《工程數(shù)學(xué)：復(fù)變函數(shù)（第3版）》前兩版經(jīng)過了北京許多高校近20年的教學(xué)實(shí)踐，第三版按照原國家教委新審定的有關(guān)基本要求，根據(jù)目前教學(xué)改革的需要，重新對(duì)全書內(nèi)容進(jìn)行精細(xì)、系統(tǒng)地研讀和修訂。全書包括復(fù)變函數(shù)及其極限和連續(xù)性、解析函數(shù)、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)、留數(shù)及保角映射等內(nèi)容。書中還對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的解釋。在各節(jié)的后面附有習(xí)題和習(xí)題答案，供讀者自檢。
本書適于高等學(xué)校理工科類學(xué)生,以及工程技術(shù)人員閱讀。
引言
第1章 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)及其極限
1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算
1.1.1 復(fù)數(shù)的概念及其表示法
1.1.2 △ 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算
1.1.3? 擴(kuò)充復(fù)平面與復(fù)球面
習(xí)題 1.1
習(xí)題 1.1答案
1.2 復(fù)平面上曲線和區(qū)域
1.2.1 △ 復(fù)平面上曲線方程的各種表示
1.2.2 △ 連續(xù)曲線和簡單曲線與光滑曲線
1.2.3 平面點(diǎn)集與區(qū)域
習(xí)題 1.2
習(xí)題 1.2答案
1.3 復(fù)變函數(shù)與整線性映射
1.3.1 △ 復(fù)變函數(shù)的概念
1.3.2 復(fù)映射——復(fù)變函數(shù)的幾何意義
1.3.3 整線性映射及其保圓性
習(xí)題 1.3
習(xí)題 1.3答案
1.4 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)
1.4.1 △ 復(fù)變函數(shù)的極限
1.4.2 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性
習(xí)題 1.4
習(xí)題 1.4答案
第2章 解析函數(shù)
2.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.1.1 △ 導(dǎo)數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則
2.1.2 微分的定義及其可微的充要條件
習(xí)題 2.1
習(xí)題 2.1答案
2.2 函數(shù)的解析性和指數(shù)函數(shù)
2.2.1 函數(shù)解析的概念和充要條件
2.2.2 解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
2.2.3 △ 指數(shù)函數(shù) exp （z）＝ e z
習(xí)題 2.2
習(xí)題 2.2答案
2.3 初等解析函數(shù)
2.3.1 對(duì)數(shù)函數(shù)
2.3.2 冪函數(shù)
2.3.3 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)
2.3.4 △ 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)
習(xí)題 2.3
習(xí)題 2.3答案
第3章 復(fù)積分
3.1 復(fù)積分的概念及其性質(zhì)
3.1.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念
3.1.2 復(fù)積分的存在性及其一般計(jì)算公式
3.1.3 △ 復(fù)積分的簡單性質(zhì)
習(xí)題 3.1
習(xí)題 3.1答案
3.2 積分與其路徑的無關(guān)性
3.2.1 復(fù)積分與其積分路徑無關(guān)的條件
3.2.2 解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計(jì)算中的應(yīng)用
3.2.3 △ 復(fù)閉路定理和閉路變形原理
習(xí)題 3.2
習(xí)題 3.2答案
3.3 Cauchy積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式
3.3.1 解析函數(shù)的Cauchy積分公式
3.3.2 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理
3.3.3 △ 解析函數(shù)的實(shí)部和虛部與調(diào)和函數(shù)
習(xí)題 3.3
習(xí)題 3.3答案
3.4? 平面調(diào)和場及其復(fù)勢(shì)
3.4.1 平面向量場的旋度和散度與平面調(diào)和場
3.4.2 平面調(diào)和場的復(fù)勢(shì)及其有關(guān)等式
3.4.3 平面流速場和靜電場的復(fù)勢(shì)求法及其應(yīng)用
習(xí)題 3.4
習(xí)題 3.4答案
第4章 復(fù)級(jí)數(shù)
4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)
4.1.1 復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法
4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法
4.1.3 冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑
4.1.4 △冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
習(xí)題 4.1
習(xí)題 4.1答案
4.2 Taylor級(jí)數(shù)
4.2.1 有關(guān)逐項(xiàng)積分的兩個(gè)引理
4.2.2 Taylor級(jí)數(shù)展開定理
4.2.3 基本初等函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開式
4.2.4 △ 典型例題及其說明
習(xí)題 4.2
習(xí)題 4.2答案
4.3 Laurent級(jí)數(shù)
4.3.1 Laurent級(jí)數(shù)展開定理
4.3.2 Laurent級(jí)數(shù)的性質(zhì)
4.3.3 △ 用Laurent級(jí)數(shù)展開
式計(jì)算積分
習(xí)題 4.3
習(xí)題 4.3答案
第5章 留數(shù)及其應(yīng)用
5.1 函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類
5.1.1 函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念和分類
5.1.2 函數(shù)各類孤立奇點(diǎn)的充要條件
5.1.3 用函數(shù)的零點(diǎn)判別極點(diǎn)的類型
5.1.4? 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)
習(xí)題 5.1
習(xí)題 5.1答案
5.2 留數(shù)和留數(shù)定理
5.2.1△ 留數(shù)的定義和計(jì)算
5.2.2 留數(shù)定理
5.2.3? 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)
習(xí)題 5.2
習(xí)題 5.2答案
5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用
5.3.1?△形如I1=∫α0f cos 2πα, sin 2πθαdθ的積分
5.3.2 形如?I?2=∫?∞??-∞?f(x) d x的積分
5.3.3 形如?I?3=∫ +∞???-∞?f(x) e i βx d x(β＞0)的積分
習(xí)題 5.3
習(xí)題 5.3答案
5.4 ?? 輻角原理及其應(yīng)用
5.4.1 對(duì)數(shù)留數(shù)
5.4.2 輻角原理
5.4.3 Rouche′定理
習(xí)題 5.4
習(xí)題 5.4答案
第6章?* 保角映射
6.1 保角映射的概念
6.1.1 曲線的切線方向和兩條曲線的夾角
6.1.2 解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
6.1.3 保角映射的概念和定理
習(xí)題 6.1
習(xí)題 6.1答案
6.2 分式線性映射及其性質(zhì)
6.2.1 在擴(kuò)充復(fù)平面上的保圓性
6.2.2 在擴(kuò)充復(fù)平面保持交比的不變性
6.2.3 對(duì)擴(kuò)充復(fù)平面上圓周的保對(duì)稱性
6.2.4 對(duì)有向圓周和直線的保側(cè)性
6.2.5 三種特殊的分式線性映射
習(xí)題 6.2
習(xí)題 6.2答案
6.3 幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射
6.3.1 對(duì)數(shù)映射w= ln z和指數(shù)映射w= e z
6.3.2 冪映射w=zn及其逆映射(n=2,3,…)
6.3.3? 儒柯夫斯基( H.E.Жyковскни )函數(shù)
習(xí)題 6.3
習(xí)題 6.3答案
6.4??保角映射幾個(gè)一般性定理及其應(yīng)用
6.4.1 保角映射的幾個(gè)一般性定理
6.4.2 Schwarz?Christoffel 映射——多角形映射
6.4.3 用保角映射解 Laplace 方程邊值問題
習(xí)題 6.4
習(xí)題 6.4答案
參考文獻(xiàn)
第6章 保角映射 第1章我們介紹過復(fù)變函數(shù)的幾何意義--映射。在此基礎(chǔ)上，本章先敘述解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并且給出保角映射的概念。然后具體討論分式線性函數(shù)和幾個(gè)基本初等函數(shù)所構(gòu)成的保角映射的特點(diǎn)與作用。最后介紹保角映射的幾個(gè)一般性定理和Schwarz-Christoffel映射--多角形映射。實(shí)際中許多問題的困難是由于有關(guān)函數(shù)的定義域比較復(fù)雜而引起的，需要利用保角映射把這些問題變換為比較簡單區(qū)域上的問題來解決。這方面的應(yīng)用只在最后一節(jié)以Laplace方程為例說明之，以便讀者參考。6.1保角映射的概念 為了討論解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和保角映射的概念，本節(jié)首先需要說明有向曲線的切線方向和兩條相交曲線夾角的有關(guān)規(guī)定，并且總假定所給平面曲線是有向光滑曲線。6.1.1 曲線的切線方向和兩條曲線的夾角 由于任意一段有向曲線AB可用參數(shù)方程表示為z=z（t）+iy（t）（a≤t≤b），其反向曲線BA可表示為z=x（-t）+iy（-t）（-b≤t≤-a），它們的方向都是由t增加的方向來給定的，因此我們總可以將任一條曲線C的參數(shù)方程簡寫為 z=z（t），α≤t≤β （6-1-1） 并且認(rèn)為C的方向就是參數(shù)t增加的方向。對(duì)于C上某一點(diǎn)z0=z（t0）（α 定義1 對(duì)于由式（6-1-1）給出的有向曲線C，稱復(fù)向量z′（t0）為C在點(diǎn)z0=z（t0）的切矢量。由于C是光滑曲線，因此z′（t0）≠0。顯然Argz′（t0）是正實(shí)軸方向矢量繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到切矢量z′（t0）方向的轉(zhuǎn)動(dòng)角--簡稱為正實(shí)軸到矢量z′（t0）的夾角。定義2 對(duì)于兩條相交的有向曲線C1和C2，可設(shè)它們的參數(shù)方程分別為z=zk（t）（ak≤t≤βk；k=1，2），其交點(diǎn)為z0=z1（t0）=z2（t2），在z0處切矢量分別為z′1（t0）和z′2（t2）。我們稱C1的切矢量z′1（t0）繞z0旋轉(zhuǎn)到C2的切矢量z′2（t2）的轉(zhuǎn)動(dòng)角為C1到C2在點(diǎn)z0的夾角，記為∠C1z0C2。由于這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角可視為矢量z′1（t0）繞點(diǎn)z0旋轉(zhuǎn)到實(shí)軸正向再旋轉(zhuǎn)到矢量z′2（t2）的復(fù)合，因此可表示為顯然∠C1z0C2是多值的，且有∠C2z0C1=-∠C1z0C2。
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