《藝術數學》共5章，包括數列的極限、函數與極限、導數與微分、導數的應用、不定積分、定積分等數學內容，涉及音樂、美術、雕塑等各個藝術學領域，以及股市藝術、分形藝術、建筑藝術等“藝術”知識。
本書以“藝術”中的數學元素為鴻線，發(fā)掘和建立藝術與數學彼此之間知識的融合、理念的溝通和思維的創(chuàng)新。
本書采用直觀明了的幾何論證和通俗易懂的邏輯推理的方法，強調知識性、趣味性、鑒賞性和可讀性。
《藝術數學》可作為高等院校藝術系“數學”課程的教材，或文科其他各專業(yè)的數學參考書，也可作為提高學習興趣、增強文化素養(yǎng)的課外讀物。本書由馬傳漁、邵進、李棟寧編著。
《藝術數學》強調趣味性，從古代經典藝術作品到21世紀曠世杰作，涉及音樂、美術、建筑、雕塑等各個藝術學領域。本書是一本教材，同時，也是一本通俗讀物，對提高人們的學習興趣和對藝術作品的鑒賞能力可能會有幫助；它會使人們通曉數學和藝術中美的原則，它們是如此相似；它會給人們的藝術活動、藝術創(chuàng)作帶來新的理念、新的方法和更加豐富的創(chuàng)作源泉。本書由馬傳漁、邵進、李棟寧編著。
馬傳漁
南京大學教授，1982～1984年師從法國M.Berger院士在巴黎第七大學訪問學習兩年。1993年獲普通高等學校優(yōu)秀教學成果二等獎，同年被錄入第十五版《Who'swho in theworld》（《世界名人錄》），并享受國務院政府特殊津貼。曾編著出版《空間解析幾何學》和5本《微積分》教材，主編出版中小學數學奧林匹克科普讀物100余冊。2004年至今在南京大學金陵學院執(zhí)教，任金陵學院督導委員會委員。
邵進
1969年6月生，江蘇江陰人，南京大學副研究員，現為南京大學金陵學院副院長，教育部全國大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃專家組成員。長期從事高等教育管理研究，承擔多項國家級、省級教學改革課題。近年來，在《江蘇高教》、《中國大學教學》等核心期刊雜志發(fā)表文章數篇。曾獲得2007年江蘇省高等教育教學成果特等獎，2009年第六屆高等教育國家級教學成果二等獎。
李棟寧
1971年7月出生，江蘇南京人，副教授、藝術學博士，碩士生導師。發(fā)表學術論文20余篇，主持省部級課題多項。研究方向：電影學、設計學等。
前言
第1章 黃金數
1.1黃金分割與體型美
1.2《維納斯》、《蒙娜麗莎》與黃金分割
1.3斐波那契數的閃光點
1.4黃金數與斐波那契數列的聯系與應用
思考探究題
第2章 音樂與數學
2.1音階與261.63Hz
2.2樂聲與y=Asin（ωχ+φ）
2.3曲調與和諧性原理
2.4“無窮”的藝術
2.5對稱美
思考探究題
第3章 黃金圖形
3.1黃金三角形與圖案設計
3.2黃金矩形與M.C.Escher的杰作
3.3大自然中迷人的螺線
思考探究題
第4章 圖形藝術
4.1維數藝術
4.2圖形的描繪
4.3視幻覺與不可能圖形
4.4美術作品與默比烏斯帶
思考探究題
第5章 雪花曲線與鑲嵌藝術
5.1雪花曲線
5.2互逆運算
5.3鑲嵌藝術
5.4雕塑藝術
思考探究題
參考文獻
結束語
第1 章 黃 金 數
黃金數是希臘數學家歐多克斯（Eudoxus）發(fā)現的，然而，“黃金”兩個字則是意
大利著名科學家、藝術家達? 芬奇最早冠以的美稱，黃金數被當作美的信條，統(tǒng)治
著當時歐洲的建筑和藝術，并且這種影響一直延續(xù)到今天．用φ ＝ 0.618 033 988 ?
和Φ ＝ 1.618 033 618 ? 表示兩個黃金數．
1.1 節(jié)引入黃金分割與黃金數的含義及黃金點的作法．黃金分割與黃金數有
廣泛的應用：人體的黃金分割點能烘托出人的體型美，藝術作品中的黃金分割點屢
見不鮮．1.2 節(jié)從?維納斯?和?蒙娜麗莎?兩幅作品中，透徹說明黃金數的應用，道
出藝術與數學之間深入的關系．1.3 節(jié)從園林藝術花瓣或葉子的數目引入通常所
指的斐波那契數列1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 ，? ，該數列中的數稱為斐波那
契數，同時還給出了數列極限的各種計算方法．1.4 節(jié)中的定理1.6 深刻闡明了黃
金數與斐波那契數之間的關系．本節(jié)介紹的探索、歸納法在各個領域中都是常用
的．另外，本章介紹的斐波那契數和定理1.6 在股票市場上的應用是值得一讀的．
1.1 黃金分割與體型美
意大利數學家菲披斯注意到數學界不屑一顧的“冷門”――人體的黃金分割．
他認為：一般人在人體肚臍上下的長度比值為0.618 ，或者與此比值相近是人體上
下結構的最優(yōu)比例．此外，他發(fā)現，人體結構還有三個黃金分割點：上肢的分割點在
肘關節(jié)、肚臍以下的分割點在膝蓋、肚臍以上的分割點在咽喉．如果一個人各部分
的結構比都符合這個黃金分割律，那么他的體型就是最標準的．這一發(fā)現為評價體
型的優(yōu)劣提供了科學依據．
公元前5 世紀，哲學家畢達哥拉斯認為：“凡是美的東西，都具有共同的特性，
圖1.1
這就是部分與部分和部分與整體之間的協(xié)調一致．”
假定線段A B 上有一個分點C ，如圖1.1 所示．要使部
分與部分和部分與整體之間協(xié)調，則有
一部分
另一部分
＝ 另一部分
整體
，
即
BC
A C ＝ A C
A B.
不妨令A B ＝ 1 ，A C ＝ x（0 ＜ x ＜ 1） ，則
1 - x
x ＝ x
1 ，
整理得x2 + x - 1 ＝ 0 ，解得
x1 ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 033 988 ，
x2 ＝ - 5 - 1
2 ＝ - 1.618 033 988 ? （舍去）.
線段A B 的這一分割稱為黃金分割，點C 稱為黃金分割點，簡稱黃金點．比值
5 - 1
2 稱為黃金分割比，簡稱黃金比或黃金數．
記φ ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 ，則
BC
A C ＝ A C
A B ＝ φ. （1.1）
再記Φ ＝ 1
φ
，則得
Φ ＝ 2
5 - 1
＝ 2（ 5 + 1）
（ 5 - 1）（ 5 + 1）
＝ 5 + 1
2 ≈ 1.618 033 988.
若將（1.1）取倒式，于是有
A C
BC ＝ A B
A C ＝ 1
φ
，
即
A C
BC ＝ A B
A C ＝ Φ. （1.2）
因此，也稱Φ 為黃金數．
由φ ＝ 5 - 1
2 ，Φ ＝ 5 + 1
2 知
Φ - φ ＝ 1 ，
Φ ? φ ＝ 1.
（1.3）
圖1.2
下面介紹黃金點的作法．
公元前300 年左右，歐幾里得就用圓規(guī)和直尺找
出了線段A B 的黃金分割點C ，如圖1.2 所示．
設A B ＝ 1 ，過B 作A B 的垂線MB ，取BM ＝ 12
A B
＝ 12
，連接A M ，在A M 上截取DM ＝ BM ＝ 12
，再在
A B 上截取A C ＝ A D ，由于
A C
A B ＝ A D
A B ＝
A M - 12
A B
A B
＝
12 + 12
2
- 12
1 ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 ，
因此，點C 就是A B 的黃金分割點．
黃金數在生活中有廣泛的應用．在生活中穿衣時，
下裝長
上裝長+ 下裝長
＝ φ ≈ 0.618.
下面描畫了兩種風格稍異的四層女式接裙（圖1.3） ，你覺得哪一種更為可取
呢？ 當然，你會選右邊逐層加深的那種．在那個設計中，每一層與其上一層深度的
比都恰為黃金分割比．
圖1.3
購買衣服時，
（高檔價- 低檔價） × 0.618 + 低檔價
是合理的價格．
人的體溫是37 ℃ ，因為37 ℃ × 0.618 ≈ 23 ℃ ，所以空調的溫度調到23 ℃ ，人
感到最舒服．
彼得? 脫普欽說：“在柏拉圖的時代里，提出了黃金分割比例Φ ，這個比例是所
有數學關系中最具約束力者，目前也被視為解答宇宙物理學之論．”畢達哥拉斯兄
弟選了5 個指定的星球作為標志，標志的每一部分與其次小的部分均維持黃金比
例的關系．16 世紀，約翰尼斯? 開普勒寫到黃金分割時說，它實際上描述了宇宙
萬物，并且特別以“相似來自相似”作為神所創(chuàng)造的宇宙萬物的象征．
兩個黃金比Φ 和φ 同三角函數具有下面的關系：
（1） 2（sin45°）2 ＝ Φ - φ ；
（2） 4（sin18°）2 ＝ 1 - φ ；
（3） 4（cos36°）2 ＝ 1 + Φ.
早在16 世紀歐洲文藝復興時期，德國畫家丟勒有一幅名作，畫面上僅有一雙
手，但手的中心位置卻不在畫面中央，而是在靠左下3/5（接近0.618）處（圖1.4）.
丟勒（1471 ― 1528）是德國宗教改革運動時期著名的油畫家、版畫家、雕塑家、
建筑家，也是一名著名的數學家.他的著作?圓規(guī)直尺測量法?，無論在藝術界還是
數學界，都產生過很大的影響.他發(fā)明的幻方具有深刻的歷史意義和現實價值，堪
稱稀世珍品（圖1.5）.
圖1.4
圖1.5
什么叫幻方呢？ n 階幻方就是把1 ，2 ，3 ，? ，n2 排成n 行n 列的一個數表，使
得每行每列以及兩條對角線上n 個數之和都等于12
n（n2 + 1） ，并稱此數為幻和.
丟勒給出的是4 階幻方，幻和為34.
我國古代數學家稱幻方為縱橫圖.在公元80 年成書的?大戴禮記?中就有了
3 階幻方的記載，南宋數學家楊輝已構造出直至10 階的幻方.
在丟勒的4 階幻方中，中心的4 個數之和為
10 + 11 + 6 + 7 ＝ 34（幻和）.
四角上的4 個數之和
16 + 13 + 4 + 1 ＝ 34（幻和）.
下邊一行中間的兩個數15 ，14 合在一起，恰為丟勒作此幻方的年份1514 年.第一
行4 個數的平方和加上第三行4 個數的平方和是
162 + 32 + 22 + 132 + 92 + 62 + 72 + 122 ＝ 748 ，
它恰好等于第二行4 個數的平方和加上第四行4 個數的平方和.這一切絕不是偶
然的巧合，這是藝術家丟勒深厚的數學功底的見證.
在20 世紀雕刻家M.C.Escher（愛舍爾）的下面兩幅作品（圖1.6 ，圖1.7）中，
C 都是線段A B 的黃金點，即
A B
A C ≈ 1.68 ≈ Φ.
圖1.6
?水洼?，M.C.Escher 的木刻畫，作于1952 年．太陽在水中的倒影，樹木在水面
上的反射．圖中的點C 是線段A B 的黃金分割點，點C 垂直向上正對著粗壯有
力的樹干．畫面上留下的腳印和車輪印具有濃厚的生活氣息
圖1.7
M.C.Escher 于1931 年的石板畫作品，意大利南部卡拉布里亞?羅馬帝國?．畫
面上粗壯雄偉樹干所在處的點C 恰好是線段A B 的黃金分割點
2011 年4 月29 日，英國威廉王子和平民女子凱特在英國倫敦威斯敏斯特大
教堂舉行盛大婚禮，成為英國王室瑰麗的花朵．美國藝術家喬治? 維爾希耗時80
小時制作一幅威廉?凱特蝕刻素描肖像，如圖1.8 所示．
圖1.8
在這幅肖像圖中，A B ＝ 73.5 cm ，A C ＝ 48 cm ，
A B
A C ＝ 73.5
48 ≈ 1.53 ，
比較接近黃金數Φ ≈ 1.618.點C 對上去的位置正好是凱特筆直高挺的鼻尖之處，
不管這是否是藝術家刻意安排的黃金分割點，還是偶然的巧合，現實的效果賦予人
們的是如此美妙和絢麗．
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