本書(shū)系統(tǒng)地介紹了信息安全理論與技術(shù)所涉及的數(shù)論、代數(shù)、橢圓曲線等數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。全書(shū)共分為9章：第1章是預(yù)備知識(shí)，介紹了現(xiàn)代密碼學(xué)涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；第2章至第5章是數(shù)論基礎(chǔ)，包括整除、同余、次數(shù)與原根、二次剩余和素?cái)?shù)檢驗(yàn)以及整數(shù)分解等內(nèi)容；第6章至第8章是代數(shù)基礎(chǔ)，包括群、環(huán)、域的概念及其應(yīng)用等內(nèi)容；第9章是橢圓曲線，包括仿射空間和射影空間、橢圓曲線的基本性質(zhì)、橢圓曲線上的離散對(duì)數(shù)等內(nèi)容。書(shū)中每章末都配有適量習(xí)題，以供學(xué)生學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)鞏固書(shū)中所學(xué)內(nèi)容。
前言計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，極大地促進(jìn)了社會(huì)的發(fā)展，也徹底改變了人們的生活和工作方式．與此同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)與信息安全問(wèn)題也更多地受到關(guān)注，網(wǎng)絡(luò)空間安全理論與技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)前最為重要的研究領(lǐng)域之一，網(wǎng)絡(luò)空間安全專門(mén)人才的培養(yǎng)受到了社會(huì)空前的重視．信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是信息安全本科專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，對(duì)網(wǎng)絡(luò)空間安全理論與技術(shù)（特別是網(wǎng)絡(luò)空間安全的核心技術(shù)密碼技術(shù)）的深入學(xué)習(xí)具有重要的意義．本書(shū)是在南開(kāi)大學(xué)信息安全專業(yè)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程授課講義的基礎(chǔ)上整理而成的．全書(shū)分為4部分，共包括9章內(nèi)容：
第一部分：預(yù)備知識(shí)（第1章），介紹書(shū)中后續(xù)章節(jié)所涉及的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)，包括集合、關(guān)系、函數(shù)、映射與勢(shì)以及拓?fù)淇臻g等．第二部分：數(shù)論基礎(chǔ)（第2至5章），介紹數(shù)論的基本內(nèi)容，包括整除（整數(shù)的因子分解）、同余、原根與指數(shù)、二次剩余以及數(shù)論的應(yīng)用等內(nèi)容．第三部分：抽象代數(shù)基礎(chǔ)（第6至8章），分別介紹群、環(huán)、域的概念和知識(shí)，以及初等伽羅瓦理論和有限域理論．第四部分：橢圓曲線（第9章），介紹橢圓曲線的算術(shù)理論，包括仿射空間和射影空間、Weierstrass方程與橢圓曲線、橢圓曲線上的群結(jié)構(gòu)、有限域上的橢圓曲線和橢圓曲線上的離散對(duì)數(shù)等內(nèi)容．書(shū)中每節(jié)末都配有適量的習(xí)題，供學(xué)生在復(fù)習(xí)和鞏固書(shū)中所學(xué)內(nèi)容時(shí)使用．習(xí)題包括A、B兩組：A組主要用于鞏固學(xué)生在課堂上所學(xué)的內(nèi)容和知識(shí)，B組主要用于拓展學(xué)生的知識(shí)和技能．本書(shū)依據(jù)《高等學(xué)校信息安全專業(yè)指導(dǎo)性專業(yè)規(guī)范》（清華大學(xué)出版社，2014）中關(guān)于信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的相關(guān)教學(xué)要求選取內(nèi)容，并將編者多年積累的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)融入其中，力求知識(shí)系統(tǒng)化，能較好地覆蓋網(wǎng)絡(luò)空間安全領(lǐng)域所涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)．書(shū)中所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)都進(jìn)行了介紹，其中的數(shù)學(xué)結(jié)論都給出了詳細(xì)的證明；書(shū)中所配的習(xí)題著力于幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的內(nèi)容和拓展能力．本書(shū)適合高等學(xué)校信息安全、計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)和通信工程等專業(yè)本科生和研究生使用，也可供相關(guān)領(lǐng)域的科研人員和技術(shù)人員參考．本書(shū)由賈春福、鐘安鳴和楊駿編寫(xiě)．高敏芬老師、李瑞琪、梁爽、呂童童、田美琦、程曉陽(yáng)和鄭萬(wàn)通等參與了書(shū)稿的閱讀和校對(duì)．由于時(shí)間倉(cāng)促，書(shū)中難免有疏漏和不當(dāng)之處，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正．編者2016年10月于南開(kāi)園
南開(kāi)大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院教授，自2003年南開(kāi)大學(xué)信息安全專業(yè)創(chuàng)建以來(lái)，一致負(fù)責(zé)本專業(yè)的建設(shè)工作，并承擔(dān)了信息安全專業(yè)本科生《信息安全概論》和《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程的教學(xué)工作。2010年以來(lái)，編寫(xiě)教材1部；承擔(dān)完成教改項(xiàng)目5項(xiàng)，此外，還參與了教育部《信息安全類專業(yè)指導(dǎo)性專業(yè)規(guī)范》的編寫(xiě)工作。
目錄
前言
教學(xué)建議
第1章 預(yù)備知識(shí)1
1.1 集合1
1.2 關(guān)系8
1.3 函數(shù)17
1.4 映射和勢(shì)22
1.5 拓?fù)淇臻g25
第2章 整除31
2.1 整除與帶余除法31
2.2 最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法35
2.3 算術(shù)基本定理43
*2.4 完全數(shù)、梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)47
第3章 同余51
3.1 同余的概念和性質(zhì)51
3.2 剩余類和剩余系55
3.3 歐拉定理和費(fèi)馬小定理59
3.4 擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理64
3.5 線性同余方程68
3.6 中國(guó)剩余定理與同余方程組71
*3.7 高次同余方程81
第4章 原根與指數(shù)88
4.1 次數(shù)88
4.2 原根94
4.3 指數(shù)與高次剩余103
第5章 二次剩余109
5.1 二次剩余的概念和性質(zhì)109
5.2 勒讓德符號(hào)與二次互反律113
5.3 雅可比符號(hào)124
第6章 群129
6.1 群129
6.2 子群133
6.3 循環(huán)群136
6.4 置換群140
6.5 陪集與商群145
6.6 同態(tài)和同構(gòu)150
第7章 環(huán)156
7.1 環(huán)156
7.2 理想和商環(huán)162
7.3 幾類重要的環(huán)168
7.4 素理想和極大理想174
第8章 域178
8.1 域上的多項(xiàng)式178
8.2 域的代數(shù)擴(kuò)張183
8.3 分裂域與自同構(gòu)188
8.4 伽羅瓦理論初步194
8.5 有限域198
第9章 橢圓曲線203
9.1 仿射空間與射影空間203
*9.2 代數(shù)曲線210
9.3 Weierstrass方程與橢圓曲線214
9.4 橢圓曲線上的群結(jié)構(gòu)221
9.5 有限域上的橢圓曲線227
9.6 橢圓曲線上的離散對(duì)數(shù)232
索引234
參考文獻(xiàn)239
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