行列式有6項，每一項是三個數(shù)的乘積，這三個數(shù)位于不同行、不同列.6 項中的任一項可寫為，三個數(shù)的行標為自然序排列123，列標為 1，2，3的某一排列，1，2，.任一項的符號可由狋=r('1，2，)的奇偶性確定.
將上述規(guī)律進行推廣，可得到n階行列式定義.
定義8. 1. 4
稱為n階行列式.其中橫排、縱排分別稱為它的行和列.n階行列式是一個數(shù)，其值 按如下代數(shù)式計
其中和號2是對所有的狀級排列求和(共狀！項).每一項當行標為自然排列時，如 果對應(yīng)的列標構(gòu)成的排列是偶排列，則取正號，如果是奇排列取負號.
注狀=1時，狀=2，3，就是前面定義的二、三階行列式，它 們的值可用對角線法求得，狀>4時，對角線法則不再適用.
定理8.階行列式也可定義為
其中每一項在列下標為自然序排列時，由行下標排列的逆序數(shù)決定其符號.
式(8. 7)與式（8. 6)的區(qū)別在于每項中各元素的列標按自然序排列，行標為的某一排列
例8. 1.2設(shè)犇為5階行列式，問
是否為犇中的項，若是應(yīng)取什么符號？
解 （1)的行標排列為12345，列標排列為23154，表明這些數(shù)取
自不同的行，不同的列，所以它是犇中的一項，且行標為自然排列，K23154) — 3為 奇數(shù)，故該項取負號.
(1) 的行標排列為12345，列標排列為45325取自第5行兩元 素，由行列式定義知它不是行列式的一項.
例8. 1. 3 計算n階行列式
這里為不同行、不同列的n個數(shù)的乘積.由于第一列除了 an外其余 數(shù)都為零，故非零項的第一個數(shù)必為，第二列只能選(不能選，因第一行 已選過）類似地，第三列只能選第狀列只能選因此，行列式只有一個 可能的非零項，即這個行列式稱為上三角行列式.
類似可得下三角行列式
特別地，對角行列
8. 2行列式的性質(zhì)
由8. 1節(jié)討論可以看出，用定義計算行列式比較麻煩.為了簡化行列式的計 算，下面介紹行列式的性質(zhì).通過這些性質(zhì)，可使行列式的計算在很多情況下簡化.
將行列式D的行和列互換后得到的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT 或D.即
從而D = D
由性質(zhì)8. 2. 1可知，行列式中行與列具有相同的地位，關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān) 于列也同樣成立，反之亦然.
性質(zhì)8. 2. 2交換行列式的兩行(列），行列式變號.
證明略.
推論8. 2. 1如果行列式中有兩行(列)相同，則此行列式等于零.
證將相同的兩行對換，有D —-D，從而D 性質(zhì)8. 2 .3 用數(shù)6乘行列式的某一行(列），等于以數(shù)k乘此行列式.即如果
證由行列式定義，的一般項為
性質(zhì)8. 2 . 3說明，用一個數(shù)乘以行列式，等于用這個數(shù)乘行列式的某一行(列） 的每一個元素.即行列式中某一行(列）的公因子可以提到行列式符號之外.
若行列式D中有一個零行(列），則D — 0.
若行列式D中有兩行(列）的對應(yīng)元素成比例，則D
推論8. 2. 2 推論8. 2. 3
例如，
若行列式D的某行(列）的元素都是兩數(shù)之和，例如，第犻行的元
素都是兩數(shù)之和
則行列式等于下列兩個行列式之和
證 由行列式定義
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