《數值分析與計算方法》是為理工科高等院校普遍開設的“數值分析”與“計算方法”課程而編寫的參考教材，第二版共10章，全部教學內容大約需要120個學時，主要包括：數值計算的基本理論，插值問題，線性方程組的直接與迭代解法，方程求根，數據擬合與函數逼近，數值積分與數值微分，常微分方程初（邊）值問題，矩陣特征值與特征向量的冪法計算，線性規劃及其在矛盾方程組求近似解中的應用等內容，為了方便教師根據不同的學科背景與教學計劃靈活安排教學，全書采用模塊化方式組織教學內容，各個章節相對獨立，部分章節標題后面帶“*”表示該章節為選修內容。為了方便初學者及時掌握學習重點，每章后面附有適量習題；此外，為了提高初學者分析問題、解決問題的能力，提高其程序設計能力與綜合素質，本書在附錄中安排了10篇“上機實習課題”，以方便其上機計算練習。《BR》 全書秉承大學生綜合能力鍛煉與素質培養的核心理念，注重理論與實際相結合，在保持科學嚴謹的基礎上，內容闡述深入淺出，脈絡清晰，層次分明，方便讀者快速查閱與參考。
目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 緒論 1
1.1 計算機數值方法概述 1
1.1.1 數值計算方法的概念與任務 1
1.1.2 數值計算問題的解題過程與步驟 3
1.1.3 本課程的內容與數值算法的特點 4
1.2 誤差、有效數字與機器數系 6
1.2.1 誤差的概念與來源 6
1.2.2 有效數字與機器數系 7
1.2.3 舍入誤差的產生 11
1.3 誤差傳播與防范 12
1.3.1 誤差的傳播 13
1.3.2 防止“大數吃小數” 14
1.3.3 避免絕對值相近的數作減法 15
1.3.4 避免0或接近0的數作除數 16
1.3.5 避免絕對值很大的數作乘數 16
1.3.6 簡化計算公式，減少計算量 17
1.3.7 設計穩定的算法 17
1.3.8 精度丟失定理 19
習題1 20
第2章 插值法 22
2.1 插值問題 22
2.1.1 基本概念 22
2.1.2 插值多項式的存在唯一性 22
2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 23
2.2.1 Lagrange插值多項式 23
2.2.2 插值余項 25
2.3 差商與牛頓(Newton)插值 28
2.3.1 差商的定義和性質 28
2.3.2 Newton插值公式 30
2.4 差分與等距節點插值 33
2.4.1 差分及其性質 33
2.4.2 等距節點插值公式 34
2.5 埃爾米特(Hermite)插值 36
2.6 三次樣條插值 40
2.6.1 多項式插值的缺陷與分段插值 40
2.6.2 三次樣條插值函數 41
2.6.3 三次樣條插值函數的構造方法 42
2.6.4 兩點說明 48
習題2 49
第3章 線性方程組的直接解法 52
3.1 引言 52
3.2 Gauss消元法 53
3.2.1 三角形方程組的解法 53
3.2.2 預備知識 54
3.2.3 Gauss消元法 55
3.2.4 Gauss消元法的計算量 58
3.2.5 Gauss消元法的條件 59
3.2.6 列主元消元法 61
3.2.7 全主元消元法 63
3.3 Gauss-Jordan消元法與矩陣求逆 64
3.3.1 Gauss-Jordan消元法 64
3.3.2 用Gauss-Jordan消元法求逆矩陣 67
3.4 矩陣分解 69
3.4.1 Gauss消元法的矩陣解釋 69
3.4.2 Doolittle分解 71
3.4.3 方程組的求解舉例 75
3.4.4 正定陣的Doolittle分解 77
3.4.5 Cholesky分解與平方根法 79
3.4.6 LDLT分解與改進的平方根法 82
3.4.7 帶列主元的三角分解 83
3.5 追趕法 89
3.6 向量范數 93
3.6.1 向量范數定義 93
3.6.2 向量范數等價性與一致連續性 95
3.7 矩陣范數 98
3.7.1 方陣的范數 98
3.7.2 m×n階矩陣的范數 105
3.8 條件數與方程組的誤差分析 106
3.8.1 病態方程組與條件數 106
3.8.2 方程組的攝動分析 109
3.8.3 Gauss消元法的浮點誤差分析 112
3.8.4 方程組的病態檢測與改善 114
習題3 117
第4章 方程求根 120
4.1 方程根的存在、唯一性與有根區間 120
4.1.1 方程根的存在與唯一性 121
4.1.2 有根區間的確定方法 121
4.2 二分法 123
4.3 Picard迭代法與收斂性 126
4.3.1 Picard迭代格式的收斂性 128
4.3.2 Picard迭代法斂散性的幾何解釋 130
4.3.3 Picard迭代法的局部收斂性和誤差估計 132
4.3.4 Picard迭代的收斂速度與漸近誤差估計 135
4.4 Newton-Raphson迭代法 137
4.4.1 Newton-Raphson迭代法的構造 137
4.4.2 Newton法的大范圍收斂性 138
4.4.3 Newton法的局部收斂性 141
4.4.4 Newton法的改進 142
4.4.5 求非線性方程組的Newton法 143
4.5 割線法 144
4.6 代數方程求根 146
4.6.1 秦九韶算法 147
4.6.2 秦九韶算法在導數求值中的應用 148
4.6.3 代數方程的Newton法 149
4.6.4 劈因子法 150
4.7 加速方法 154
4.7.1 Aitken加速法 154
4.7.2 Steffensen迭代法 155
4.7.3 其他加速技巧 156
習題4 157
第5章 線性方程組的迭代解法 159
5.1 迭代法的構造 159
5.1.1 Jacobi迭代法的構造 160
5.1.2 Gauss-Seidel迭代法的構造 162
5.2 迭代法的收斂性 165
5.2.1 一階定常迭代法的收斂性 166
5.2.2 Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法收斂性的判定 171
5.2.3 迭代法的收斂速度 176
5.3 逐次超松弛迭代法(SOR方法) 176
5.3.1 SOR迭代的構造 177
5.3.2 SOR方法的收斂性 178
5.3.3 相容次序與最佳松弛因子的選擇 181
習題5 183
第6章 近似理論 185
6.1 矩陣的廣義逆 185
6.1.1 Moore-Penrose廣義逆 185
6.1.2 廣義逆的性質 188
6.2 方程組的最小二乘解 190
6.2.1 方程組的最小二乘解 190
6.2.2 方程組的極小最小二乘解 193
6.3 矩陣的正交分解與方程組的最小二乘解 195
6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法 195
6.3.2 矩陣正交分解在求極小最小二乘解中的應用 199
6.3.3 Householder變換 201
6.3.4 Householder變換在矩陣正交分解中的應用 203
6.4 矩陣的奇異值分解 208
6.5 數據擬合 214
6.6 正交多項式 218
6.6.1 正交多項式的概念與性質 218
6.6.2 Chebyshev多項式 220
6.6.3 Chebyshev正交多項式的應用 223
6.6.4 其他正交多項式 230
6.7 線性最小二乘問題 230
6.8 正交多項式在數據擬合中的應用 235
6.9 函數逼近 238
6.9.1 最佳平方逼近 240
6.9.2 最佳一致逼近 245
習題6 248
第7章 數值積分與數值微分 251
7.1 插值型數值積分公式 251
7.1.1 中矩形公式和梯形公式 251
7.1.2 插值型求積公式 253
7.1.3 求積公式的代數精確度 254
7.2 Newton-Cotes(牛頓-科茨)型求積公式 256
7.2.1 Newton-Cotes型求積公式的導出 256
7.2.2 幾種低階求積公式的余項 260
7.3 復化求積法 261
7.4 龍貝格(Romberg)算法 264
7.4.1 區間逐次二分法 264
7.4.2 復化求積公式的階 266
7.4.3 Romberg算法 266
7.5 Gauss(高斯)型求積公式 270
7.5.1 基本概念 270
7.5.2 Gauss點 271
7.5.3 Gauss-Legendre(高斯-勒讓德)公式 272
7.5.4 穩定性和收斂性 274
7.5.5 帶權 Gauss公式 275
7.6 數值微分 277
7.6.1 插值型求導公式 277
7.6.2 三次樣條插值求導 280
習題7 281
第8章 常微分方程數值解法 283
8.1 常微分方程初值問題 283
8.1.1 常微分方程(組)初值問題的提法與解的存在性 283
8.1.2 常微分方程的離散化 285
8.1.3 基本概念 286
8.1.4 Euler 顯式格式的幾何解釋 287
8.1.5 誤差與差分格式的階 288
8.2 Runge-Kutta(龍格-庫塔)法 291
8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想 291
8.2.2 四級四階Runge-Kutta法 293
8.2.3 步長的選取 294
8.3 單步法的收斂性和穩定性 296
8.3.1 收斂性的概念 296
8.3.2 Euler顯式格式的收斂性 297
8.3.3 一般單步法的收斂性 299
8.3.4 單步法的穩定性 302
8.4 線性多步法 304
8.4.1 Adams外推法 305
8.4.2 Adams內插法 307
8.4.3 Adams預報-校正格式 308
8.5 常微分方程組與邊值問題的數值解法 309
8.5.1 一階方程組 309
8.5.2 高階方程的初值問題 310
8.5.3 邊值問題的差分解法 310
習題8 312
第9章 矩陣特征值與特征向量的冪法計算 314
9.1 冪法 314
9.1.1 冪法 314
9.1.2 規范化冪法 319
9.2 冪法的加速與反冪法 321
9.2.1 原點平移法 321？
9.2.2 Rayleigh商加速法 323
9.2.3 反冪法 324
9.3 實對稱矩陣的Jacobi(雅可比)方法 326
9.3.1 預備知識 326
9.3.2 Givens平面旋轉變換與二階方陣的對角化 327
9.3.3 實對稱矩陣的Jacobi方法 328
9.3.4 Jacobi方法的收斂性 330
9.3.5 Jacobi過關法 331
9.4 QR方法 332
9.4.1 基本的QR方法 332
9.4.2 帶原點平移的QR方法 337
習題9 338
第10章 線性規劃 340
10.1 線性規劃問題與其對偶問題 340
10.1.1 線性規劃模型 340
10.1.2 對偶 345
10.2 線性規劃的基本定理 347
10.2.1 LP問題可行域 347
10.2.2 LP問題的解 349
10.2.3
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