《凝聚態(tài)電磁學(xué)和引力中的多值場論/現(xiàn)代物理基礎(chǔ)叢書》編著者哈根 ·克萊納特。 《凝聚態(tài)電磁學(xué)和引力中的多值場論/現(xiàn)代物理基礎(chǔ)叢書》內(nèi)容提要：本書給出了多值場論的基本框架，并通過在不同領(lǐng)域的應(yīng)用對此理論加以了詳盡的闡述．本理論的一個重要特性是它包含一個新的具有奇異性的規(guī)范場這個規(guī)范場為某個曲面上的占函數(shù)，該曲面的形狀是任意的，只有該曲面的邊界具有物理意義。理論在曲面形變下的不變性可看作是一種新的規(guī)范對稱性。 在本理論中多值映射起了十分重要的作用正是由此，我們可以從自由物質(zhì)的物理定律推導(dǎo)出與規(guī)范場耦合的物質(zhì)的物理定律以及帶撓率的引力理論。 本書可作為研究人員、研究生學(xué)習(xí)掌握相變理論、量子場論、引力理論以及微分幾何的參考書。
《凝聚態(tài)電磁學(xué)和引力中的多值場論/現(xiàn)代物理基礎(chǔ)叢書》編著者哈根·克萊納特。 在本理論中多值映射起了十分重要的作用正是由此，我們可以從自由物質(zhì)的物理定律推導(dǎo)出與規(guī)范場耦合的物質(zhì)的物理定律以及帶撓率的引力理論。 本書可作為研究人員、研究生學(xué)習(xí)掌握相變理論、量子場論、引力理論以及微分幾何的參考書。
譯者的話
序言
第1章 基礎(chǔ)知識
1.1 牛頓力學(xué)的伽利略不變性
l.1.1 平移
1.l.2 轉(zhuǎn)動
1.l.3 伽利略推進(jìn)
1.1.4 伽利略群
1.2 麥克斯韋方程的洛倫茲不變性
1.2.1 洛倫茲推進(jìn)
1.2.2 洛倫茲群
1.3 無窮小洛倫茲變換
1.3.1 群變換的生成元
1.3.2 群乘積和李代數(shù)
1.4 矢量、張量和標(biāo)量場
1.4.1 離散洛倫茲變換
1.4.2 龐加萊群
1.5 洛倫茲變換的微分算子
1.6 矢量和張量算子
1.7 有限洛倫茲變換下矢量和張量的行為
1.7.1 轉(zhuǎn)動
1.7.2 洛倫茲推進(jìn)
1.7.3 洛倫茲群
1.8 相對論性點(diǎn)粒子力學(xué)
1.9 量子力學(xué)
1.10 電磁場中的相對論性粒子
1.11 狄拉克粒子和場
1.12 能動張量
1.12.1 點(diǎn)粒子
1.12.2 理想流體
l.12.3 電磁場
1.13 角動量和自旋
1.14 依賴時空的洛倫茲變換
1.14.1 角速度
l.14.2 角梯度
附錄
1A張量恒等式
文獻(xiàn)與注記
第2章 作用量方法
第3章 連續(xù)對稱性和守恒定律、Noether定理
第4章 靜磁場中的多值規(guī)范變換
第5章 潮流和超導(dǎo)中的多值場論
第6章 超流動力學(xué)
第7章 帶點(diǎn)超流動力學(xué)及超導(dǎo)
第8章 相對論性磁單極和電荷禁閉
第9章 從理想晶體到含缺晶體的多值映射
第10章 缺陷的熔解
……
第1 章基礎(chǔ)知識
Basic research is what I am doing
when I don't know what I am doing.
Wernher von Braun （1912?1977）
一本關(guān)于多值場論的專著首先必須要對經(jīng)典力學(xué)和單值場理論中的一些基本
概念進(jìn)行回顧，這將在本書的前三章中予以完成. 對這部分內(nèi)容已經(jīng)十分熟悉的讀
者可以直接從第4 章開始.
在關(guān)于理論力學(xué)的奠基性著作《原理》（Principia） 中，牛頓（1642?1727） 假定
了絕對時空的存在. 空間由矢量x = （x1；x2；x3） 來參數(shù)化，而點(diǎn)粒子在其中的運(yùn)動
由軌跡x（t） 來描述，軌跡的分量qi（t） （i = 1；2；3） 則確定了粒子沿其軌跡隨時間運(yùn)
動時的坐標(biāo)xi = qi（t）. 在牛頓的絕對時空中，一個自由粒子的運(yùn)動是不帶有任何
加速度的. 數(shù)學(xué)上，這可由以下微分方程來表達(dá)：
?x
（t） ′
d2
dt2 x（t） = 0；（1.1）
其中，點(diǎn)表示對時間求導(dǎo).
一組N 個帶有質(zhì)量mn （n = 1；… ；N） 的點(diǎn)粒子xn（t） 會受到萬有引力的作
用，這使得它們的運(yùn)動方程變?yōu)?/span>
mn?xn（t） = GN Xm6=n
mnmm
xm（t） ? xn（t）
jxm（t） ? xn（t）j3 ；（1.2）
其中，GN 為牛頓萬有引力常數(shù)
GN ? 6:67259（85） ￡ 10?8cm3=（g ￠ s2）: （1.3）
1.1 牛頓力學(xué)的伽利略不變性
以上提到的絕對時空的參數(shù)化方案并不是唯一的，坐標(biāo)的選擇其實(shí)有很大的
自由.
1.1.1 平移
坐標(biāo)值x 總可以通過下面給出的坐標(biāo)平移而加以改變
x0 = x ? x0: （1.4）
很明顯，平移后的軌跡x0n（t） = xn（t） ? x0 同樣滿足運(yùn)動方程（1.2）. 對于時間平移
t0 = t ? t0；（1.5）
這些方程同樣是正確的，亦即，軌跡
x0（t） ′ x（t + t0） （1.6）
滿足方程（1.2）. 牛頓方程（1.2） 的這種性質(zhì)被稱作時空中的平移對稱性.
另一種對此不變性的等價的闡述則是保持坐標(biāo)系不動，同時將物理系統(tǒng)在時空
中做一個整體的移置，將所有的粒子移動到新的位置x0 = x+x0 和時間t0 = t+t0.
在這種情況下，運(yùn)動方程同樣不變. 以上兩種對同一物理體系的再參數(shù)化方案是等
價的，第一種稱為被動對稱變換，第二種稱為主動對稱變換. 可以任選一個對體系
的對稱性進(jìn)行討論. 本書中，我們將根據(jù)實(shí)際情況選用主動式或者被動式變換進(jìn)行
討論.
1.1.2 轉(zhuǎn)動
對于更多的將不同方向坐標(biāo)值進(jìn)行線形組合的變換，運(yùn)動方程同樣是不變的.
例如，對于轉(zhuǎn)動：
x0i = Ri
jxj ；（1.7）
其中，Ri
j 是轉(zhuǎn)動矩陣
Ri
j = cos μ ±ij + （1 ? cos μ） ^μi ^μj + sin μ 2ijk ^μk ；（1.8）
其中，^μi 表示轉(zhuǎn)軸的單位方向矢量. 此矩陣滿足正交關(guān)系
RTR = 1: （1.9）
在方程（1.7） 中，重復(fù)指標(biāo)j 意味著從1 到3 的求和，這就是所說的愛因斯坦求和
約定，本書中將全部采用此種約定. 對于變換而言，轉(zhuǎn)動同樣可用于被動情形和主
動情形.
主動式轉(zhuǎn)動可通過改變μ 的正負(fù)號從上面所講的被動情形得到. 例如，繞z 軸
的具有轉(zhuǎn)動矢量^' = （0；0；1） 的主動式轉(zhuǎn)動可由如下正交矩陣給出：
R3（'） =0BB@
cos ' ?sin ' 0
sin ' cos ' 0
0 0 1
1CCA
: （1.10）
1.1.3 伽利略推進(jìn)
下面一組更進(jìn)一步的變換
x0i =xi ? vit；（1.11）
t0 =t （1.12）
則會將空間坐標(biāo)和時間坐標(biāo)混合在一起. 這稱為純伽利略變換或伽利略推進(jìn)（Galilei
boost）. 坐標(biāo)值x0i 和t0 是從以速度v ′ （v1；v2；v3） 勻速穿過絕對時空的參考系中
觀察到的粒子所處的位置和時間. 在主動性描述中，變換x0i = xi + vit 確定了以
速度v 勻速掠過觀察者的物理系統(tǒng)的坐標(biāo)值.
1.1.4 伽利略群
將所有的這些變換結(jié)合起來
x0i =Ri
jxj ? vit ? xi
0；（1.13）
t0 =t ? t0；（1.14）
就構(gòu)成了群. 群乘積可由接連執(zhí)行相應(yīng)變換來定義. 這樣定義的乘積律很顯然是具
有結(jié)合性的，并且每個群元素都有一個逆元. 這組變換式（1.13） 和式（1.14） 稱作
伽利略群.
所有在其中粒子的運(yùn)動方程取式（1.2） 簡單形式的坐標(biāo)系，牛頓稱之為慣
性系.
1.2 麥克斯韋方程的洛倫茲不變性
當(dāng)麥克斯韋（1831?1879） 在1864 年創(chuàng)立了他的電磁場理論后，牛頓理論就出
現(xiàn)問題了. 麥克斯韋關(guān)于真空中電場E（x） 和磁通密度或磁感應(yīng)強(qiáng)度B（x） 的方程
r￠ E = 0 （庫侖定律）；（1.15）
r￡ B ?
1
c
@E
@t
= 0 （安培定律）；（1.16）
r￠ B = 0 （磁單極不存在）；（1.17）
r￡ E +
1
c
@B
@t
= 0 （法拉第定律）；（1.18）
可以進(jìn)一步組合而得到二階微分方程
μ1
c2 @2
t ?r2?E （x；t）=0；（1.19）
μ1
c2 @2
t ?r2?B（x；t）=0: （1.20）
這組方程中很明確地包含了光速
c ′ 299 792 458m=s；（1.21）
并且這組方程在伽利略群（1.14） 的作用下并非不變. 事實(shí)上，這是與牛頓的絕對時
空存在的假設(shè)相矛盾的. 如果光以速度c 在絕對時空中傳播，則它在其他相對于絕
對時空以非零速度運(yùn)動的慣性系中必不會如此. 因此，對光速的一個精確的測量就
應(yīng)該可以挑選出那個絕對的時空. 然而，所有的這方面的實(shí)驗(yàn)嘗試均告失敗. 邁克
耳孫（1852?1931） 和莫雷（1838?1923） 在1887 年所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)顯示，在§5 km/s
的誤差范圍內(nèi)，光沿著平行和垂直于地球運(yùn)動軌道方向傳播的速度是相同的[1, 2].
這導(dǎo)致Fitzgerald （1851?1901）[3]、洛倫茲（1855?1928）[4]、龐加萊（1854?1912）[5]
以及愛因斯坦（1879?1955）[6] 等設(shè)想并認(rèn)為牛頓關(guān)于絕對時空的假設(shè)是非物
理的[7].
1.2.1 洛倫茲推進(jìn)
上述矛盾可以通過對伽利略變換式（1.11） 和式（1.12） 進(jìn)行修正以使麥克斯韋
方程在其下也保持不變來解決. 這可由如下坐標(biāo)變換來實(shí)現(xiàn)：
x0i =xi + （° ? 1）vivj
v2 xj ? °vit；（1.22）
t0 =°t ?
1
c2 °vixi；（1.23）
其中，° 是一個依賴于速度的參量
° =
1
p1 ? v2=c2
: （1.24）
變換式（1.22） 與式（1.23） 被稱為純洛倫茲變換或洛倫茲推進(jìn)（Lorentz boost）. 參
數(shù)° 具有這樣的效應(yīng)：在以不同速度運(yùn)動的參考系內(nèi)，時間的流逝是不同的. 這對
于保持光速在所有參考系中均相等是十分必要的.
將純洛倫茲變換用四維矢量表示法寫出來會比較方便. 引入4-矢量xa（指標(biāo)a
取值0；1；2；3），
xa =0BBBB@
ct
x1
x2
x3
1CCCCA；
（
1
.
2
5
）
我們可將式（1.22） 和式（1.23） 重新寫為如下形式：
x0a = ¤a
bxb；（1.26）
其中，¤a
b 是如下4 ￡ 4- 矩陣：
¤a
b ′0@
° ?°vi=c
?°vi=c ±ij + （° ? 1）vivj=v21A : （1.27）
注意，對于重復(fù)指標(biāo)a；b；c；… = 0；… ；3，我們依然采用了愛因斯坦求和約定. 這
個矩陣¤a
b 滿足贗正交關(guān)系[請對照式（1.9）]
¤T
a
c gcd ¤d
b = gab；（1.28）
其中，gab 是閔可夫斯基度規(guī)
gab =0BBBB@
1
?1
?1
?1
1CCCCA
: （1.29）
由方程（1.28） 可以給出這樣的結(jié)果，即由閔可夫斯基度規(guī)定義的兩個4-矢量
xa 和ya 的標(biāo)量積
xy ′ xagabyb （1.30）
在洛倫茲變換下是不變的.
為了驗(yàn)證方程（1.28） 這一關(guān)系，我們引入一個被稱作快度（rapidity） 的無量綱
矢量3，它指向速度v 的方向并且具有由下式?jīng)Q定的長度3 ′ j3j：
cosh 3 = °；sinh 3 = °v=c: （1.31）
我們同時定義三維空間的單位矢量
^3 ′ 3=3 = ^v ′ v=v；（1.32）
于是
3 = 3 ^3 = arctanhv
c
^v
: （1.33）
這樣一來，洛倫茲變換式（1.27） 的矩陣¤a
b 就取如下形式：
¤a
b = Ba
b（3） ′
0BBBBB@
cosh 3 ?sinh 3 ^31 ? sinh 3 ^32 ? sinh 3 ^33
?sinh 3 ^31
? sinh 3 ^32 ±ij + （cosh 3 ? 1） ^3i ^3j
?sinh 3 ^33
1CCCCCA
: （1.34）
符號Ba
b（3） 強(qiáng)調(diào)此變換為推進(jìn). 贗正交性質(zhì)（1.28） 可由恒等式^32 = 1 和cosh2 3 ?
sinh2 3 = 1 直接導(dǎo)出.
對于物理系統(tǒng)的主動式變換，上述變換需要倒轉(zhuǎn)過來. 例如，對于具有指向
z- 方向的快度3 = 3（0；0；1） 的主動式推進(jìn)，它的贗正交矩陣為
¤a
b = B3（3） =0BBBB@
cosh 3 0 0 sinh 3
0 1 0 0
0 0 1 0
sinh 3 0 0 cosh 3
1CCCCA
: （1.35）
1.2.2 洛倫茲群
式（1.34） 中的洛倫茲推進(jìn)可通過轉(zhuǎn)動擴(kuò)展并構(gòu)成洛倫茲群. 在4 ￡ 4 - 矩陣表
示中，轉(zhuǎn)動矩陣（1.8） 具有如下分塊形式：
¤a
b（R） = Ra
b ′
0BBBB@
1 0 0 0
0
0 Ri
j
0
1CCCCA
: （1.36）
很容易驗(yàn)證這些矩陣滿足關(guān)系式（1.28），這里它變成了正交關(guān)系式（1.9）.
對于繞z 軸并具有轉(zhuǎn)動矢量^' = （0；0；1） 的主動式轉(zhuǎn)動（1.10），其四維形式由
如下正交矩陣給出：
¤b
a = R3（'） =0BBBB@
1 0 0 0
0 cos ' ?sin ' 0
0 sin ' cos ' 0
0 0 0 1
1CCCCA
: （1.37）
轉(zhuǎn)動矩陣（1.37） 和推進(jìn)矩陣（1.35） 的區(qū)別主要在于用三角函數(shù)取代了雙曲函
數(shù). 同時，當(dāng)考慮到度規(guī)（1.29） 中的時間和空間部分取相反正負(fù)號，換位后會有一
個正負(fù)號的轉(zhuǎn)換.
當(dāng)把所有可能的洛倫茲推進(jìn)和轉(zhuǎn)動依次結(jié)合的組合集合起來，就形成了一個
群，稱作洛倫茲群.
1.3 無窮小洛倫茲變換
連續(xù)群――轉(zhuǎn)動群和洛倫茲群――的變換規(guī)律可以十分方便地用無窮小變
換形式寫出. 通過將許多無窮小變換依次組合起來的方式，我們總是可以從其中重
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