張艷，北京建筑大學教授，碩士生導師，主要從事的教學、科研工作。承擔本科生課程：高等數學、概率論與數理統計、線性代數，研究生課程：矩陣論，漸近分析方法。科研主要方向為偏微分方程理論與應用。針對生物流體、高分子材料等非牛頓流體的流動傳熱現象，結合數學物理分析方法，用非線性偏微分方程描述流體的傳遞擴散本質，通過對方程解的分析，解釋化工、醫學、能源等領域流體力學熱點問題的本質。主持國家自然科學基金1項，北京市教委科技面上項目1項，北京市中青年骨干人才培養資助項目1項等10余項課題，發表論文60余篇，主編出版教材6部。北京市高校第五屆青年教師教學基本功比賽一等獎、*佳教案獎、*佳教學演示獎，北京市教育創新標兵，北京高校優秀共產黨員。“SCI”國際期刊“Discrete Dynamics in Nature and Society”、“International Journal of Heat and Mass Transfer”等審稿人。
第3章多維隨機變量及其分布第2章主要講述了隨機變量以及隨機變量的分布.但在實際應用中面對的情況經常是十分復雜的，除了需要研究一個隨機變量外，更多的情況要涉及兩個或兩個以上的隨機變量，這些隨機變量之間往往存在著一定的聯系，經常需要將它們作為一個整體來考察.因此，引入多維隨機變量（有時也稱為隨機向量）的概念，并對其分布加以研究很有必要.
本章主要介紹二維隨機變量及其聯合分布、邊緣分布、條件分布、獨立性等概念，并分別針對離散型二維隨機變量和連續型二維隨機變量進行深入探討，最后介紹幾種常用的兩個隨機變量的函數的分布.
3.1二維隨機變量〖*1〗一、 二維隨機變量及其分布函數一個隨機變量只能描述單個不確定結果，在研究實際問題時，隨機試驗中出現的變量常常是兩個或兩個以上，這需要在對每個隨機變量進行研究以外，還要對它們之間的關系加以關注，由此就引出了多維隨機變量的概念.
定義1設E是一個隨機試驗，它的樣本空間S={e}，設Xi=Xi(e)，i=1,2,…,n，是定義在S上的n個隨機變量，由它們構成的一個向量(X1,X2,…,Xn)叫做n維隨機向量或n維隨機變量（ndimensional random variable）.
特殊地，當n=2時，(X1,X2)構成一個二維隨機變量，通常記做(X,Y).本書圍繞二維隨機變量展開講解，三維及更高維的情況與此類似.
例如，向某個平面區域隨機打點，描述該點的位置，需要兩個隨機變量X(e),Y(e)分別表示該隨機點的橫、縱坐標，則該點的坐標(X,Y)就構成一個二維隨機變量.在研究某一地區成年男子身體狀況時，每位成年男子的身高X(e)和體重Y(e)就構成一個二維隨機變量(X,Y)；考察某一地區的氣候狀況時，該地區每天的日平均氣溫X(e)和日平均濕度Y(e)就構成一個二維隨機變量(X,Y).
注意: 必須是針對同一個樣本點e的X(e)和Y(e)，才能構成一個二維隨機變量.
對于二維隨機變量，仍然是通過分布函數、分布律和概率密度這三個工具來研究取值規律的.
與一維隨機變量類似，首先給出二維隨機變量的分布函數的定義.
定義2設(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數x，y，稱二元函數F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}（3.1.1）為二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數(joint distribution function).
類似的，可以有n維隨機變量分布函數的定義.
定義3n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)，對于任意實數x1,x2,…,xn，稱n元函數F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}（3.1.2）為隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數，或(X1,X2,…,Xn)的聯合分布函數.
下面以二維隨機變量為例，對分布函數加以深入研究. 如果把二維隨機變量(X,Y)看成是平面上隨機點的坐標，式（3.1.1）右端可以理解為隨機點落入平面區域D={(X,Y)|X≤x,Y≤y}的概率，即以點(x,y)為右上端點的無窮矩形區域內的概率.如圖31陰影部分所示.
由此可知，一旦給出了F(x,y)，就可以計算事件{x1圖32
其次，分布函數F(x,y)具有如下基本性質:
(1) 分布函數F(x,y)是關于x（或y）的單調不減函數，即對于任意固定的y，當x1(2) 0≤F(x,y)≤1，且F(－∞,－∞)=limx→－∞
y→－∞F(x,y)=0；
F(+∞,+∞)=limx→+∞
y→+∞F(x,y)=1；
對于任意固定的y，F(－∞,y)=limx→－∞F(x,y)=0；
對于任意固定的x，F(x,－∞)=limy→－∞F(x,y)=0.這四個式子，可以運用分布函數的幾何意義加以解釋.將圖31中無窮矩形的上邊界向下無限平移（即y→－∞），則“隨機點(X,Y)落在這個矩形內”趨于不可能事件，其概率趨于0，即F(x,－∞)=0.當上邊界、右邊界分別向上、向右無限平移，無窮矩形幾乎擴展到全平面，則“隨機點(X,Y)落在這個矩形內”趨于必然事件，其概率趨于1，即F(+∞,+∞)=1.
(3) F(x,y)關于x（或y）右連續，即
F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0)，x∈R,y∈R.
(4) 對任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1（2） 求P{0解（1） 由二維隨機變量分布函數的性質可知:F(+∞,+∞)=AB+π2C+π2=1；
y∈R,F(－∞,y)=AB－π2C+arctany3=0；
x∈R,F(x,－∞)=AB+arctanx3C－π2=0.由第一個等式可知A≠0，B+π2≠0，C+π2≠0.而第二個等式對于任意的實數y均成立，
第三個等式對于任意的實數x均成立，由此可知B=π2，C=π2.代入第一個等式可知A=1π2.即(X,Y)的分布函數為F(x,y)=1π2π2+arctanx2π2+arctany3.（2） 由性質(4)可知:P{0=1π2π2+π4π2+π2－1π2π2+0π2+π2
－1π2π2+π4π2+π4+1π2π2+0π2+π4
=116.與第2章中對一維隨機變量的研究一樣，二維隨機變量也主要研究離散型和連續型兩類隨機變量.二、 二維離散型隨機變量及其分布律
定義4如果二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限對或可列無限對，則稱(X,Y)是二維離散型的隨機變量.
如果二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能取值為(xi,yj)，i,j=1,2,…，則稱P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…（3.1.4）為二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律(joint distribution law).
與一維的情況類似，二維離散型隨機變量的分布律也可以用表格表示，如下表所示.X
Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2…yjp1jp2j…pij…
二維隨機變量(X,Y)具有如下性質:
(1) pij≥0，i,j=1,2,…；
(2) ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.
如果二維隨機變量(X,Y)的分布律如式（3.1.4）所示，則其分布函數為F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.（3.1.5）其中，∑xi≤x∑yj≤ypij表示對不大于x的xi和不大于y的yj所對應的pij求和.
例2設隨機變量X在1，2，3，4四個整數中等可能地取一個值，另一個隨機變量Y在1～X中等可能地取一個整數值，試求(X,Y)的分布律.
解由乘法公式可得pij=P{X=i,Y=j}.
當i當i≥j時，pij=P{Y=jX=i}·P{X=i}=1i×14.
于是(X,Y)的聯合分布律為X
Y12341141811211620181121160001121160000116
三、 二維連續型隨機變量及其聯合概率密度
定義5設F(x,y)是二維隨機變量(X,Y)的分布函數，如果存在非負函數f(x,y)，使得對任意實數x,y都有F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv，（3.1.6）則稱(X,Y)為二維連續型隨機變量，f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的概率密度，或X與Y的聯合概率密度(joint probability density).
二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列性質:
(1) f(x,y)≥0；
(2） ∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1；
(3) 若f(x,y)在點(x,y)處連續，則有2F(x,y)xy=f(x,y)；(4) 設D為xOy平面上任一區域，點(X,Y)落在D中的概率為P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.在空間解析幾何中，z=f(x,y)表示空間的一個曲面，由性質(2)可知，介于它和xOy平面之間的無限空間立體的體積為1；由性質(4)可知，點(X,Y)落在區域D中的概率等于以D為底，以z=f(x,y)為頂的曲頂柱體的體積.
與一維隨機變量的結論類似，當一個二元函數f(x,y)滿足性質(1)和性質(2)時，它一定是某個二維連續型隨機變量的概率密度.
例3設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=Ae－12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.求: （1） 常數A； （2） 分布函數F(x,y)； （3） P{X+Y≤2}.
解（1）由二維連續型隨機變量概率密度的性質(2)可知:∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=∫+∞0∫+∞0Ae－12(x+y)dxdy=1. 則A=14，故(X,Y)的概率密度為f(x,y)=14e－12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.（2） F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv
=14∫x0∫y0e－12(u+v)dudv,x≥0,y≥0,
0,其他
=(1－e－x2)(1－e－y2),x≥0,y≥0,
0,其他.
……
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