《藝術數學》共5章,包括數列的極限、函數與極限、導數與微分、導數的應用、不定積分、定積分等數學內容,涉及音樂、美術、雕塑等各個藝術學領域,以及股市藝術、分形藝術、建筑藝術等“藝術”知識。
本書以“藝術”中的數學元素為鴻線,發(fā)掘和建立藝術與數學彼此之間知識的融合、理念的溝通和思維的創(chuàng)新。
本書采用直觀明了的幾何論證和通俗易懂的邏輯推理的方法,強調知識性、趣味性、鑒賞性和可讀性。
《藝術數學》可作為高等院校藝術系“數學”課程的教材,或文科其他各專業(yè)的數學參考書,也可作為提高學習興趣、增強文化素養(yǎng)的課外讀物。本書由馬傳漁、邵進、李棟寧編著。
《藝術數學》強調趣味性,從古代經典藝術作品到21世紀曠世杰作,涉及音樂、美術、建筑、雕塑等各個藝術學領域。本書是一本教材,同時,也是一本通俗讀物,對提高人們的學習興趣和對藝術作品的鑒賞能力可能會有幫助;它會使人們通曉數學和藝術中美的原則,它們是如此相似;它會給人們的藝術活動、藝術創(chuàng)作帶來新的理念、新的方法和更加豐富的創(chuàng)作源泉。本書由馬傳漁、邵進、李棟寧編著。
馬傳漁
南京大學教授,1982~1984年師從法國M.Berger院士在巴黎第七大學訪問學習兩年。1993年獲普通高等學校優(yōu)秀教學成果二等獎,同年被錄入第十五版《Who'swho in theworld》(《世界名人錄》),并享受國務院政府特殊津貼。曾編著出版《空間解析幾何學》和5本《微積分》教材,主編出版中小學數學奧林匹克科普讀物100余冊。2004年至今在南京大學金陵學院執(zhí)教,任金陵學院督導委員會委員。
邵進
1969年6月生,江蘇江陰人,南京大學副研究員,現為南京大學金陵學院副院長,教育部全國大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃專家組成員。長期從事高等教育管理研究,承擔多項國家級、省級教學改革課題。近年來,在《江蘇高教》、《中國大學教學》等核心期刊雜志發(fā)表文章數篇。曾獲得2007年江蘇省高等教育教學成果特等獎,2009年第六屆高等教育國家級教學成果二等獎。
李棟寧
1971年7月出生,江蘇南京人,副教授、藝術學博士,碩士生導師。發(fā)表學術論文20余篇,主持省部級課題多項。研究方向:電影學、設計學等。
前言
第1章 黃金數
1.1黃金分割與體型美
1.2《維納斯》、《蒙娜麗莎》與黃金分割
1.3斐波那契數的閃光點
1.4黃金數與斐波那契數列的聯系與應用
思考探究題
第2章 音樂與數學
2.1音階與261.63Hz
2.2樂聲與y=Asin(ωχ+φ)
2.3曲調與和諧性原理
2.4“無窮”的藝術
2.5對稱美
思考探究題
第3章 黃金圖形
3.1黃金三角形與圖案設計
3.2黃金矩形與M.C.Escher的杰作
3.3大自然中迷人的螺線
思考探究題
第4章 圖形藝術
4.1維數藝術
4.2圖形的描繪
4.3視幻覺與不可能圖形
4.4美術作品與默比烏斯帶
思考探究題
第5章 雪花曲線與鑲嵌藝術
5.1雪花曲線
5.2互逆運算
5.3鑲嵌藝術
5.4雕塑藝術
思考探究題
參考文獻
結束語
第1 章 黃 金 數
黃金數是希臘數學家歐多克斯(Eudoxus)發(fā)現的,然而,“黃金”兩個字則是意
大利著名科學家、藝術家達? 芬奇最早冠以的美稱,黃金數被當作美的信條,統(tǒng)治
著當時歐洲的建筑和藝術,并且這種影響一直延續(xù)到今天.用φ = 0.618 033 988 ?
和Φ = 1.618 033 618 ? 表示兩個黃金數.
1.1 節(jié)引入黃金分割與黃金數的含義及黃金點的作法.黃金分割與黃金數有
廣泛的應用:人體的黃金分割點能烘托出人的體型美,藝術作品中的黃金分割點屢
見不鮮.1.2 節(jié)從?維納斯?和?蒙娜麗莎?兩幅作品中,透徹說明黃金數的應用,道
出藝術與數學之間深入的關系.1.3 節(jié)從園林藝術花瓣或葉子的數目引入通常所
指的斐波那契數列1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 ,? ,該數列中的數稱為斐波那
契數,同時還給出了數列極限的各種計算方法.1.4 節(jié)中的定理1.6 深刻闡明了黃
金數與斐波那契數之間的關系.本節(jié)介紹的探索、歸納法在各個領域中都是常用
的.另外,本章介紹的斐波那契數和定理1.6 在股票市場上的應用是值得一讀的.
1.1 黃金分割與體型美
意大利數學家菲披斯注意到數學界不屑一顧的“冷門”――人體的黃金分割.
他認為:一般人在人體肚臍上下的長度比值為0.618 ,或者與此比值相近是人體上
下結構的最優(yōu)比例.此外,他發(fā)現,人體結構還有三個黃金分割點:上肢的分割點在
肘關節(jié)、肚臍以下的分割點在膝蓋、肚臍以上的分割點在咽喉.如果一個人各部分
的結構比都符合這個黃金分割律,那么他的體型就是最標準的.這一發(fā)現為評價體
型的優(yōu)劣提供了科學依據.
公元前5 世紀,哲學家畢達哥拉斯認為:“凡是美的東西,都具有共同的特性,
圖1.1
這就是部分與部分和部分與整體之間的協(xié)調一致.”
假定線段A B 上有一個分點C ,如圖1.1 所示.要使部
分與部分和部分與整體之間協(xié)調,則有
一部分
另一部分
= 另一部分
整體
,
即
BC
A C = A C
A B.
不妨令A B = 1 ,A C = x(0 < x < 1) ,則
1 - x
x = x
1 ,
整理得x2 + x - 1 = 0 ,解得
x1 = 5 - 1
2 ≈ 0.618 033 988 ,
x2 = - 5 - 1
2 = - 1.618 033 988 ? (舍去).
線段A B 的這一分割稱為黃金分割,點C 稱為黃金分割點,簡稱黃金點.比值
5 - 1
2 稱為黃金分割比,簡稱黃金比或黃金數.
記φ = 5 - 1
2 ≈ 0.618 ,則
BC
A C = A C
A B = φ. (1.1)
再記Φ = 1
φ
,則得
Φ = 2
5 - 1
= 2( 5 + 1)
( 5 - 1)( 5 + 1)
= 5 + 1
2 ≈ 1.618 033 988.
若將(1.1)取倒式,于是有
A C
BC = A B
A C = 1
φ
,
即
A C
BC = A B
A C = Φ. (1.2)
因此,也稱Φ 為黃金數.
由φ = 5 - 1
2 ,Φ = 5 + 1
2 知
Φ - φ = 1 ,
Φ ? φ = 1.
(1.3)
圖1.2
下面介紹黃金點的作法.
公元前300 年左右,歐幾里得就用圓規(guī)和直尺找
出了線段A B 的黃金分割點C ,如圖1.2 所示.
設A B = 1 ,過B 作A B 的垂線MB ,取BM = 12
A B
= 12
,連接A M ,在A M 上截取DM = BM = 12
,再在
A B 上截取A C = A D ,由于
A C
A B = A D
A B =
A M - 12
A B
A B
=
12 + 12
2
- 12
1 = 5 - 1
2 ≈ 0.618 ,
因此,點C 就是A B 的黃金分割點.
黃金數在生活中有廣泛的應用.在生活中穿衣時,
下裝長
上裝長+ 下裝長
= φ ≈ 0.618.
下面描畫了兩種風格稍異的四層女式接裙(圖1.3) ,你覺得哪一種更為可取
呢? 當然,你會選右邊逐層加深的那種.在那個設計中,每一層與其上一層深度的
比都恰為黃金分割比.
圖1.3
購買衣服時,
(高檔價- 低檔價) × 0.618 + 低檔價
是合理的價格.
人的體溫是37 ℃ ,因為37 ℃ × 0.618 ≈ 23 ℃ ,所以空調的溫度調到23 ℃ ,人
感到最舒服.
彼得? 脫普欽說:“在柏拉圖的時代里,提出了黃金分割比例Φ ,這個比例是所
有數學關系中最具約束力者,目前也被視為解答宇宙物理學之論.”畢達哥拉斯兄
弟選了5 個指定的星球作為標志,標志的每一部分與其次小的部分均維持黃金比
例的關系.16 世紀,約翰尼斯? 開普勒寫到黃金分割時說,它實際上描述了宇宙
萬物,并且特別以“相似來自相似”作為神所創(chuàng)造的宇宙萬物的象征.
兩個黃金比Φ 和φ 同三角函數具有下面的關系:
(1) 2(sin45°)2 = Φ - φ ;
(2) 4(sin18°)2 = 1 - φ ;
(3) 4(cos36°)2 = 1 + Φ.
早在16 世紀歐洲文藝復興時期,德國畫家丟勒有一幅名作,畫面上僅有一雙
手,但手的中心位置卻不在畫面中央,而是在靠左下3/5(接近0.618)處(圖1.4).
丟勒(1471 ― 1528)是德國宗教改革運動時期著名的油畫家、版畫家、雕塑家、
建筑家,也是一名著名的數學家.他的著作?圓規(guī)直尺測量法?,無論在藝術界還是
數學界,都產生過很大的影響.他發(fā)明的幻方具有深刻的歷史意義和現實價值,堪
稱稀世珍品(圖1.5).
圖1.4
圖1.5
什么叫幻方呢? n 階幻方就是把1 ,2 ,3 ,? ,n2 排成n 行n 列的一個數表,使
得每行每列以及兩條對角線上n 個數之和都等于12
n(n2 + 1) ,并稱此數為幻和.
丟勒給出的是4 階幻方,幻和為34.
我國古代數學家稱幻方為縱橫圖.在公元80 年成書的?大戴禮記?中就有了
3 階幻方的記載,南宋數學家楊輝已構造出直至10 階的幻方.
在丟勒的4 階幻方中,中心的4 個數之和為
10 + 11 + 6 + 7 = 34(幻和).
四角上的4 個數之和
16 + 13 + 4 + 1 = 34(幻和).
下邊一行中間的兩個數15 ,14 合在一起,恰為丟勒作此幻方的年份1514 年.第一
行4 個數的平方和加上第三行4 個數的平方和是
162 + 32 + 22 + 132 + 92 + 62 + 72 + 122 = 748 ,
它恰好等于第二行4 個數的平方和加上第四行4 個數的平方和.這一切絕不是偶
然的巧合,這是藝術家丟勒深厚的數學功底的見證.
在20 世紀雕刻家M.C.Escher(愛舍爾)的下面兩幅作品(圖1.6 ,圖1.7)中,
C 都是線段A B 的黃金點,即
A B
A C ≈ 1.68 ≈ Φ.
圖1.6
?水洼?,M.C.Escher 的木刻畫,作于1952 年.太陽在水中的倒影,樹木在水面
上的反射.圖中的點C 是線段A B 的黃金分割點,點C 垂直向上正對著粗壯有
力的樹干.畫面上留下的腳印和車輪印具有濃厚的生活氣息
圖1.7
M.C.Escher 于1931 年的石板畫作品,意大利南部卡拉布里亞?羅馬帝國?.畫
面上粗壯雄偉樹干所在處的點C 恰好是線段A B 的黃金分割點
2011 年4 月29 日,英國威廉王子和平民女子凱特在英國倫敦威斯敏斯特大
教堂舉行盛大婚禮,成為英國王室瑰麗的花朵.美國藝術家喬治? 維爾希耗時80
小時制作一幅威廉?凱特蝕刻素描肖像,如圖1.8 所示.
圖1.8
在這幅肖像圖中,A B = 73.5 cm ,A C = 48 cm ,
A B
A C = 73.5
48 ≈ 1.53 ,
比較接近黃金數Φ ≈ 1.618.點C 對上去的位置正好是凱特筆直高挺的鼻尖之處,
不管這是否是藝術家刻意安排的黃金分割點,還是偶然的巧合,現實的效果賦予人
們的是如此美妙和絢麗.