數學是令人振奮的。我們生活在數學史上最偉大的時代。在20世紀30年代，有些人擔心20世紀早期的數學越來越抽象，這可能會導致數學家們從事沒有成果的愚蠢智力練習，也可能會導致數學分裂成完全不同的分支，就如同自然哲學被分成了物理學、化學、生物學和地質學那樣。但是事實卻恰恰相反。從第二次世界大戰開始，人們越來越清楚地意識到數學有著統一的規律。曾經被分開的領域現在互相支撐著彼此。學習和研究數學值得傾注一生。
數學是復雜的。很不幸的是，人們并沒有那么擅長數學。盡管學習數學可以說是一種享受，但是它仍然需要勤奮及自律。我幾乎不認識把數學看作一門簡單學科的數學家。事實上，大多數情況下，在幾杯啤酒下肚后，他們會承認自己在數學上的愚鈍。這也是一名即將攻讀研究生的學生所必須面對的障礙，即怎樣解決數學的深刻性與我們淺薄的數學知識間鮮明的反差。研究生院的學生流失率如此之高的部分原因也在于此。就算在最好的學校里有最高的留存率，通常也只有一半的人最終能獲得博士學位。甚至在排名前二十的學校里，有時也會有80%的研究生不能畢業，盡管這些研究生比起一般人來說更加擅長于數學。很多人認為數學是一個能使他們發光發熱的領域。可是突然在研究生院里他們被同樣甚至更優秀（或者看起來更優秀）的人所包圍。更糟的是，數學本身還是一種精英教育。學校不會為了使初學者感覺良好而背離自己的教育方式（這不是學校的工作，其工作是探索數學領域）。事實上，有更簡單的謀生方式（盡管對于數學家來說可能不太令人滿意）。所以“你必須被逼著成為一個數學家”這句話是有道理的。
盡管如此，數學還是令人興奮的。挫折應該能夠被學習和最終開拓（或發現）嶄新數學領域的興奮感而戰勝。歸根結底，成為一名數學研究者是進入研究生院學習的主要目標。和其他創作相同，數學的研究也會造成情緒的起伏。只有從事規律和乏味的工作才不會有情緒上的高峰和低谷。研究生面對的一部分困難就是學著怎樣去處理他們情緒的低谷期。
本書的目標。本書的目標之一是至少給出有關主題的粗略介紹，這些主題是頂尖研究生都應該知道的。很不幸的是，對于研究生和研究工作來說，因為所需的知識要比在大學短短四年時間所學到的知識多得多，所以幾乎沒有新生能完全理解這些主題，不過還好，所有人都至少知道這些主題中的一部分。不同的人了解的主題不同，這也有力地表明了與他人合作的好處。
本書還有另外一個目標。許多非數學工作者突然發現他們需要知道一些嚴密的數學知識。閱讀教材對于他們來說十分困難。本書的每一章都會提供一些有關他們感興趣的主題的提綱。
為了能找出一些數學領域的暗示，面對一個新定義時，讀者應該盡力找出一個簡單的例子和一個簡單的反例。順便說一下，反例就是一個幾乎滿足但不完全滿足定義的例子。但是，除了找出這些例子之外，讀者還應該考慮基礎定義被給出的原因。這使得如何研究數學被分裂成了兩種思潮。一種是從合理的但不單純的定義開始，然后證明關于這些定義的定理。通常定理的敘述都是很復雜的，包含很多不同的情形和條件，并且證明也相當復雜，需要很多特定的技巧。
另一種，也是在20世紀中期用得很多的一種方法，即花費大量時間研究基礎定義，目的是使定理被更清晰地陳述，并且有直截了當的證明。在這種思潮下，每當在證明中用到一個技巧的時候，就意味著要進行更多的工作。這也意味著定義本身需要得到理解，即使僅僅是在解決為什么要提出此定義的水平上。但是通過這種方式，定理能夠被清晰地陳述和證明。
在這種方法中，例子成了關鍵。對于一些基本例子，大家已經熟知了它們的性質。這些例子會使抽象的定義和定理形象化。事實上，這些定義的產生是為了給出相應的定理，以及與之相關的例子，這也是我們所期待的答案。只有那樣，定理才能被應用到新的例子和那些我們不了解的情形中。
托馬斯·A.加里蒂（Thomas A.Garrity），托馬斯·A.加里蒂是美國馬薩諸塞州威廉姆斯學院數學教授，是該學院“有效教學”項目的主管。托馬斯.A加里蒂于德克薩斯大學奧斯汀分校獲得學士學位，于布朗大學獲得博士學位。他曾與1986年至1989年間，擔任萊斯大學Evans講席教師。托馬斯·A.加里蒂曾獲得美國數學協會（MAA）頒發的大學杰出教學獎（MAA Deborah and Franklin TepperHaimo Award for outstanding college or university teaching）。除了眾多的學術論文外，托馬斯·A.加里蒂還寫了另外一本教材《Algebraic Geometry:A Problem Solving Approach》。
前言
關于數學的結構
主題概要
01線性代數
02實分析
03向量值函數的微積分
04點集拓撲
05經典Stokes定理
06微分形式和Stokes定理
07曲線和曲面的曲率
08幾何學
09復分析
010可數性和選擇公理
011代數
012勒貝格積分
013傅里葉分析
014微分方程
015組合學和概率論
016算法
第1章線性代數
11介紹
12基本向量空間Rn
13向量空間和線性變換
14基、維數和表示為矩陣的線性變換
15行列式
16線性代數基本定理
17相似矩陣
18特征值和特征向量
19對偶向量空間
110推薦閱讀
111練習
第2章ε和δ實分析
21極限
22連續性
23微分
24積分
25微積分基本定理
26函數的點態收斂
27一致收斂
28Weierstrass M判別法
29Weierstrass的例子
210推薦閱讀
211練習
第3章向量值函數的微積分
31向量值函數
32向量值函數的極限和連續性
33微分和Jacobi矩陣
34反函數定理
35隱函數定理
36推薦閱讀
37練習
那些年你沒學明白的數學——攻讀研究生必知必會的數學目錄
第4章點集拓撲
41基礎定義
42Rn上的標準拓撲
43度量空間
44拓撲基
45交換環的Zariski拓撲
46推薦閱讀
47練習
第5章經典Stokes定理
51關于向量微積分的準備工作
511向量場
512流形和邊界
513路徑積分
514曲面積分
515梯度
516散度
517旋度
518可定向性
52散度定理和Stokes定理
53散度定理的物理解釋
54Stokes定理的物理解釋
55散度定理的證明梗概
56Stokes定理的證明梗概
57推薦閱讀
58練習
第6章微分形式和Stokes定理
61平行六面體的體積
62微分形式和外導數
621初等k形式
622k形式的向量空間
623處理k形式的準則
624微分k形式和外導數
63微分形式和向量場
64流形
65切空間和定向
651隱式和參數化流形的切空間
652抽象流形的切空間
653向量空間的定向
654流形和它的邊界的定向
66流形上的積分
67Stokes定理
68推薦閱讀
69練習
第7章曲線和曲面的曲率
71平面曲線
72空間曲線
73曲面
74GaussBonet定理
75推薦閱讀
76練習
第8章幾何學
81歐式幾何
82雙曲幾何
83橢圓幾何
84曲率
85推薦閱讀
86練習
第9章復分析
91解析函數
92柯西黎曼方程
93復變函數的積分表示
94解析函數的冪級數表示
95保角映射
96黎曼映射定理
97多復變數：哈托格斯定理
98推薦閱讀
99練習
第10章可數性和選擇公理
101可數性
102樸素集合論與悖論
103選擇公理
104不可測集
105哥德爾和獨立性證明
106推薦閱讀
107練習
第11章代數
111群
112表示論
113環
114域和迦羅瓦理論
115推薦閱讀
116練習
第12章勒貝格積分
121勒貝格測度
122康托集
123勒貝格積分
124收斂理論
125推薦閱讀
126練習
第13章傅里葉分析
131波函數，周期函數和三角學
132傅里葉級數
133收斂問題
134傅里葉積分和變換
135求解微分方程
136推薦閱讀
137練習
第14章微分方程
141基本知識
142常微分方程
143拉普拉斯算子
1431平均值原理
1432變量分離
1433在復分析上的應用
144熱傳導方程
145波動方程
1451來源
1452變量代換
146求解失敗：可積性條件
147Lewy的例子
148推薦閱讀
149練習
第15章組合學和概率論
151計數
152概率論基礎
153獨立性
154期望和方差
155中心極限定理
156n!的Stirling近似
157推薦閱讀
158練習
第16章算法
161算法和復雜度
162圖：歐拉和哈密頓回路
163排序和樹
164P=NP?
165數值分析：牛頓法
166推薦閱讀
167練習
附錄等價關系
參考文獻
新書資訊