全書共分7章，具體內容包括：第1章介紹矩陣的由來，分別從“雞兔同籠”解線性方程組和線性空間、線性變換兩個角度進行敘述；第2章介紹矩陣的基本概念、基本性質和常見的幾種矩陣；第3章介紹矩陣化簡問題，即如何把矩陣化簡成對角矩陣或分塊對角化(Jordon標準型)；第4章介紹矩陣分解問題，即把一個矩陣拆分成幾個特殊矩陣乘積的形式，這一章的最后還介紹了矩陣的廣義逆問題；第5章介紹矩陣度量問題，即把“距離”的概念推廣到“范數”的概念，并介紹了范數理論如何應用到特征值估計問題中；第6章介紹矩陣分析問題，即利用微積分的方法來處理矩陣；最后，第7章從一個圖像處理的簡單例子出發，介紹了矩陣如何和實際問題相結合，并拓展介紹了非負矩陣的一些相關知識。同時，在每章章末都配備了一定數量的習題，希望這些習題能夠幫助讀者鞏固本章的知識點。
王剛，北京航空航天大學電子信息工程學院副教授，博士后，從事交通信息工程及控制方面的教研工作，并負責矩陣論和運籌學的教學任務，出版專著（譯著）3部。
目 錄
第1章 線性代數基礎 1
1.1 從線性方程組談起 1
1.2 線性空間、線性變換和矩陣 3
1.3 線性子空間基本概念 8
1.4 特殊的線性子空間 12
習題 13
第2章 矩陣的基本概念 15
2.1 矩陣的基本運算 15
2.2 矩陣的秩 18
2.3 矩陣的跡 20
2.4 矩陣的特征值和特征向量 21
2.5 正交矩陣和酉矩陣 25
2.5.1 Gram-Schmidt正交化方法 26
2.5.2 Givens變換 27
2.5.3 Householder變換 29
2.6 正規矩陣 30
2.7 正定矩陣與半正定矩陣 32
2.8 特殊的冪矩陣 35
習題 36
第3章 矩陣對角化 38
3.1 矩陣的相抵 38
3.2 矩陣的相似 39
3.3 矩陣的對角化 40
3.4 正交相似對角化 42
3.5 Jordan標準形 46
3.5.1 Jordan標準形的存在定理 46
3.5.2 初等因子法求Jordan標準形 48
3.6 Cayley-Hamilton定理及其應用 54
習題 58
第4章 矩陣分解及應用 59
4.1 三角分解LU 59
4.2 矩陣的QR分解 62
4.3 滿秩分解 67
4.4 奇異值分解 69
4.5 矩陣的極分解 74
4.6 矩陣的譜分解 75
4.7 擴展主題——廣義逆矩陣 79
習題 83
第5章 范數理論及其應用 85
5.1 向量范數的定義 85
5.2 三個常用的不等式 86
5.3 常見的向量范數 88
5.4 向量范數的等價性 92
5.5 矩陣范數定義 94
5.6 常見的矩陣范數 94
5.7 矩陣范數與向量范數之間的相容性 99
5.8 擴展主題1：矩陣的非奇異性條件 101
5.9 擴展主題2：特征值估計 103
5.10 廣義特征值與極小極大原理 106
習題 109
第6章 矩陣分析及應用 111
6.1 矩陣序列及其極限 111
6.2 矩陣級數 114
6.3 矩陣冪級數 116
6.4 矩陣函數 118
6.5 函數矩陣的微分 125
6.6 函數矩陣的積分 130
應用擴展：矛盾方程組的求解 130
習題 132
第7章 矩陣論的實際應用 134
7.1 線性方程組求解的問題 134
7.2 非負矩陣簡介 137
7.3 低秩矩陣近似 137
7.4 主成分分析簡介 141
參考文獻 143
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