本書是河南省數學教學指導委員會推薦用書。根據一般本科類院校高等數學教學大綱的基本要求, 結合作者多年來實踐教學經驗和研究心得編寫而成。內容包括極限與函數、一元函數微分學及其應用、一元函數積分學及其應用、代數與幾何初步、常微分方程、多元函數微分學及其應用、多元函數積分學及其應用、無窮級數及其應用、數學實踐與建模等9部分。
《高等數學》可作為高等院校非數學專業理工類、經濟管理類、醫藥類、農林類等專業的高等數學課程教材, 也可供自學者閱讀和有關人員參考.
前言
第 1 章 函數與極限 1
1.1 函數 1
1.1.1 變量的變化范圍 1
1.1.2 函數的定義 2
1.1.3 幾類特殊的函數 4
1.2 函數的極限 12
1.2.1 數列的極限 12
1.2.2 函數的極限 20
1.2.3 函數極限的性質及其運算法則 23
1.3 無窮大量與無窮小量 31
1.3.1 無窮大量與無窮小量的定義 31
1.3.2 無窮小量之間的比較 32
1.4 連續函數 35
1.4.1 連續函數的定義 35
1.4.2 連續函數的性質 36
1.4.3 函數間斷點的分類 38
1.5 思考與拓展 41
復習題 1 46
第 2 章 一元函數微分學及其應用 49
2.1 函數的導數 49
2.1.1 實例 49
2.1.2 導數的定義 50
2.1.3 基本初等函數的導數 53
2.1.4 高階導數 55
2.2 求導的基本方法 57
2.2.1 導數的四則運算法則 57
2.2.2 四類特殊函數的求導法則 59
2.2.3 對數求導法與指數求導法 64
2.3 函數的微分 66
2.3.1 微分的定義 66
2.3.2 線性近似 69
2.4 微分中值定理 70
2.4.1 Rolle 中值定理 70
2.4.2 Lagrange 中值定理 72
2.4.3 Cauchy 中值定理 75
2.4.4 Taylor 公式 76
2.5 未定式極限 82
2.5.1 00型和 11型 82
2.5.2 其他未定式極限 84
2.6 函數性態的研究 87
2.6.1 函數的單調性 87
2.6.2 函數的極值 90
2.6.3 函數的凸性與漸近線 93
2.6.4 弧微分與曲線的曲率 96
2.7 思考與拓展 100
復習題 2 109
第 3 章 一元函數積分學及其應用 112
3.1 定積分的概念及性質 112
3.1.1 實例 112
3.1.2 定積分的定義 113
3.1.3 定積分的性質 116
3.2 不定積分與微積分基本定理 120
3.2.1 原函數與不定積分 120
3.2.2 微積分基本定理 123
3.3 不定積分的積分方法 127
3.3.1 換元積分法 127
3.3.2 分部積分法 129
3.3.3 四類特殊函數的不定積分 131
3.3.4 定積分的計算 137
3.4 廣義積分 142
3.4.1 無限區間上的廣義積分 142
3.4.2 有限區間上無界函數的廣義積分 143
3.4.3 廣義積分的斂散判定法 146
3.4.4 . 函數 147
3.5 定積分的應用 149
3.5.1 微元法 149
3.5.2 幾何上的應用 150
3.5.3 物理上的應用 155
3.5.4 積分不等式 158
3.6 思考與拓展 167
復習題 3 172
第 4 章 常微分方程 175
4.1 常微分方程的基本概念 175
4.1.1 實例 175
4.1.2 基本概念 176
4.2 一階常微分方程 178
4.2.1 可分離變量方程 178
4.2.2 齊次方程 179
4.2.3 一階線性微分方程 182
4.2.4 Bernoulli 方程 184
4.3 高階微分方程 186
4.3.1 可降階的高階常微分方程 186
4.3.2 n 階線性常微分方程 188
4.3.3 Euler 方程 190
4.4 二階常系數非齊次常微分方程 192
4.4.1 二階齊次常系數微分方程 192
4.4.2 f(x) = Pm(x)e.x 型 193
4.4.3 f(x) = e.x(Ps(x)cos!x + Qt(x)sin!x) 型 194
4.5 微分方程應用 196
4.5.1 幾何上的應用 197
4.5.2 物理上的應用 198
4.6 思考與拓展 201
復習題 4 203
第 5 章 向量代數與解析幾何 206
5.1 向量代數 206
5.1.1 向量的概念 206
5.1.2 向量的線性運算 207
5.1.3 向量線性運算的坐標表示 208
5.1.4 向量的方向余弦與向量的投影 209
5.2 向量的數量積、向量積與混合積 211
5.2.1 向量的數量積 211
5.2.2 向量的向量積 212
5.2.3 向量的混合積 213
5.3 空間曲面及其方程 214
5.3.1 曲面方程 214
5.3.2 二次曲面 217
5.4 空間曲線和向量函數 219
5.4.1 空間曲線及其方程 219
5.4.2 空間曲線在坐標面上的投影 220
5.4.3 向量函數 221
5.5 平面與直線 223
5.5.1 平面及其方程 223
5.5.2 空間直線及其方程 226
5.5.3 直線與平面的位置關系 227
5.6 思考與拓展 230
復習題 5 235
第 6 章 多元函數微分學及其應用 237
6.1 多元函數 237
6.1.1 區域 237
6.1.2 n 元函數及二元函數的極限 238
6.1.3 二元函數的連續性 242
6.2 偏導數與全微分 244
6.2.1 n 元函數的偏導數 244
6.2.2 二元函數偏導數與一元函數導數的差異 246
6.2.3 高階偏導數 247
6.2.4 n 元函數的全微分 249
6.3 復合函數與隱函數求導法 254
6.3.1 復合函數求導法 254
6.3.2 隱函數的微分法 259
6.4 方向導數與梯度 262
6.4.1 方向導數 262
6.4.2 梯度 265
6.5 偏導數的應用 267
6.5.1 Taylor 公式 267
6.5.2 幾何上的應用 269
6.5.3 二元函數的極值和最值 272
6.5.4 條件極值的 Lagrange 乘數法 274
6.6 思考與拓展 278
復習題 6 280
第 7 章 多元函數積分學及其應用 283
7.1 n 重積分 283
7.1.1 n 重積分的定義 283
7.1.2 n 重積分的性質 284
7.1.3 二重積分與三重積分 285
7.2 重積分的計算 289
7.2.1 二重積分的計算 289
7.2.2 三重積分的計算 296
7.2.3 二重積分和三重積分的應用 300
7.3 曲線積分 305
7.3.1 對弧長的曲線積分 305
7.3.2 對坐標的曲線積分 309
7.4 Green 公式及其應用 315
7.4.1 Green 公式 315
7.4.2 曲線積分與積分路徑無關的充分必要條件 319
7.5 曲面積分 325
7.5.1 對面積的曲面積分 325
7.5.2 對坐標的曲面積分 327
7.5.3 Gauss 公式 331
7.5.4 Stokes 公式 333
7.5.5 場論初步 335
7.5.6 Hamilton 算子 337
7.6 思考與拓展 340
復習題 7 346
第 8 章 無窮級數 349
8.1 無窮級數的收斂性及其基本性質 349
8.1.1 問題的提出 349
8.1.2 無窮級數的基本概念 351
8.1.3 無窮級數的性質 354
8.2 級數收斂判別法 356
8.2.1 正項級數收斂判別法 356
8.2.2 一般項級數收斂判別法 362
8.3 冪級數 366
8.3.1 函數項級數 366
8.3.2 冪級數及其收斂性 369
8.3.3 冪級數的運算 374
8.4 函數展開為冪級數 380
8.4.1 Taylor 級數 380
8.4.2 函數展開為冪級數的應用 385
8.4.3 微分方程的冪級數解法 387
8.5 Fourier 級數 390
8.5.1 三角函數系的正交性 390
8.5.2 函數展開成 Fourier 級數 391
8.5.3 正弦級數與余弦級數 394
8.5.4 一般周期函數的 Fourier 級數 395
8.6 思考與拓展 399
復習題 8 404
第 9 章 數學實踐與數學建模初步 407
9.1 數學實踐 407
9.1.1 函數與極限的應用實例 407
9.1.2 一元函數微積分的應用實例 412
9.1.3 n 元函數微積分的應用實例 419
9.1.4 無窮級數的應用舉例 422
9.2 Matlab 在高等數學中的應用 425
9.3 數學建模初步 429
9.3.1 基本知識 429
9.3.2 建模實例 431
9.4 簡單的經濟數學模型 436
9.4.1 邊際成本與邊際效益 436
9.4.2 效用函數 438
9.4.3 商品替代率 438
9.4.4 效用分析 439
參考文獻 440
部分習題參考答案或提示 442
數學淺淡 470
第1章函數與極限
微積分學中的基本概念，如連續、導數和積分等，都是以極限理論為基礎的.極限思想方法是高等數學中的一個重要思想方法，極限理論推動了數學理論的發展，促使許多實際問題得以解決.在近代數學許多分支中，一些重要的概念與理論都是極限和連續函數概念的推廣、延拓和深化.因此，理解和掌握極限思想和方法是學好微積分的關鍵.
1.1函數
1.1.1變量的變化范圍
我們知道，在實際問題中有變量與常量之分.所謂變量，是指一個可以被賦予任何值的量.如果它的值是固定的，稱為常量(也稱為常數).這里需要將任意常數和絕對常數區分開來.在具體問題研究中，任意常數可以保持任何給定的值，而絕對常數則在所給定的問題中都保持相同的值.例如，半徑為r的圓周長為2 r;這里r為任意常數，而2和 為絕對常數.
對于任何變量都有一定的變化范圍，例如，電子產品的使用壽命、天氣的溫度等.變量的變化范圍也就是變量的取值范圍，通常用區間或鄰域表示，它們是實數集合R的一個子集.區間是最熟悉的常見的實數軸上的點集，它是以下幾種點集的總稱.設a;b2R，定義以下的區間集合.
(1)閉區間[a;b]=fxja6x6bg;一個點a組成的集合fag=[a;a]也是閉區間.
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