在本書中，我們將重點討論穩態Navier-Stokes方程的Liouville定理方面的內容，圍繞全空間上Leray問題這一公開問題展開討論，希望能促進此問題的推廣與深入研究，這涉及到Navier-Stokes方程解的分類問題，也跟經典Navier-Stokes方程的正則性緊密相關。首先，我們將回顧一些基本的數學工具和技術，包括Bogovskii映射，Stokes估計，衰減估計等；其次，我們將描述一些二維Navier-Stokes方程的進展，包括Liouville定理、解的衰減或分類估計；再次，對于三維方程，我們將描述其主要的進展，包括一些取決于速度、總壓力或勢函數的唯一性結果；最后，我們將從衰減估計或不同區域來討論它。
國家自然科學基金面上項目, "關于不可壓Navier-Stokes方程的若干問題"
目錄
前言
第1章 基礎知識 1
1.1 模型推導 1
1.1.1 Euler描述 1
1.1.2 Lagrangian描述.2
1.2 穩態 Stokes方程的基本解 8
1.2.1 Fourier變換法 8
1.2.2 構造法求三維基本解及其應用 10
1.3 點態收斂定理 15
1.4 Bogovskii映射 22
1.5 Stokes 估計 30
1.5.1 Stokes系統的內部估計 32
1.5.2 Stokes系統的全局估計 34
1.5.3 無壓力的Stokes估計 44
第2章 三維全空間 Liouville型定理 47
2.1 Galdi的消失性定理 47
2.1.1 局部Stokes流的基本解 47
2.1.2 局部Stokes流的解公式 49
2.1.3 速度收斂性的證明 50
2.2 結構方程 52
2.3 速度方程與Bogovskii映射定理 53
2.3.1 Galdi的*準則 53
2.3.2 Chae-Wolf的Log改進結果 55
2.3.3 排除*空間 58
2.3.4 進一步有趣的問題 64
2.4 利用總壓力的 Liouville 型定理 65
2.4.1 * 65
2.4.2 * 66
2.4.3 * 68
2.5 Seregin的準則 70
2.5.1 Chae-Wolf的改進 72
2.5.2 其他推廣 73
第3章 衰減估計 74
3.1 三維情形 74
3.2 二維Korobkov-Pileckas-Russo的結果 74
3.3 高維Jia-Sverak的結果 76
3.4 軸對稱Navier-Stokes的衰減估計 84
3.5 軸對稱Navier-Stokes的Liouville定理 86
3.5.1 無旋條件下的Liouville性質 87
3.5.2 速度衰減假設 91
3.5.3 速度分量的Liouville定理 93
3.5.4 渦量的Liouville定理 96
第4章 二維Navier-Stokes方程的Liouville定理 105
4.1 Gilbarg-Weinberger的系列定理 105
4.1.1 速度的增長估計 105
4.1.2 Liouville型定理 114
4.1.3 壓力的漸近行為 115
4.1.4 速度的平均收斂 121
4.1.5 渦量的衰減 125
4.1.6 速度一階導數的衰減 126
4.2 速度有界:Korobkov-Pileckas-Russo的結果 129
4.3 錐型域中解的分類 133
4.3.1 預備引理 136
4.3.2 定理4.9的證明 140
4.4 一般的q-能量下的Liouville定理 150
4.5 Fuchs-Zhong的問題 156
4.6 二維外域上的衰減估計 159
4.6.1 定理4.15的證明 160
4.6.2 定理4.16的證明 165
第5章 關于Liouville問題的其他主題介紹:周期、平板或其他模型 172
5.1 無窮遠處趨向非零向量的Liouville定理 172
5.2 平板上的Navier-Stokes方程的Liouville 定理.177
5.3 軸對稱Navier-Stokes方程在周期性區域上的 Liouville 定理 179
5.4 廣義Navier-Stokes方程的Liouville定理 181
5.5 二維MHD模型的Liouville定理 183
5.6 三維MHD或Hall-MHD模型的Liouville定理 185
參考文獻 187
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