《高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))》根據(jù)高等學(xué)校工科類專業(yè)本科生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求，以高等教育應(yīng)用型本科人才培養(yǎng)計(jì)劃為標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合全國教育科學(xué)規(guī)劃課題《大學(xué)數(shù)學(xué)與高中新課程標(biāo)準(zhǔn)相銜接的教學(xué)模式研究與實(shí)踐》（DIA０９０１９９）的研究成果，在充分吸收編者們多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上編寫而成．《高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))》分上、下兩冊(cè)．上冊(cè)共５章，主要內(nèi)容包括：函數(shù)極限與連續(xù)、一元函數(shù)的微分學(xué)、一元函數(shù)的積分學(xué)、常微分方程等內(nèi)容，并介紹了MATLAB軟件在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用．各章節(jié)后配有習(xí)題，每章后配有復(fù)習(xí)題（包括犃基本題和犅拓展題）．
《高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))》可作高等院校尤其是應(yīng)用型本科院校理工科本科專業(yè)的教材，也可以作其他各類院校大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教材或教學(xué)參考書．
第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1
1.1函數(shù)1
1.1.1集合、區(qū)間與鄰域1
1.1.2函數(shù)概念3
1.1.3初等函數(shù)14
1.1.4建立函數(shù)關(guān)系舉例14
習(xí)題1.1 16
1.2數(shù)列的極限19
1.2.1數(shù)列極限的定義19
1.2.2收斂數(shù)列的性質(zhì)22
1.2.3數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則23
1.2.4數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則24
習(xí)題1.2 25
1.3函數(shù)的極限30
1.3.1函數(shù)極限的定義30
1.3.2函數(shù)極限的性質(zhì)33
習(xí)題1.3 35
1.4無窮小與無窮大36
1.4.1無窮小36
1.4.2無窮大37
習(xí)題1.4 38
1.5極限運(yùn)算法則38
1.5.1極限的四則運(yùn)算法則38
1.5.2復(fù)合函數(shù)的極限41
習(xí)題1.541
1.6兩個(gè)重要極限42
1.6.1函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)42
1.6.2兩個(gè)重要極限42
習(xí)題1.647
1.7無窮小的比較47
習(xí)題1.749
1.8函數(shù)的連續(xù)性50
1.8.1連續(xù)函數(shù)的概念50
1.8.2間斷起及其分類51
1.8.3連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算53
1.8.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)54
習(xí)題1.8 56
本章小結(jié)57
總習(xí)題158
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分61
2.1導(dǎo)數(shù)概念61
2.1.1問題的引、61
2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義62
2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義65
2.1.4求導(dǎo)舉例65
習(xí)題2.168
2.2求導(dǎo)法則68
2.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則69
2.2.2反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)70
2.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)71
2.2.4初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)72
習(xí)題2.273
2.3高階導(dǎo)數(shù)74
2.3.1高階導(dǎo)數(shù)的定義及表示74
2.3.2高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算75
2.3.3高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則76
習(xí)題2.377
2.4隱函數(shù)及參數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)77
2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)77
2.4.2對(duì)數(shù)求導(dǎo)法79
2.4.3參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)80
2.4.4相關(guān)變化率82
習(xí)題2.482
2.5函數(shù)的微分及其應(yīng)用83
2.5.1微分的概念83
2.5.2微分的幾何意義85
2.5.3微分公式與微分運(yùn)算法則85
2.5.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用87
2.5.5微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用88
習(xí)題2.589
2.6微分中值定理90
2.6.1費(fèi)馬(Fermat)定理90
2.6.2夕((Rooe)定理91
2.6.3拉格朗日(Lagrange)中值定理92
2.6.4柯西(Cauchy)中值定理95
2.6.5泰勒(TayoRr)公式96
習(xí)題2.699
2.7洛必達(dá)法則99
2.7.1洛必達(dá)法則100
2.7.2其他類型的未定式102
習(xí)題2.7 103
2.8導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用104
2.8.1函數(shù)羊調(diào)性判定法104
2.8.2曲線的凹凸性及其判別法105
2.8.3函數(shù)的極值及其求法107
2.8.4函數(shù)的最值及其求法110
2.8.5曲線的漸近線及其圖形的描繪112
2.8.6函數(shù)圖形的描繪113
習(xí)題2.8115
2.9曲率115
2.9.1弧微分116
2.9.2曲率及其計(jì)算公式117
2.9.3曲率圓與曲率半徑119
習(xí)題2.9120
本章小結(jié)120
總習(xí)題2122
第3章 不定積分124
3.1不定積分的概念和運(yùn)算法則124
3.1.1問題的引入124
3.1.2京函數(shù)124
3.1.3不定積分125
3.1.4不定積分的運(yùn)算法則126
3.1.5不定積分的基本公式127
習(xí)題3.1 128
3.2換元積分法129
3.2.1第一換元積分法("湊"微分法)129
3.2.2第二換元積分法(變量代換法)134
習(xí)題3.2 138
3.3分部積分法138
習(xí)題3.3 141
3.4有理函數(shù)的積分141
3.4.1有理函數(shù)141
3.4.2有理函數(shù)的積分142
習(xí)題3.4 146
3.5積分表的使用146
3.5.1直接查表146
3.5.2間接查表146
本章小結(jié)147
總習(xí)題3147
第4章 定積分149
4.1定積分的概念149
4.1.1入定積分概念的實(shí)例149
4.1.2定積分定義150
4.1.3可積函數(shù)類151
習(xí)題4.1152
4.2定積分的性質(zhì)和基本定理152
4.2.1定積分的基本性質(zhì)152
4.2.2微積分學(xué)基本定理154
4.2.3變上限的定積分154
4.2.4牛頓-菜布尼茨公式156
習(xí)題4.2158
4.3定積分的計(jì)算方法159
4.3.1定積分換元法159
4.3.2定積分分部積分法162
習(xí)題4.3164
4.4廣義積分165
4.4.1無窮區(qū)間的廣義積分165
4.4.2無界函數(shù)的廣義積分166
習(xí)題4.4169
4.5定積分的應(yīng)用169
4.5.1微元法169
4.5.2平面圖形的面積171
4.5.3立體的體積174
4.5.4平面曲線的弧長177
4.5.5定積分在實(shí)際中的應(yīng)用178
習(xí)題4.5181本章小結(jié)184總習(xí)題4184
第5章 常微分方程188
5.1常微分方程的基本概念188
5.1.1問題的引入一一一馬爾薩斯(Maothus)人口模型188
5.1.2一些基本概念189
習(xí)題5.1190
5.2可分離變量的微分方程191
5.2.1可分離變量的微分方程191
5.2.2齊次方程192
習(xí)題5.2193
5.3階線性微分方程194
5.3.1一階線性微分方程194
關(guān)5.3.2伯努利(BernRuooi)方程196
習(xí)題5.3197
5.4可降階的微分方程198
5.4.1y(η)=f(工)型的微分方程198
5.4.2y=f(工，y)型的微分方程(不顯含y的二階微分方程)198
5.4.3y=f(y，y)型的微分方程(不顯含工的二階微分方程)200
習(xí)題5.4201
5.5二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)201
習(xí)題5.5203
5.6二階常系數(shù)線性微分方程的解法203
5.6.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法203
5.6.2二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法206
習(xí)題5.621
本章小結(jié)212
總習(xí)題5213
部分習(xí)題參考答案216
參考文獻(xiàn)231
附錄AMATLAB實(shí)驗(yàn)(上)232
A1MATLAB簡介232
A1.1MATLAB文件菜單簡介233
A1.2MATLAB中的常用運(yùn)算符和函數(shù)233
A1.3M文件與M函數(shù)235
A2曲線繪圖的MATLAB命令236
A3求極限的MATLAB命令239
A4求一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的MATLAB命令240
A4.1MATLAB中主要用diff命令求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)240
A4.2MATLAB中主要用rRRts，fzerR，fminbnd命令解決導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用240
A5求積分的MATLAB命令243
A6微分方程求解的MATLAB命令244
附錄B不定積分表245
附錄C希臘字母表253
第1章函數(shù)、極限與連續(xù)
函數(shù)在自然科學(xué)、x程技術(shù)以及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用，極限則是研究函數(shù)的一種最基本的方法，本章著重介紹函數(shù)、極限與函數(shù)的連續(xù)性等高等數(shù)學(xué)中最基本的概念以及它們的一些性質(zhì)，這些內(nèi)容都是學(xué)習(xí)本課程必需的基本知識(shí)。
1.1函數(shù)
1.1.1集合、區(qū)間與鄰域
1.集合概念集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)不加定義的基本概念，它是指某些指定的對(duì)象的總體，集合中的每個(gè)對(duì)象稱為這個(gè)集合的元素.一般我們用大寫英文字母A，B，C，…表示集合，用小寫英文字母α，b，c，…表示元素。如果α是集合A的元素，就稱α屬于集合A，記作αεA;如果α不是集合A的元素，就說α不屬于集合A，記作α哇A。
含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集。
1)集合的表示方法
常用的有列舉法和描述法。
(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來的方法，由有限個(gè)元素組成的集合，可用列舉其全體元素的方法來表示。
例如，由元素α1，α2，…，αη組成的集合A，可記作A={α1，α2，…，αη}。
(2)描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合，由無窮多個(gè)元素組成的集合，可以用描述法來表示
設(shè)M是具有某種特征的元素x的全體所組成的集合，就記作M={xix所具有的特征。
一些常用的數(shù)集及其記法：全體自然數(shù)(或非負(fù)整數(shù))的集合記作N;全體正整數(shù)集記作
N十，或N十;全體整數(shù)集記作Z，正整數(shù)集有時(shí)也記作Z十;全體有理數(shù)集記作Q;全體實(shí)數(shù)集記作R。
2)集合的基本關(guān)系
在集合之間，存在著"包含"與"相等"的關(guān)系。
對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即若xεA，則xεB，我們就稱集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作ACB或B二A，這時(shí)也稱集合A是集合B的子集。例如，NCZ，ZCQ，QCR。
由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：
(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即ACA;
(2)對(duì)于集合A，B，C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。
若ACB且BCA，就稱A與B相等，記作A=B。
對(duì)于兩個(gè)集合A與B，若ACB，但A手B，我們就說集合A是集合B的真子集，記作A主B，簡記ACB。
另外，我們規(guī)定，不含任何元素的集合稱為空集，記作隊(duì)，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。
3)集合的基本運(yùn)算
集合的基本運(yùn)算有以下幾種：并，交，補(bǔ)，直積。
(1)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集，簡稱并，記作AUB，即
AUB={xixεA，或xεB}，在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次，(2)交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集，簡稱交，記作A門B，即
(3)全集與補(bǔ)集：
A門B={xixεA，且xεB}，
①全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U。
②補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。即CUA={xixεU，且x哇A}。(4)直積(笛卡兒乘積)：設(shè)A，B是任意兩個(gè)集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x，在集合B中任意取一個(gè)元素y，組成一個(gè)有序?qū)?x，y)，把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略兀鼈內(nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記為AXB，即AXB={(x，y)ixεA且yεB}。
例如，RXR={(x，y)ixεR且yεR}即為x。y面上全體點(diǎn)的集合，RXR常記作R2。
2.區(qū)間與鄰域
1)區(qū)間
研究函數(shù)時(shí)常會(huì)用到區(qū)間的概念，區(qū)間是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集。
設(shè)α和b都是實(shí)數(shù)，且α
閉區(qū)間：[α，bJ={xα
半開半閉區(qū)間：(α，bJ={xα
這里實(shí)數(shù)α，b都稱為相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)。
上述這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間，數(shù)b-α稱為這些區(qū)間的長度。
此外，還有無窮區(qū)間，引人記號(hào)十∞(讀作正無窮大)及記號(hào)-∞(讀作負(fù)無窮大)，則有無窮區(qū)間：
[α，十∞)={xα
2)鄰域
(α，十∞)={xiα
鄰域是高等數(shù)學(xué)中最常用的概念之一，大家務(wù)必了解。
設(shè)8是一任意正數(shù)，以點(diǎn)α為中心的對(duì)稱開區(qū)間(α-8，α十8)稱為點(diǎn)α的8鄰域，記作U(α，8)，即
U(α，8)=(α-8，α十8)={xα-8
其中點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，8稱為此鄰域的半徑。
從數(shù)軸上看，U(α，8)表示與點(diǎn)α的距離小于8的一切點(diǎn)x的全體，在不要求說明鄰域半徑的情況下，以點(diǎn)α為中心的鄰域也可簡記為U(α)。
另外，不包含中心點(diǎn)α的數(shù)集{x0
U(α，8)={xα-8
從數(shù)軸上看，U(α，8)表示與點(diǎn)α的距離小于8且除去點(diǎn)α的一切點(diǎn)x的全體，在不要求說明鄰域半徑的情況下，去心鄰域也可簡記為U(α)。
為了方便，有時(shí)把開區(qū)間(α-8，α)稱為α的左鄰域，把開區(qū)間(α，α十8)稱為α的右鄰域。
1.1.2函數(shù)概念
1.函數(shù)的定義
定義1.1.1(函數(shù)的定義)設(shè)D是非空數(shù)集，若存在對(duì)應(yīng)法則f，使得對(duì)于D中任意數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)法則f，都有唯一的一個(gè)yεR與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在D上的函數(shù)，也稱單值函數(shù)，記作y=f(x)?x稱為口變量，y稱為因變量。數(shù)集D稱為函數(shù)f的定義域，函數(shù)值的集合f(D)={f(x)xεD}稱為函數(shù)f的值域，
由函數(shù)的定義可知，確定函數(shù)的兩個(gè)要素：(1)函數(shù)的定義域;(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則。兩個(gè)函數(shù)是否相同，取決于這兩個(gè)要素是否相同。
如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按照這個(gè)法則，對(duì)每一個(gè)xεD，總有確定的y值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè)y不總是唯一的，習(xí)慣上我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù)。
例如，變量x與y的對(duì)應(yīng)法則由方程x2十y2=1給出，則有y=士槡1-x2，即對(duì)應(yīng)某個(gè)x的值有兩個(gè)不同的y值與之對(duì)應(yīng)。
多值函數(shù)如果給出一些限制條件，則可以得到單值函數(shù)，例如方程x2十y2=1中，如果規(guī)定y=0，則得到一個(gè)單值函數(shù)y=槡1-x2。
在高等數(shù)學(xué)中，我們約定只討論單值函數(shù)。
對(duì)應(yīng)法則f實(shí)際上就是一個(gè)運(yùn)算規(guī)則，可以將函數(shù)想象為一個(gè)機(jī)器，這將有助于理解函數(shù)一概念，如果x在f的定義域中，則當(dāng)x進(jìn)人這個(gè)機(jī)器，x可以被看作一個(gè)輸人，機(jī)器則通過函數(shù)的規(guī)則產(chǎn)生一個(gè)輸出f(x)(圖1.1)，因此，我們可以把定義域看作所有輸人的集合，把值域看作所有輸出的集合。
計(jì)算器里面預(yù)置程序的函數(shù)，是借助機(jī)器理解函數(shù)很好的例子。例如，當(dāng)你按下標(biāo)有"槡"的鍵時(shí)，如果輸人-4則無法輸出，因?yàn)?4不在定義域內(nèi)，如果輸人4，則輸出2。
對(duì)于一個(gè)函數(shù)，在沒有明確指出其定義域時(shí)，就認(rèn)為函數(shù)的定義域是使得此函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)x的集合?而對(duì)于具有實(shí)際意義的函數(shù)，它的定義域要受實(shí)際意義的約束?
2.函數(shù)的表示方法
1)解析法
用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法稱為解析法，也叫公式法。例如，圓的面積公式A=πγ2就是函數(shù)的解析式，其中γ是圓的半徑。
解析法表示的函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是便于研究函數(shù)的性質(zhì)，便于理論推導(dǎo)和計(jì)算，但在實(shí)際問題中一般很難找到它的比較精確的函數(shù)解析式。
2)表格法
將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例如某公司經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到某商品廣告費(fèi)與銷售額之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如表1.1所示。
表格法的優(yōu)點(diǎn)是所求的函數(shù)值容易查得，但無法從總體上確定函數(shù)的性質(zhì)。
3)圖象法
用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖象法，一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量，圖象法的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，且可以看到函數(shù)的變化趨勢(shì)。
函數(shù)的以上表示方法在具體使用時(shí)應(yīng)以解析法為主，其他兩種方法結(jié)合使用。
下面舉幾個(gè)函數(shù)的例子：
例1.1.1求函數(shù)f(x)=1的定義域。
解由x2-x-2>0得x<-1，x>2，即{xix<-1，x>2}。
例1.1.2下列各對(duì)函數(shù)是否相同?為什么?
(1)f(x)=x，g(x)= x2：(2)f(x)=21nx，g(x)=1nx2：(3)f(x)=sinx，g(u)=sinu。
解(1)不同，因?yàn)橹涤虿煌?/span>
(2)不同，因?yàn)槎x域不同。
(3)相同，因?yàn)槎x域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同。
3.分段函數(shù)
有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子來表示。這種在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子表示的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)。
例1.1.3函數(shù)，這是一個(gè)分段函數(shù)，如圖1.2所示，其定義域?yàn)?/span>
D=[0，1]U(1，十∞)=[0，十∞)，當(dāng)01時(shí)，y=1+x。
例如，
例1.1.4函數(shù)y=x=-
函數(shù)也稱為絕對(duì)值函數(shù)，如圖1.3所示的定義域?yàn)?-∞，十∞)，值域?yàn)閇0，十∞)，這個(gè)
例1.1.5設(shè)x為任意實(shí)數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)。例如，[2，5]=2，[3，d]=3，[0]=0，[-3，1]=-4，我們把函數(shù)y=[x]，稱為取整函數(shù)，定義域?yàn)镽，它的圖形如圖1.4所示。
例1.1.6函數(shù)y=sgnx=-<0，x=0，稱為符號(hào)函數(shù)，其定義域?yàn)?-∞，十∞)，值域?yàn)閧-1，0，1}，其圖形如圖1.5所示。
4.函數(shù)的四種特性
1)函數(shù)的單調(diào)性
定義1.1.2{函數(shù)的單調(diào)性)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ICD，若對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1
例如，函數(shù)y=x2在區(qū)間[0，十∞)上單調(diào)增加，在區(qū)間(-∞，0]上單調(diào)減少;函數(shù)y=x3在R上單調(diào)增加。
又如，指數(shù)函數(shù)y=αx(α是常數(shù)且α>0，α=1)，它的定義域是(-∞，十∞)，當(dāng)α>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=αx是單調(diào)增加的;當(dāng)0<α<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=αx是單調(diào)減少的。
再例如對(duì)數(shù)函數(shù)y=10gαx(α是常數(shù)且α>0，α=1)，它的定義域是(0，十∞)，當(dāng)α>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=10gαx是單調(diào)增加的;當(dāng)0<α<1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=10gαx是單調(diào)減少的。
2)函數(shù)的奇偶性
定義1.1.3{函數(shù)的奇偶性)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意xεD，有-xεD，且f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))，則稱函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(偶函數(shù))。
例如，函數(shù)f(x)=sinx在其定義域中的任何對(duì)稱區(qū)間上都是奇函數(shù)，而函數(shù)f(x)=c0sx在其定義域中的任何對(duì)稱區(qū)間上都是偶函數(shù)。
又如，雙曲正弦函數(shù)y=f(x)=為奇函數(shù)，如圖1.6所示，定義域是R，雙曲余弦函數(shù)：y=f(x)=數(shù)，如圖1.7所示，定義域是R，為偶函2再如，雙曲正切函數(shù)y==也是奇函數(shù)，如圖1.8所示。
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