微積分從醞釀到萌芽，到建立、發(fā)展、完善，凝結(jié)著兩千多年來(lái)無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的心血，可以說(shuō)是美的交響樂(lè)。微積分之美，美在簡(jiǎn)單、和諧、對(duì)稱、奇異，更美在原創(chuàng)。微積分之美，集多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索微積分的數(shù)學(xué)藝術(shù)，培養(yǎng)莘莘學(xué)子對(duì)數(shù)學(xué)崇高的敬意：數(shù)學(xué)中有美、美中有數(shù)學(xué)；提升他們的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力，深入科技發(fā)展前沿，開啟用微積分改變?nèi)藗兛创钪娣绞降臄?shù)學(xué)之旅，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)與詩(shī)一樣，都充滿了人類的精神力量。本書主要內(nèi)容有函數(shù)、極限和連續(xù)；導(dǎo)數(shù)與微分；微分中值定理及其應(yīng)用；不定積分；定積分。每章節(jié)涉及名人名言、內(nèi)容提要、問(wèn)題探究等，通過(guò)222道例題簡(jiǎn)要闡述美中有數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)中有美的具體含義。本書可以作為高等院校理工科各專業(yè)的教材使用，也是廣大學(xué)生和教師的參考資料。
杜耀剛是北京電子科技學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科教學(xué)部的老教師，多年在一線教學(xué)崗位，有非常豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教研經(jīng)驗(yàn)，本書是作者集多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，翻閱大量參考資料的基礎(chǔ)之上編寫而成的。力求擴(kuò)大課堂信息量，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，介紹科技最新發(fā)展動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，追求聽(tīng)課是一種享受。
目 錄
第1章 函數(shù) 極限 連續(xù) 1
§1.1 函數(shù)：微積分的研究對(duì)象 1
1.1.1 懸鏈線 2
1.1.2 函數(shù)概念及其演變 3
1.1.3 函數(shù)的圖象 4
1.1.4 黎曼猜想 5
1.1.5 問(wèn)題探究：函數(shù)之美 6
1.1.6 e是所有數(shù)的老師 9
§1.2 數(shù)列的極限：微積分的奠基石 11
1.2.1 曲邊梯形的面積 12
1.2.2 割圓人間細(xì)，方蓋宇宙精 12
1.2.3 極限的定性和定量描述 14
1.2.4 問(wèn)題探究：美是一切事物生成和發(fā)展的本質(zhì)特征 18
§1.3 函數(shù)極限：微積分學(xué)的研究工具 22
1.3.1 連續(xù)復(fù)利與“e” 23
1.3.2 函數(shù)極限 25
1.3.3 兩個(gè)重要極限 26
1.3.4 問(wèn)題探究：極限之美 27
§1.4 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量：無(wú)窮是數(shù)學(xué)的靈魂 30
1.4.1 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 31
1.4.2 極限的四則運(yùn)算 32
1.4.3 漸進(jìn)線的定義 33
1.4.4 無(wú)窮小量的比較 34
1.4.5 問(wèn)題探索：整體之美 35
1.4.6 無(wú)窮的文學(xué)意境 36
§1.5 連續(xù)函數(shù)：連續(xù)的本質(zhì)是極限 38
1.5.1 連續(xù)函數(shù)的概念 38
1.5.2 連續(xù)函數(shù)的局部形態(tài) 40
1.5.3 連續(xù)函數(shù)整體性態(tài) 41
1.5.4 問(wèn)題探究：以美啟智 43
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 45
§2.1 導(dǎo)數(shù)與微分：心靈思考入微的思想顯微鏡 45
2.1.1 數(shù)學(xué)的抽象性使它具有高度的概括性 46
2.1.2 導(dǎo)數(shù)思想：無(wú)窮小之比 47
2.1.3 導(dǎo)數(shù)與微分：差商的極限 47
2.1.4 微分的應(yīng)用：近似計(jì)算 51
2.1.5 問(wèn)題探究：美在運(yùn)動(dòng) 52
§2.2 微分法則：以少為美 55
2.2.1 求導(dǎo)復(fù)習(xí) 55
2.2.2 微分的四則法則 56
2.2.3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 56
2.2.4 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 57
2.2.5 高階導(dǎo)數(shù) 58
2.2.6 萊布尼茨公式 58
2.2.7 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 59
2.2.8 參數(shù)方程求導(dǎo)公式 59
2.2.9 數(shù)學(xué)符號(hào)的正確應(yīng)用 60
2.2.10 相關(guān)變化率 60
2.2.11 問(wèn)題探索：運(yùn)動(dòng)之美 61
第3章 微分中值定理及其應(yīng)用 64
§3.1 微分中值定理：局部與整體溝通的橋梁 64
3.1.1 羅爾中值定理 65
3.1.2 拉格朗日定理 66
3.1.3 柯西中值定理 68
3.1.4 人物簡(jiǎn)介 69
3.1.5 問(wèn)題探究：化歸之美 70
§3.2 洛必達(dá)法則和泰勒公式：柯西中值定理的應(yīng)用 72
3.2.1 泰勒公式：通過(guò)無(wú)限認(rèn)識(shí)有限 72
3.2.2 洛必達(dá)法則 74
3.2.3 問(wèn)題探究：最美公式 76
§3.3 微分學(xué)的應(yīng)用：運(yùn)籌帷幄中，決勝千里外 83
3.3.1 函數(shù)單調(diào)性、極值與最值：最小作用量原理 84
3.3.2 曲線的凹凸性及函數(shù)作圖：一副圖象勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ) 87
3.3.3 問(wèn)題探究：美就是真 90
第4章 不定積分 97
§4.1 不定積分：尋找原函數(shù) 97
4.1.1 不定積分的物理意義 97
4.1.2 不定積分 98
4.1.3 問(wèn)題探究：進(jìn)化之美 99
§4.2 積分法：化歸有理 100
4.2.1 換元積分法 101
4.2.2 分部積分法 103
4.2.3 有理分式的積分 104
4.2.4 萬(wàn)能代換求三角有理函數(shù)積分 107
4.2.5 問(wèn)題探究：奇異之美 107
第5章 定積分 109
§5.1 定積分：通過(guò)局部把握整體 109
5.1.1 曲邊梯形的面積 110
5.1.2 定積分的概念 111
5.1.3 定積分的性質(zhì) 112
5.1.4 定積分思想的人文價(jià)值 114
5.1.5 問(wèn)題探究：對(duì)稱之美 115
§5.2 微積分基本定理：局部和整體的完美結(jié)合 118
5.2.1 微積分基本定理的物理意義 118
5.2.2 微積分基本定理及其應(yīng)用 119
5.2.3 積分變上限函數(shù) 121
5.2.4 問(wèn)題探究：變換之美 122
5.2.5 自然科學(xué)家的偶像和樣樣皆通的大師 126
5.2.6 微積分傳入中國(guó)之簡(jiǎn)史 129
5.2.7 簡(jiǎn)潔美的范例：廣義斯托克斯公式 129
5.2.8 有限與無(wú)限 130
5.2.9 微積分之歌 130
附錄A 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法 134
附錄B 有限域Chebyshev公鑰密碼算法 136
附錄C 人名索引 137
后記 143
參考資料 144
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