混沌系統的奇怪吸引子是由無數條周期軌道稠密覆蓋構成的，周期軌道是非線性動力系統中除不動點外*簡單的不變集，它不僅能夠體現混沌運動的所有特征，而且和系統振蕩的產生與變化密切相關，因此分析復雜系統的動力學行為時獲取周期軌道具有重要的意義。本書主要介紹了應用動力系統理論和變分法，探究了時空混沌系統KuramotoSivashinsky方程的混沌動力學性質，并詳細分析了方程的穩態解，計算出混沌系統相空間起組織作用的重要軌道，如周期軌道和連接軌道。
KS方程的混沌動力學著重介紹了利用動力系統理論和變分計算方法，仔細考察了經典的描述系統相位變化的KS方程，詳細分析了其穩態解，使我們對系統的斑圖動力學有了全面的認識，為類似復雜系統的研究提供了有力的新工具。
近年來隨著人類生產實踐和科學研究的不斷進步，涌現出了各種非線性、多尺度、復雜體系問題，例如原子分子電離問題、細胞周期調控問題等。此類問題的研究大大促進了非線性動力學的發展和它在各個學科中的應用。早期非線性動力學的研究對象，很多是從工程實踐中抽象出來的具有代表性的非線性方程。對它們的深入研究，揭示了分形、分岔以及混沌運動等一系列非線性系統獨有的現象，發展出了多種成功的方法及理論來刻畫和分析這些系統。
非線性空間延展體系廣泛存在于自然界和工程實踐中，其動力學演化極其復雜難解，是科學家們長期關注的重要問題。本書將著重介紹利用動力系統理論和變分計算方法，仔細考察經典的描述系統相位變化的KuramotoSivashinsky（KS）方程，詳細分析其穩態解。取得的研究結果使我們對系統的斑圖動力學有了更全面的認識，這種分析方法為類似復雜系統的研究提供了有力的新工具。
本書主要包括4部分內容。第1部分包括第1～3章。第1章簡要介紹了動力系統的發展史。第2章介紹了可以應用于時空延展動力系統的周期軌道理論，該理論用周期軌道的展開來計算物理量的平均值。第3章詳細介紹了一種用來尋找高維流不穩定周期軌道的強有力方法變分法。并將該方法應用到了交叉電磁場條件下的里德伯原子系統中，通過研究電磁場參數變化時周期軌道的演變，發現核外電子被電離后存在著小概率的電離回歸現象。此外還以勒斯勒（Rssler）方程周期軌道的計算為例，說明如何有效建立符號動力學來實現軌道的系統搜尋。
第2部分是第4章。本章應用變分法研究KS方程，以兩條最簡單的周期軌道作為組成單元，成功建立了一維符號動力學，系統地找到了該方程在弱湍流時一定拓撲長度內的所有短周期軌道。結果表明： 軌道拓撲的分類方式為今后研究如何剖分高維相空間或者流體系統時提供了一種可借鑒的重要方法。
第3部分是第5章。本章研究了靜態KS方程的不穩定周期軌道，對所有找到的短周期軌道按照拓撲的方式進行歸類。首先闡明了不動點在動力系統中起到的組織作用，然后通過選取靜態KS方程中的四條基本周期軌道作為組成單元，建立了符號動力學來尋找更長的不穩定周期軌道。此外，研究了這些短周期軌道在選取的一個龐加萊截面上的動力學性質，利用多尺度平均微擾方法分析小積分常數值時，系統相空間不動點和各類軌道的分布情況。最后還進一步研究了動力系統在何時發生各種分岔現象。
第4部分包括第6章和第7章。第6章介紹了一種尋找非線性動力系統中連接軌道的理論方法，基于該方法計算了靜態KS方程對稱的螺旋型異宿軌道。第7章作了總結以及對將來可能的研究方向進行展望。書中的絕大部分內容是作者近年來研究成果的總結，本書的目的是將這些最新的研究成果作一個初步的總結奉獻給讀者，希望能夠推動對KS方程的更進一步深入研究。
作者感謝國家自然科學基金委和中北大學物理學科建設經費的資金支持。作者在從事研究和本書的撰寫過程中得到了中北大學物理學科部同事的大力支持和幫助，在此表示衷心的感謝。同時，深深地感謝家人長期以來對我工作的關心、支持和幫助。
鑒于作者水平有限，且成書時間倉促，錯誤之處在所難免，衷心地歡迎讀者批評指正。
第1章引言1
1.1動力系統概述1
1.2周期軌道概述3
第2章周期軌道理論簡介7
2.1時間平均和空間平均7
2.1.1測度7
2.1.2演化算符11
2.2跡公式13
2.2.1離散和連續情況下的跡公式13
2.2.2跡公式的漸近形式16
2.3譜行列式和動力學函數17
2.3.1離散和連續情況下的譜行列式17
2.3.2動力學函數18
2.3.3譜行列式與函數的關系19
2.4周期軌道展開20
2.4.1曲率修正20
2.4.2構建軌道展開22
2.4.3動力學平均值的表達式23
2.5周期軌道理論面臨的問題24
第3章變分法計算周期軌道25
3.1幾種數值尋找周期軌道的方法25
3.1.1逆迭代法25
3.1.2牛頓法26
3.1.3多點打靶法26
3.2變分法28
3.2.1圈演化的變分方程29
3.2.2牛頓下降法的拓展34
3.2.3變分法的數值計算過程35
3.2.4初始化和對稱性37
3.3交叉電磁場條件下里德伯原子電離回歸現象39
3.3.1背景介紹39
3.3.2里德伯原子的周期軌道42
3.3.3電子電離后的回歸現象49
3.3.4總結53
3.4勒斯勒方程的周期軌道53
3.4.1背景介紹54
3.4.2勒斯勒方程的動力學性質55
3.4.3一維符號動力學的建立59
3.5小結與討論66
第4章KuramotoSivashinsky方程的周期軌道68
4.1背景介紹68
4.2KuramotoSivashinsky方程簡介69
4.3拓撲的方式分類KS方程的周期軌道71
4.3.1傅里葉模截斷71
4.3.2龐加萊截面73
4.3.3KS方程周期軌道的數值計算77
4.4小結與討論83
第5章靜態KuramotoSivashinsky方程的周期軌道84
5.1背景介紹84
5.2尋找L＝43.5時KS方程的重要不動點87
5.3固定積分常值時靜態KS方程的周期軌道100
5.3.1初始化100
5.3.2拓撲的方式建立符號動力學分類周期軌道100
5.3.3龐加萊截面上的動力學114
5.4基本軌道的分岔情況117
5.5小結與討論126
第6章靜態KuramotoSivashinsky方程的連接軌道128
6.1背景介紹128
6.2理論方法130
6.2.1方案一： 弧長參數化法130
6.2.2方案二： 移動網格技術132
6.2.3邊界和規范條件132
6.2.4變分法的拓展134
6.3一些例子136
6.3.1洛倫茲方程136
6.3.2KS方程137
6.3.3靜態KS方程138
6.4小結與討論141
第7章總結和展望143
7.1總結143
7.2展望144
參考文獻146全書彩圖二維碼158
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