《工科數學精品叢書：數學模型及其應用（第二版）/普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材·海軍院校重點教材》主要內容有:緒論、初等模型、微分方程模型、差分方程模型、綜合評價模型、線性規(guī)劃模型、動態(tài)規(guī)劃模型、圖論模型、排隊論模型、數據的插值與擬合模型、回歸分析模型、聚類分析與判別分析模型、中美大學數學建模競賽真題等,每章后附習題和本章常用詞匯中英文對照,完成教學約需40~60學時。
第1章 緒論
1.1 數學建模的重要意義
1.2 數學建模的基本方法和步驟
1.3 數學建模與能力培養(yǎng)
習題
本章常用詞匯中英文對照
第2章 初等模型
2.1 人行走的最佳頻率
2.2 代表名額的公平分配
2.3 稱重問題
2.4 效益的合理分配
2.5 量綱分析和無量綱化
習題
第3章 微分方程模型
3.1 微分方程有關知識簡介
3.2 種群的群體增長模型
3.3 傳染病模型
3.4 藥物在體內的分布與排除
3.5 戰(zhàn)爭模型
3.6 經濟增長模型
習題
本章常用詞匯中英文對照
第4章 差分方程模型
4.1 差分方程簡介
4.2 市場經濟中的蛛網模型
4.3 差分形式的阻滯增長模型
習題
本章常用詞匯中英文對照
第5章 綜合評價模型
5.3 綜合評價方法
5.4 層次分析模型
5.5 足球比賽的排名問題
習題
本章常用詞匯中英文對照
第6章 線性規(guī)劃模型
6.1 線性規(guī)劃問題及模型
6.2 線性規(guī)劃模型的求解
6.3 整數線性規(guī)劃的求解
6.4 兩輛鐵路平板車問題的求解
6.5 最佳陣容問題
習題
本章常用詞匯中英文對照
第7章 動態(tài)規(guī)劃模型
7.1 多階段決策過程與動態(tài)規(guī)劃模型
7.2 動態(tài)規(guī)劃基本方程與求解
7.3 背包問題
7.4 不確定性采購問題
7.5 馬氏決策規(guī)劃簡介
習題
本章常用詞匯中英文對照
第8章 圖論模型
8.1 圖與網絡的基本概念
8.2 網絡流問題
8.3 歐拉問題和漢密爾頓問題
8.4 選礦廠廠址的最佳選擇
8.5 投資項目分配模型及其網絡算法
習題
本章常用詞匯中英文對照
第9章 排隊論模型
9.1 排隊論的基本知識
9.2 排隊服務系統(tǒng)分類及其主要性質
9.3 排隊問題的隨機模擬求解法
9.4 礦石裝卸模型的分析與模擬
習題
本章常用詞匯中英文對照
第10章 數據的插值與擬合模型
10.1 多項式插值方法
10.2 樣條逼近方法
10.3 水道測量數據分析模型
習題
本章常用詞匯中英文對照
第11章 回歸分析模型
11.1 一元線性回歸
11.2 多元線性回歸
11.3 一元非線性回歸
11.4 回歸模型應用舉例
習題
本章常用詞匯中英文對照
第12章 聚類分析與判別分析模型
12.1 距離和相似系數
12.2 系統(tǒng)聚類法
12.3 距離判別法
12.4 Fisher判別法
習題
本章常用詞匯中英文對照
參考文獻
附錄A 中國大學生數學建模競賽本科組題目（1992~2014）
附錄B 美國大學生數學建模競賽題目（2011~2014)
《工科數學精品叢書：數學模型及其應用（第二版）/普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材·海軍院校重點教材》：
第1章 緒 論
隨著科學技術對研究對象的日益精確化、定量化、數學化以及電子計算技術的迅猛發(fā)展和廣泛應用，對于廣大的科學技術人員和應用數學工作者來說，數學模型是溝通擺在面前的實際問題與他們掌握的數學工具之間聯系的一座必不可少的橋梁.例如，電氣工程師必須建立所要控制的生產過程的數學模型，用這個模型對控制裝置作出相應的設計和計算，才能實現有效的過程控制；氣象工作者為了得到準確的天氣預報，也離不開根據氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風速等資料建立的數學模型；生理醫(yī)學專家有了藥物濃度在人體內隨時間和空間變化數學模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導臨床用藥；城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經濟、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數學模型，為城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學根據；廠長經理們根據產品的需求狀況、生產條件和成本、貯存費用等信息，籌劃出一個合理安排生產和銷售的數學模型，一定可以獲得更大的經濟效益；即便在日�；顒樱ㄈ缭L友、采購）中，人們也會討論（也即建立數學模型）優(yōu)化出行的路線等.數學模型業(yè)已成為處理科學技術領域中各種實際問題的重要工具，并在自然科學、工程技術科學與社會科學等各個領域中得到廣泛應用。
1.1 數學建模的重要意義
1.1.1 什么是數學建模
對數學建模（mathematicalmodellin-）如果一定要下一個定義的話，可以說它是一種數學的思考方法，是“對現實的現象通過心智活動構造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符號的表示.”從科學、工程、經濟、管理等角度看數學建模就是用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學工具.顧名思義，modellin-一詞在英文中有“塑造藝術”的意思，故可以理解從不同的側面、角度去考察問題就會有不盡相同的數學模型，從而數學建模的創(chuàng)造又帶有一定的藝術的特點.而數學建模最重要的特點是要接受實踐的檢驗、多次修改模型使之漸趨完善的過程，這可以用圖1-1所示的框圖來表示.
數學建模并不是新事物，只是在過去很長時間這一術語用得很少而已.可以說有了數學并要用數學去解決實際問題就一定要用數學的語言、方法去近似地刻畫該實際問題，而這種刻畫的數學描述就是一個數學模型，其過程就是數學建模的過程.兩千多年以前創(chuàng)立的歐幾里得幾何，17世紀發(fā)現的牛頓萬有引力定律，都是科學發(fā)展史上數學建模的著名范例.
1.1.2 數學建模示例
如何控制并預測人口的發(fā)展是當前眾多發(fā)展中國家面臨的重要問題之一，因而對人口的控制和預測方面的研究工作越來越受有關政府和社會的重視.影響今后人口總數的因素很多，一般來說，要預測今后某時刻人口的總數是一個很復雜的問題.長期以來人們在這方面作了不少工作，下面介紹兩個最基本的人口模型.
1.指數增長模型
最簡單的人口增長模型是人所共知的：記某年人口數為x0，k 年后人口數為xk ，年增長率為r，則顯然，這個公式的基本條件是年增長率r 保持不變.
200 多年前英國人口學家馬爾薩斯（Malthus，1766~1834）調查了英國一百多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長率不變的假設，并據此建立了著名的人口指數增長模型.
記時刻t 的人口數為x （t），當考察一個國家或一個較大地區(qū)的人口數時，x（t）是一個很大的整數.為了利用微積分這一數學工具，將x（t）視為連續(xù)、可微的函數.記初始時刻（t=0）的人口數為x0，假設人口增長率為常數r，即單位時間內x（t）的增量等于r 乘以x（t），考慮t 到t+Δt 時間內人口數的增量，顯然有令Δt→0，得到x（t）滿足微分方程：
由這個方程很容易解出r>0時，式（1-3）表示人口數將按指數規(guī)律隨時間無限增長，稱為指數增長模型.式中的參數r 和x0 可用歷史數據進行估計.
歷史上，指數增長模型與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數據可以很好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口數也大致符合這個模型.另外，用它作短期人口預測可以得到較好的結果.顯然，這是因為在這些情況下，模型的基本假設——人口增長率是常數——大致成立.
但是從長期來看，任何地區(qū)的人口數都不可能無限增長，即指數模型不能描述、也不能預測較長時期的人口演變過程.這是因為，人口增長率事實上是在不斷地變化著.排除災難、戰(zhàn)爭等特殊時期，一般說來，當人口數較少時，增長較快，即增長率較大；人口數增加到一定數量以后，增長就會慢下來，即增長率變小.
看來，為了使人口預報特別是長期預報更好地符合實際情況，必須修改指數增長模型關于人口增長率是常數這個基本假設。
2.阻滯增長模型（Lo-istic模型）
分析人口數增長到一定數量后增長率下降的主要原因，人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口數的增長起著阻滯作用，并且隨著人口數的增加，阻滯作用越來越大.所謂阻滯增長模型就是考慮到這個因素，對指數增長模型的基本假設進行修改后得到的.
阻滯作用體現在對人口增長率r 的影響上，使得r 隨著人口數量x 的增加而下降，若將r 表示為x 的函數r（x），則它應是減函數，于是方程（1-2）可寫作對r（x）的一個最簡單的假定是，設r（x）為x 的線性函數，即
這里r 稱固有增長率，表示人口數很少時（理論上是x=0）的增長率.為了確定系數s 的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數量xm，稱人口容量.
當x=xm時人口數不再增長，即增長率r（xm）=0，代入式（1-5）得s=rxm ，于是式（1-5）可改為式（1-6）的另一種解釋是，增長率r（x）與人口數尚未實現部分的比例成正比，比例系數為固有增長率r.
將式（1-6）代入方程（1-4），得
方程（1-7）右端的因子rx 體現人口數自身的增長趨勢，因子1-x
則體現了資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用.顯然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長是兩個因子共同作用的結果.
如果以x 為橫軸、dxdt為縱軸作出方程（1-7）的圖形（圖1-2），可以分析人口增長速度dxdt隨著x 的增加而變化的情況，從而大致地看出x（t）的變化規(guī)律.
實際上，方程（1-7）可以用分離變量法求解得到讀者可以用計算機畫出式（1-8）的圖形，它是一條S 形曲線（圖1-3），x 的增加先快后慢，t→∞時x→xm，拐點在x=xm2 .
使用這個模型預測美國的人口數，從1820~1930年，計算結果與實際結果都比較相符.但后來出現的誤差越來越大，主要原因是1960年后的美國實際人口數就已經超過了過去確定的最大人口數量xm.這個模型的不足之處在于xm 不易確定.通常xm 的值應隨生產力的發(fā)展和其他環(huán)境的改善而增加。
由方程（1-7）表示的阻滯增長模型，是荷蘭生物數學家Verhulst于19世紀中葉提出的，它不僅能夠大體上描述人口數及許多物種數量（如森林中的樹木、魚塘中的魚群等）的變化規(guī)律，而且在社會經濟領域也有廣泛的應用，如耐用消費品的售量就可以用它來描述.基于這個模型能夠描述一些事物符合邏輯的客觀規(guī)律，人們常稱它為Lo-istic模型，本書以后的章節(jié)將多次用到它。
用數學工具描述人口變化規(guī)律，關鍵是對人口增長率作出合理、簡化的假定.
阻滯增長模型就是將指數增長模型關于人口增長率是常數的假設進行修正后得到的.可以想到，影響增長率的出生率和死亡率與年齡有關，所以，更合乎實際的人口模型應該考慮年齡因素.
參數估計和模型檢驗是建模的步驟，線性最小二乘法是參數估計（如果是基于數據的，又稱數據擬合）的基本方法，讀者應該知道它的原理，并掌握它的軟件實現.
1.1.3 數學建模的重要意義
進入20世紀以來，隨著數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透以及電子計算機的出現和飛速發(fā)展，數學建模越來越受到人們的重視.從以下兩個方面可以看
出數學建模的重要意義。
1.數學建模是眾多領域發(fā)展的重要工具
當前，在國民經濟和社會活動的諸多領域，數學建模都有非常深入、具體的應用.例如，分析藥物的療效；用數值模擬設計新的飛機翼型；生產過程中產品質量預報；經濟增長預報；最大經濟效益價格策略；費用最少的設備維修方案；生產過程中的最優(yōu)控制；零件設計中的參數優(yōu)化；資源配置；運輸網絡規(guī)劃；排隊策略；物質管理等.數學建模在眾多領域的發(fā)展中扮演著重要工具的角色.即便在一般的工程技術領域，數學建模仍然大有可為.在以聲、光、電機、土木、水利等工程技術領域中，雖然基本模型是已有的，但由于新技術、新工藝的不斷涌現，產生了許多需要數學方法解決的新問題，而由于計算機的快速發(fā)展，使得過去某些即使有了數學模型也無法求解的問題（如海量數據的問題）也有了求解的可能.隨著數學向諸如經濟、人口、生態(tài)、地質等眾多所謂和物理領域的滲透，用數學方法研究這些領域中的內在特征成為關鍵的步驟和這些學科發(fā)展與應用的基礎.在這些領域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度的模型的余地相當大，數學建模的重要工具和橋梁作用得到進一步體現。
2.數學建模促進對數學科學重要性的再認識
從某種意義上講，說明數學科學的重要性是件容易的事情，可以舉出許多例子（從日常生活到尖端技術）說明數學為什么是必不可少的，但常常會發(fā)現許多人雖然不反對所列舉的例子，可還是認為數學沒有多大用處或者說數學與其生活和工作沒有多大關系.這不僅僅是由于數學的語言比較抽象不容易掌握，還有傳統(tǒng)數學教育重知識傳授輕實際應用以及其他原因.傳統(tǒng)的數學教學比較形式、抽象，只見定義、定理、推導、證明、計算，很少講與我們周圍的世界以至日常生活的密切聯系，使得數學的重要性變得很空泛.隨著計算機革命引起的深刻變化，數學與實際問題的結合，變得更為密切和廣泛，數學建模進入研究生、大學生乃至中學生的學習內容，其思想逐漸融入數學主干課程的教學內容中，數學學科的重要性也顯得更實在、更具體.數學建模在眾多學科領域乃至日常生活中的廣泛應用促使更多人認識到數學科學的重要性。
1.2 數學建模的基本方法和步驟
數學建模面臨的實際問題是多種多樣的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的數學工具不同，所得模型的類型也就不同，不能指望歸納出若干條準則，適用于一切實際問題的數學建模方法.因而，所謂的基本方法主要是從方法論的意義上講的.
1.2.1 數學建模的基本方法
數學建模方法大體上可分為機理分析和測試分析兩種.機理分析是根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現實意義，前面的示例用的即是機理分析.測試分析將研究對象看作一個“黑箱”系統(tǒng)（即它的內部機理看不清楚），通過對系統(tǒng)輸入、輸出數據的測量和統(tǒng)計分析，按照一定的準則找出與數據擬合得最好的模型。
一般來說，如果掌握了實際問題的一些內部機理的知識，模型也要求反映其內在特征，那么，建模就應以機理分析為主；而如果研究對象的內部規(guī)律不清楚，模型也不需要反映內部特征，則可以用測試分析.對于許多實際問題常常將兩者結合起來建模，即用機理分析建立模型的結構，用測試分析確定模型的參數.
機理分析通常針對具體對象進行，主要通過案例研究來學習；而測試分析有完整的數學方法，本書第11章的回歸分析就是其中之一.我們日常所說的數學建模主要指機理分析。
1.2.2 數學建模的一般步驟
數學建模的步驟并沒有一定的模式，常因問題性質、建模目的等而異.下面介紹的是用機理分析建模的一般步驟，如圖1-4所示.
圖1-4 數學建模步驟示意圖
模型準備 了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的信息（如現象、數據等），盡量弄清對象的主要特征，形成一個比較清晰的“問題”，由此初步確定用哪一類模型.
模型假設 根據對象的特征和建模目的，抓住問題的本質，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡化假設.
模型構成 根據所做的假設，用數學的語言、符號描述對象的內在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數學模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖的模型等.建模時應遵循的一個原則是：盡量采用簡單的數學工具，因為你的模型總是希望更多的人了解和使用，而不是只供少數專家欣賞。
……
《工科數學精品叢書：數學模型及其應用（第二版）/普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材·海軍院校重點教材》：
第1章 緒 論
隨著科學技術對研究對象的日益精確化、定量化、數學化以及電子計算技術的迅猛發(fā)展和廣泛應用，對于廣大的科學技術人員和應用數學工作者來說，數學模型是溝通擺在面前的實際問題與他們掌握的數學工具之間聯系的一座必不可少的橋梁.例如，電氣工程師必須建立所要控制的生產過程的數學模型，用這個模型對控制裝置作出相應的設計和計算，才能實現有效的過程控制；氣象工作者為了得到準確的天氣預報，也離不開根據氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風速等資料建立的數學模型；生理醫(yī)學專家有了藥物濃度在人體內隨時間和空間變化數學模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導臨床用藥；城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經濟、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數學模型，為城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學根據；廠長經理們根據產品的需求狀況、生產條件和成本、貯存費用等信息，籌劃出一個合理安排生產和銷售的數學模型，一定可以獲得更大的經濟效益；即便在日�；顒樱ㄈ缭L友、采購）中，人們也會討論（也即建立數學模型）優(yōu)化出行的路線等.數學模型業(yè)已成為處理科學技術領域中各種實際問題的重要工具，并在自然科學、工程技術科學與社會科學等各個領域中得到廣泛應用。
1.1 數學建模的重要意義
1.1.1 什么是數學建模
對數學建模（mathematicalmodellin-）如果一定要下一個定義的話，可以說它是一種數學的思考方法，是“對現實的現象通過心智活動構造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符號的表示.”從科學、工程、經濟、管理等角度看數學建模就是用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學工具.顧名思義，modellin-一詞在英文中有“塑造藝術”的意思，故可以理解從不同的側面、角度去考察問題就會有不盡相同的數學模型，從而數學建模的創(chuàng)造又帶有一定的藝術的特點.而數學建模最重要的特點是要接受實踐的檢驗、多次修改模型使之漸趨完善的過程，這可以用圖1-1所示的框圖來表示.
數學建模并不是新事物，只是在過去很長時間這一術語用得很少而已.可以說有了數學并要用數學去解決實際問題就一定要用數學的語言、方法去近似地刻畫該實際問題，而這種刻畫的數學描述就是一個數學模型，其過程就是數學建模的過程.兩千多年以前創(chuàng)立的歐幾里得幾何，17世紀發(fā)現的牛頓萬有引力定律，都是科學發(fā)展史上數學建模的著名范例.
1.1.2 數學建模示例
如何控制并預測人口的發(fā)展是當前眾多發(fā)展中國家面臨的重要問題之一，因而對人口的控制和預測方面的研究工作越來越受有關政府和社會的重視.影響今后人口總數的因素很多，一般來說，要預測今后某時刻人口的總數是一個很復雜的問題.長期以來人們在這方面作了不少工作，下面介紹兩個最基本的人口模型.
1.指數增長模型
最簡單的人口增長模型是人所共知的：記某年人口數為x0，k 年后人口數為xk ，年增長率為r，則顯然，這個公式的基本條件是年增長率r 保持不變.
200 多年前英國人口學家馬爾薩斯（Malthus，1766~1834）調查了英國一百多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長率不變的假設，并據此建立了著名的人口指數增長模型.
記時刻t 的人口數為x （t），當考察一個國家或一個較大地區(qū)的人口數時，x（t）是一個很大的整數.為了利用微積分這一數學工具，將x（t）視為連續(xù)、可微的函數.記初始時刻（t=0）的人口數為x0，假設人口增長率為常數r，即單位時間內x（t）的增量等于r 乘以x（t），考慮t 到t+Δt 時間內人口數的增量，顯然有令Δt→0，得到x（t）滿足微分方程：
由這個方程很容易解出r>0時，式（1-3）表示人口數將按指數規(guī)律隨時間無限增長，稱為指數增長模型.式中的參數r 和x0 可用歷史數據進行估計.
歷史上，指數增長模型與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數據可以很好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口數也大致符合這個模型.另外，用它作短期人口預測可以得到較好的結果.顯然，這是因為在這些情況下，模型的基本假設——人口增長率是常數——大致成立.
但是從長期來看，任何地區(qū)的人口數都不可能無限增長，即指數模型不能描述、也不能預測較長時期的人口演變過程.這是因為，人口增長率事實上是在不斷地變化著.排除災難、戰(zhàn)爭等特殊時期，一般說來，當人口數較少時，增長較快，即增長率較大；人口數增加到一定數量以后，增長就會慢下來，即增長率變小.
看來，為了使人口預報特別是長期預報更好地符合實際情況，必須修改指數增長模型關于人口增長率是常數這個基本假設。
2.阻滯增長模型（Lo-istic模型）
分析人口數增長到一定數量后增長率下降的主要原因，人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口數的增長起著阻滯作用，并且隨著人口數的增加，阻滯作用越來越大.所謂阻滯增長模型就是考慮到這個因素，對指數增長模型的基本假設進行修改后得到的.
阻滯作用體現在對人口增長率r 的影響上，使得r 隨著人口數量x 的增加而下降，若將r 表示為x 的函數r（x），則它應是減函數，于是方程（1-2）可寫作對r（x）的一個最簡單的假定是，設r（x）為x 的線性函數，即
這里r 稱固有增長率，表示人口數很少時（理論上是x=0）的增長率.為了確定系數s 的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數量xm，稱人口容量.
當x=xm時人口數不再增長，即增長率r（xm）=0，代入式（1-5）得s=rxm ，于是式（1-5）可改為式（1-6）的另一種解釋是，增長率r（x）與人口數尚未實現部分的比例成正比，比例系數為固有增長率r.
將式（1-6）代入方程（1-4），得
方程（1-7）右端的因子rx 體現人口數自身的增長趨勢，因子1-x
則體現了資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用.顯然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長是兩個因子共同作用的結果.
如果以x 為橫軸、dxdt為縱軸作出方程（1-7）的圖形（圖1-2），可以分析人口增長速度dxdt隨著x 的增加而變化的情況，從而大致地看出x（t）的變化規(guī)律.
實際上，方程（1-7）可以用分離變量法求解得到讀者可以用計算機畫出式（1-8）的圖形，它是一條S 形曲線（圖1-3），x 的增加先快后慢，t→∞時x→xm，拐點在x=xm2 .
使用這個模型預測美國的人口數，從1820~1930年，計算結果與實際結果都比較相符.但后來出現的誤差越來越大，主要原因是1960年后的美國實際人口數就已經超過了過去確定的最大人口數量xm.這個模型的不足之處在于xm 不易確定.通常xm 的值應隨生產力的發(fā)展和其他環(huán)境的改善而增加。
由方程（1-7）表示的阻滯增長模型，是荷蘭生物數學家Verhulst于19世紀中葉提出的，它不僅能夠大體上描述人口數及許多物種數量（如森林中的樹木、魚塘中的魚群等）的變化規(guī)律，而且在社會經濟領域也有廣泛的應用，如耐用消費品的售量就可以用它來描述.基于這個模型能夠描述一些事物符合邏輯的客觀規(guī)律，人們常稱它為Lo-istic模型，本書以后的章節(jié)將多次用到它。
用數學工具描述人口變化規(guī)律，關鍵是對人口增長率作出合理、簡化的假定.
阻滯增長模型就是將指數增長模型關于人口增長率是常數的假設進行修正后得到的.可以想到，影響增長率的出生率和死亡率與年齡有關，所以，更合乎實際的人口模型應該考慮年齡因素.
參數估計和模型檢驗是建模的步驟，線性最小二乘法是參數估計（如果是基于數據的，又稱數據擬合）的基本方法，讀者應該知道它的原理，并掌握它的軟件實現.
1.1.3 數學建模的重要意義
進入20世紀以來，隨著數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透以及電子計算機的出現和飛速發(fā)展，數學建模越來越受到人們的重視.從以下兩個方面可以看
出數學建模的重要意義。
1.數學建模是眾多領域發(fā)展的重要工具
當前，在國民經濟和社會活動的諸多領域，數學建模都有非常深入、具體的應用.例如，分析藥物的療效；用數值模擬設計新的飛機翼型；生產過程中產品質量預報；經濟增長預報；最大經濟效益價格策略；費用最少的設備維修方案；生產過程中的最優(yōu)控制；零件設計中的參數優(yōu)化；資源配置；運輸網絡規(guī)劃；排隊策略；物質管理等.數學建模在眾多領域的發(fā)展中扮演著重要工具的角色.即便在一般的工程技術領域，數學建模仍然大有可為.在以聲、光、電機、土木、水利等工程技術領域中，雖然基本模型是已有的，但由于新技術、新工藝的不斷涌現，產生了許多需要數學方法解決的新問題，而由于計算機的快速發(fā)展，使得過去某些即使有了數學模型也無法求解的問題（如海量數據的問題）也有了求解的可能.隨著數學向諸如經濟、人口、生態(tài)、地質等眾多所謂和物理領域的滲透，用數學方法研究這些領域中的內在特征成為關鍵的步驟和這些學科發(fā)展與應用的基礎.在這些領域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度的模型的余地相當大，數學建模的重要工具和橋梁作用得到進一步體現。
2.數學建模促進對數學科學重要性的再認識
從某種意義上講，說明數學科學的重要性是件容易的事情，可以舉出許多例子（從日常生活到尖端技術）說明數學為什么是必不可少的，但常常會發(fā)現許多人雖然不反對所列舉的例子，可還是認為數學沒有多大用處或者說數學與其生活和工作沒有多大關系.這不僅僅是由于數學的語言比較抽象不容易掌握，還有傳統(tǒng)數學教育重知識傳授輕實際應用以及其他原因.傳統(tǒng)的數學教學比較形式、抽象，只見定義、定理、推導、證明、計算，很少講與我們周圍的世界以至日常生活的密切聯系，使得數學的重要性變得很空泛.隨著計算機革命引起的深刻變化，數學與實際問題的結合，變得更為密切和廣泛，數學建模進入研究生、大學生乃至中學生的學習內容，其思想逐漸融入數學主干課程的教學內容中，數學學科的重要性也顯得更實在、更具體.數學建模在眾多學科領域乃至日常生活中的廣泛應用促使更多人認識到數學科學的重要性。
1.2 數學建模的基本方法和步驟
數學建模面臨的實際問題是多種多樣的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的數學工具不同，所得模型的類型也就不同，不能指望歸納出若干條準則，適用于一切實際問題的數學建模方法.因而，所謂的基本方法主要是從方法論的意義上講的.
1.2.1 數學建模的基本方法
數學建模方法大體上可分為機理分析和測試分析兩種.機理分析是根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現實意義，前面的示例用的即是機理分析.測試分析將研究對象看作一個“黑箱”系統(tǒng)（即它的內部機理看不清楚），通過對系統(tǒng)輸入、輸出數據的測量和統(tǒng)計分析，按照一定的準則找出與數據擬合得最好的模型。
一般來說，如果掌握了實際問題的一些內部機理的知識，模型也要求反映其內在特征，那么，建模就應以機理分析為主；而如果研究對象的內部規(guī)律不清楚，模型也不需要反映內部特征，則可以用測試分析.對于許多實際問題常常將兩者結合起來建模，即用機理分析建立模型的結構，用測試分析確定模型的參數.
機理分析通常針對具體對象進行，主要通過案例研究來學習；而測試分析有完整的數學方法，本書第11章的回歸分析就是其中之一.我們日常所說的數學建模主要指機理分析。
1.2.2 數學建模的一般步驟
數學建模的步驟并沒有一定的模式，常因問題性質、建模目的等而異.下面介紹的是用機理分析建模的一般步驟，如圖1-4所示.
圖1-4 數學建模步驟示意圖
模型準備 了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的信息（如現象、數據等），盡量弄清對象的主要特征，形成一個比較清晰的“問題”，由此初步確定用哪一類模型.
模型假設 根據對象的特征和建模目的，抓住問題的本質，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡化假設.
模型構成 根據所做的假設，用數學的語言、符號描述對象的內在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數學模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖的模型等.建模時應遵循的一個原則是：盡量采用簡單的數學工具，因為你的模型總是希望更多的人了解和使用，而不是只供少數專家欣賞。
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