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本書為日本東京大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)成果的總結(jié)性作品，由時(shí)任東京大學(xué)理學(xué)院院長彌永昌吉教授策劃，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的齋藤正彥教授執(zhí)筆創(chuàng)作，是日本久負(fù)盛名的線性代數(shù)圖書。本書內(nèi)容結(jié)合了東京大學(xué)教養(yǎng)學(xué)部的線性代數(shù)課程實(shí)踐，以及東京大學(xué)數(shù)學(xué)系諸多教授的探討與思索。本書內(nèi)容循序漸進(jìn)，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，從直觀描述開始，逐步引入形式描述，注重從幾何角度引導(dǎo)讀者理解線性代數(shù)的本質(zhì)，是幫助讀者學(xué)習(xí)線性代數(shù)、加深對(duì)線性代數(shù)理解的數(shù)學(xué)教材。

本書適合高中生、大學(xué)生和對(duì)線性代數(shù)感興趣的讀者閱讀。

用幾何直觀描述呈現(xiàn)線性代數(shù)本質(zhì)，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系中傳遞線性代數(shù)應(yīng)用技巧

·日本長銷線性代數(shù)入門好書，東京大學(xué)出版會(huì)鎮(zhèn)社之寶

本書出版于1966年，在日本長銷至今，加印33次 銷量突破35萬冊(cè)，是東京大學(xué)出版會(huì)加印次數(shù)多的圖書。東京大學(xué)、京都大學(xué)、東京工業(yè)大學(xué)、東北大學(xué)等日本名校，將本書選為教科書或參考書。

·日本數(shù)學(xué)會(huì)出版獎(jiǎng) 獲獎(jiǎng)作品

本書因其對(duì)日本數(shù)學(xué)教育與科技發(fā)展的突出貢獻(xiàn)，于2006年獲得日本數(shù)學(xué)會(huì)出版獎(jiǎng)。

·融合日本東京大學(xué)線性代數(shù)教育研究與實(shí)踐成果

本書由時(shí)任東京大學(xué)理學(xué)院院長彌永昌吉教授策劃，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的齋藤正彥教授執(zhí)筆創(chuàng)作，結(jié)合了東京大學(xué)教養(yǎng)學(xué)部的線性代數(shù)課程實(shí)踐，以及東京大學(xué)數(shù)學(xué)系諸多教授的探討與思索，是日本久負(fù)盛名的線性代數(shù)名著。

·直觀與嚴(yán)密相結(jié)合，兼顧技術(shù)應(yīng)用導(dǎo)向

本書從直觀描述開始，逐步引入形式描述，注重從幾何角度引導(dǎo)讀者理解線性代數(shù)的本質(zhì)，能助讀者加深對(duì)線性代數(shù)的理解。

齋藤正彥（Masahiko Saito） 日本數(shù)學(xué)家，東京大學(xué)榮休教授。畢業(yè)于日本東京大學(xué)理學(xué)部數(shù)學(xué)系，獲法國巴黎大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位。在東京大學(xué)任職教授期間長年從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實(shí)踐，所著《線性代數(shù)入門》一書，因其對(duì)日本數(shù)學(xué)教育與科技發(fā)展的突出貢獻(xiàn)，于2006年獲得日本數(shù)學(xué)會(huì)出版獎(jiǎng)。另著有《超積與非標(biāo)準(zhǔn)分析》《線性代數(shù)練習(xí)》《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)集合、數(shù)、拓?fù)洹贰度赫撊腴T》《微積分學(xué)》《數(shù)的宇宙》《從日語到符號(hào)理論》等。

序

前言

第 1 章平面向量和空間向量 1

1.1 平面向量和空間向量 1

1.2 直線和平面 6

1.3 線性變換：平面上的旋轉(zhuǎn)與矩陣 12

1.4 三階矩陣和V 3 上的線性變換 17

1.5 行列式和向量積 20

習(xí)題 26

第 2 章矩陣 28

2.1 矩陣的定義和計(jì)算 28

2.2 方塊矩陣與可逆矩陣 37

2.3 矩陣與線性映射 40

2.4 矩陣的初等變換：秩 41

2.5 線性方程組 49

2.6 內(nèi)積與酉矩陣、正交矩陣 57

2.7 合同變換 61

習(xí)題 65

第3 章行列式 68

3.1 置換 68

3.2 行列式 71

3.3 行列式的展開 79

習(xí)題 84

第4 章線性空間 87

4.1 集合與映射 87

4.2 線性空間 90

4.3 基與維數(shù) 93

4.4 線性子空間 99

4.5 線性映射與線性變換 104

4.6 度量線性空間 110

習(xí)題 117

第5 章特征值和特征向量 121

5.1 特征值與特征根 121

5.2 酉空間的正規(guī)變換 129

5.3 實(shí)度量空間的對(duì)稱變換 138

5.4 二次型 141

5.5 二次曲線與二次曲面 146

5.6 正交變換與三維空間的旋轉(zhuǎn) 152

習(xí)題 157

第6 章不變因子和若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 160

6.1 不變因子 160

6.2 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 . 173

6.3 最小多項(xiàng)式 . 185

習(xí)題 189

第7 章向量和矩陣的解析處理 191

7.1 向量值函數(shù)和矩陣函數(shù)的微積分 191

7.2 矩陣的冪級(jí)數(shù) 195

7.3 非負(fù)矩陣 205

習(xí)題 210

附錄1 多項(xiàng)式 212

附錄2 歐幾里得幾何的公理 228

附錄3 群與域的公理 233

后記 240

習(xí)題答案 241