離散數學是一門數學課程，研究的是離散數學對象的結構與性質。相比而言，連續數學則研究連續數學對象的結構與性質。幾千年來，連續數學一直是數學的主流，相比而言，離散數學則顯得有些冷清。從上世紀中葉開始，這種情況發生了很大的改變。1946年，世界上第一臺存儲程序電子計算機問世，這標志著人類從此進入了信息社會。互聯網、大數據、云計算、物聯網、移動互聯網的普及，極大地提高了人們的工作效率、學習效率和生活質量，徹底改變了人們的工作方式、生活方式和思維方式。我們應該慶幸自己生活在最好的時代！在信息時代，人類的主要任務就是不斷地獲取、存儲、傳輸、處理和應用數據，數據的存儲格式和傳輸格式都是離散的，對數據的處理方法也是離散的，為了適應這種需求，需要有相應的數學基礎，離散數學就是在這種背景下發揚光大的。學習離散數學是學習信息科學各門課程的基礎，是從事信息科學研究的基礎，也是從事信息技術工作的基礎。離散數學有助于我們形成卓越的大局觀，正確、高效地地設計系統，設計算法，編寫程序。
目錄
第1章 數理邏輯 1
1.1 邏輯學概論 1
1.1.1 邏輯思維的基本規律 1
1.1.2 命題、推理和論證 4
1.1.3 邏輯學的歷史 6
習題 6
1.2 形式命題(1) 8
1.2.1 簡單命題 8
1.2.2 復合命題與連接詞 8
習題 12
1.3 命題公式 12
1.3.1 命題變元 13
1.3.2 命題公式的定義 13
1.3.3 永真式與永假式 16
習題 18
1.4 形式推理(1) 19
1.4.1 推理規則 19
1.4.2 對偶性 22
1.4.3 推理(1) 23
習題 28
1.5 命題范式 29
1.5.1 主析取范式 29
1.5.2 主合取范式 33
習題 36
1.6 形式命題(2) 37
1.6.1 謂詞 38
1.6.2 命題函數 39
1.6.3 量詞 40
習題 41
1.7 形式推理(2) 42
1.7.1 謂詞公式 42
1.7.2 推理規則 43
1.7.3 推理(2) 47
習題 48
本章小結 48
第2章 集合論 50
2.1 集合概論 50
2.1.1 集合及其表示 50
2.1.2 子集 53
2.1.3 冪集 54
習題 54
2.2 集合演算 54
2.2.1 集合運算 55
2.2.2 笛卡兒積 57
2.2.3 集合劃分 59
習題 60
2.3 函數 61
2.3.1 函數的定義 61
2.3.2 單射、滿射和雙射 63
2.3.3 函數的復合 64
2.3.4 函數的逆 65
習題 67
2.4 集合的大小 67
2.4.1 數與計數 67
2.4.2 集合的勢 68
2.5 二元關系 72
2.5.1 二元關系的定義 72
2.5.2 幾種典型的二元關系 75
2.5.3 二元關系的復合 76
2.5.4 二元關系的逆 77
習題 77
2.6 等價關系與商集 78
2.6.1 等價關系 78
2.6.2 商集 80
習題 81
2.7 偏序關系 81
2.7.1 偏序關系的定義 81
2.7.2 哈斯圖 83
2.7.3 極性元 85
2.7.4 偏序子集 86
習題 88
本章小結 88
第3章 抽象代數 89
3.1 代數學概論 89
3.1.1 初等代數簡介 89
3.1.2 高等代數簡介 89
3.1.3 抽象代數簡介 90
3.1.4 代數學與信息科學 90
3.2 群 93
3.2.1 代數系統 94
3.2.2 半群 95
3.2.3 獨異點 96
3.2.4 群的定義 97
3.2.5 交換群 101
習題 102
3.3 子群與陪集 103
3.3.1 子群 104
3.3.2 陪集 109
3.3.3 拉格朗日定理 112
習題 114
3.4 群的同構 115
3.4.1 群同構的定義 115
3.4.2 循環群 118
3.4.3 變換群 120
習題 122
3.5 置換群 122
習題 131
3.6 正規子群與商群 132
3.6.1 正規子群 132
3.6.2 商群 134
3.6.3 群的同態 136
習題 138
3.7 群的直積 139
習題 141
3.8 環 141
3.8.1 環的定義 142
3.8.2 子環 145
3.8.3 整環、除環和域 146
習題 149
3.9 理想與商環 149
3.9.1 理想 149
3.9.2 商環 153
習題 155
本章小結 155
第4章 圖論 157
4.1 圖論概論 157
4.1.1 網絡與圖 157
4.1.2 圖論的歷史 158
4.1.3 圖論與信息科學 160
4.2 圖 162
4.2.1 有向圖 163
4.2.2 無向圖 165
4.2.3 子圖 168
4.2.4 圖的同構 168
4.2.5 圖的表示 169
習題 171
4.3 圖的連通性 172
4.3.1 連通圖 172
4.3.2 圖的連通度 173
習題 178
4.4 樹 178
4.4.1 樹的定義 178
4.4.2 樹的特征 180
4.4.3 圖的生成樹 182
習題 183
4.5 平面圖 183
4.5.1 平面圖及其嵌入 183
4.5.2 歐拉公式 185
習題 186
4.6 圖的遍歷 186
4.6.1 歐拉圖 186
4.6.2 漢密爾頓圖 187
習題 190
本章小結 191
參考文獻 193
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