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     本書是根據“高等學校本科教學質量與教學改革工程”的需要，參照高等學校數學與統計學教學指導委員會發布的《理工類本科數學基礎課程教學基本要求》，參考《全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱》編寫而成的。

     全書分上、下冊出版，本書為上冊。上冊內容包括：緒論，函數、極限與連續，導數與微分，微分中值定理與導數的應用，不定積分，定積分，定積分的應用，空間解析幾何與矢量代數8章內容。書末附有初等數學常用知識、幾種常用曲線及其方程、積分表、Mathematica軟件包的常用系統函數。全書每節后都配有精選的習題，既有基礎題又有應用廣泛的綜合題。每章后還附有分層次教學測試練習題、Mathematica數學實驗和數學欣賞。充分考慮分層次教學的需要，對全方位提升學生的綜合素質和創新能力等方面起到積極的作用。

     本書可作為高等本科院校理工類專業的高等數學教材，也可作為學生自學和考研的參考書。

     本書是根據“高等學校本科教學質量與教學改革工程”的需要，參照高等學校數學與統計學教學指導委員會發布的《理工類本科數學基礎課程教學基本要求》，參考《全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱》編寫而成的。

     全書分上、下冊出版，本書為下冊。下冊內容包括：多元函數的微分法及其應用，重積分，曲線積分與曲面積分，微分方程，無窮級數5章內容。全書每節后都配有精選的習題，既有基本題又有應用廣泛的綜合應用題。每章后還附有分層次教學測試練習題、Mathematica數學實驗和數學欣賞，充分考慮分層次教學的需要，對全方位提升學生的綜合素質和創新能力等方面起到積極的推進作用。

    本書可作為高等本科院校理工類專業的高等數學教材，也可作為學生自學和考研的參考書。

        本書分上、下冊, 上冊內容包括Mathematica數學實驗, 函數極限與連續, 導數與微分, 微分中值定理與導數的應用, 不定積分, 定積分, 定積分的應用, 空間解析幾何與矢量代數等內容。下冊內容包括Mathematica數學實驗, 多元函數微分法及其應用, 重積分, 曲線積分與曲面積分, 微分方程, 無窮級數等內容。

高等數學上冊
叢書序
前言
第0章 緒論
0.1 高等數學概論
0.1.1 高等數學的發展過程
0.1.2 微積分研究的兩個基本問題及方法
0.1.3 高等數學與初等數學的比較
0.1.4 學習高等數學的方法
0.2 初識符號計算系統Mathematica
0.2.1 Mathematica的啟動和運行
0.2.2 Mathematica的輸入及運算
0.2.3 Mathematica的聯機幫助系統
習題0.2
數學欣賞 自然對數的底e的來歷與自然對數的引入
第1章 函數極限與連續
1.1 函數的概念
1.1.1 集合 區間與鄰域
1.1.2 函數的概念
1.1.3 函數的幾種特性
習題1.1
1.2 初等函數
1.2.1 反函數
1.2.2 復合函數
1.2.3 初等函數
*1.2.4 雙曲函數與反雙曲函數
習題1.2
1.3 數列的極限
1.3.1 數列極限的概念
1.3.2 收斂數列的性質
1.3.3 數列極限的四則運算法則
1.3.4 數列極限存在準則
習題1.3
1.4 函數的極限
1.4.1 自變量趨于無窮大時函數的極限
1.4.2 自變量趨于有限值時函數的極限
1.4.3 函數極限的性質
習題1.4
1.5 無窮小量與無窮大量
1.5.1 無窮小量
1.5.2 無窮大量
1.5.3 無窮小量的運算定理
習題1.5
1.6 函數極限的運算法則
習題1.6
1.7 夾逼準則 兩個重要極限
習題1.7
1.8 無窮小量的比較
習題1.8
1.9 函數的連續性
1.9.1 函數的連續性
1.9.2 連續函數的運算法則
1.9.3 初等函數的連續性
1.9.4 函數的間斷點
習題1.9
1.10 閉區間上連續函數的性質
習題1.10
1.11 用Mathematica進行函數運算
1.11.1 Mathematica中的數、運算符、變量與表達式
1.11.2 常用函數
1.11.3 自定義函數
1.11.4 表
習題1.11
1.12 用Mathematica求極限、函數的間斷點
1.12.1 函數求極限
1.12.2 函數的間斷點
習題1.12
第1章分層次測試題
數學欣賞 五個重要常數的關系
第2章 導數與微分
2.1 導數概念
2.1.1 導數概念的引入
2.1.2 導數的定義
2.1.3 求導函數舉例
2.1.4 導數的幾何意義
2.1.5 函數的可導性與連續性的關系
習題2.1
2.2 求導法則
2.2.1 函數的和、差、積、商的求導法則
2.2.2 復合函數的求導法則
2.2.3 反函數的導數
*2.2.4 雙曲函數與反雙曲函數的導數
2.2.5 初等函數的求導公式小結
習題2.2
2.3 高階導數
習題2.3
2.4 隱函數的導數 由參數方程所確定的函數的導數
2.4.1 隱函數的導數
2.4.2 由參數方程所確定的函數的導數
2.4.3 求導舉例
習題2.4
2.5 微分
2.5.1 微分的概念
2.5.2 微分的幾何意義
2.5.3 微分的運算法則
習題2.5
2.6 導數與微分的簡單應用
2.6.1 導數的應用
2.6.2 微分在近似計算中的應用
2.6.3 微分在誤差估計中的應用
習題2.6
2.7 用Mathematica進行導數運算
2.7.1 初等函數求導數
2.7.2 隱函數和由參數方程確定的函數求導數
習題2.7
第2章分層次測試題
數學欣賞 微積分成果優先權的爭論
第3章 微分中值定理與導數的應用
3.1 微分中值定理
3.1.1 羅爾(Rolle)定理
3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理
習題3.1
3.2 洛必達(L'Hospital)法則
3.2.1 0/0型未定式
3.2.2 ∞/∞型未定式
3.2.3 其他類型的未定式
習題3.2
3.3 泰勒定理及其應用
3.3.1 泰勒定理
3.3.2 幾個常用的麥克勞林公式
3.3.3 泰勒公式的應用
習題3.3
3.4 函數的單調性與極值
3.4.1 函數單調性的判定
3.4.2 函數的極值
3.4.3 函數的最大值和最小值
習題3.4
3.5 函數的凹凸性與拐點
3.5.1 函數的凹凸性
3.5.2 曲線的拐點
習題3.5
3.6 函數圖形的描繪
3.6.1 曲線的漸近線
3.6.2 依據函數特性作圖
習題3.6
*3.7 導數在經濟中的應用——邊際分析與彈性分析
3.7.1 邊際與邊際分析
3.7.2 彈性與彈性分析
習題3.7
*3.8 方程的近似解
3.8.1 二分法
3.8.2 切線法
習題3.8
3.9 用Mathematica做導數應用題
習題3.9
第3章分層次測試題
數學欣賞 法國大數學家——柯西、拉格朗日、羅爾
第4章 不定積分
4.1 不定積分的概念與性質
4.1.1 原函數與不定積分的概念
4.1.2 不定積分的性質
4.1.3 基本積分公式
習題4.1
4.2 換元積分法
4.2.1 第一類換元積分法
4.2.2 第二類換元積分法
習題4.2
4.3 分部積分法
習題4.3
4.4 幾種特殊類型函數的積分
4.4.1 有理函數的積分
4.4.2 三角函數有理式的積分
4.4.3 簡單無理函數的積分
4.4.4 積分表的使用
習題4.4
數學欣賞 利瑪竇與中西方數學文化的融合
第5章 定積分
5.1 定積分的概念與性質
5.1.1 定積分的實際背景
5.1.2 定積分的概念
5.1.3 定積分的幾何意義
5.1.4 定積分的基本性質
習題5.1
5.2 微積分基本公式
5.2.1 積分上限函數及其導數
5.2.2 牛頓-萊布尼茨公式
習題5.2
5.3 定積分的換元積分法
習題5.3
5.4 定積分的分部積分法
習題5.4
*5.5 定積分的近似計算
5.5.1 梯形法
5.5.2 拋物線法
習題5.5
5.6 廣義積分
5.6.1 無窮限廣義積分
5.6.2 無界函數的廣義積分
*5.6.3 伽瑪(Gamma)函數
習題5.6
5.7 用Mathematica計算一元函數的積分
5.7.1 定積分的近似計算
5.7.2 不定積分與定積分的計算
習題5.7
數學欣賞 萊布尼茨與康熙大帝
第6章 定積分的應用
6.1 定積分的微元法
6.2 定積分的幾何應用
6.2.1 平面圖形的面積
6.2.2 體積
6.2.3 平面曲線的弧長
習題6.2
6.3 定積分的物理應用
6.3.1 功
6.3.2 液體對平面薄板的壓力
6.3.3 引力
習題6.3
6.4 定積分在經濟管理中的應用
6.4.1 已知總產量的變化率求總產量
6.4.2 已知邊際函數求總量函數
習題6.4
6.5 用Mathematica做定積分應用題
6.5.1 求平面圖形的面積
6.5.2 求平面曲線的弧長
6.5.3 求旋轉體的體積
習題6.5
第4、5、6章分層次測試題
數學欣賞 中國科學院院士鼓勵學生參與數學建模
第7章 空間解析幾何與矢量代數
7.1 空間直角坐標系與矢量的概念
7.1.1 空間直角坐標系
7.1.2 矢量的概念
習題7.1
7.2 矢量的坐標
7.2.1 矢量在軸上的投影
7.2.2 矢徑的坐標表示
7.2.3矢量M₁M₂的坐標表示
7.2.4 坐標表示下的矢量線性運算
7.2.5 矢量的模與方向余弦的坐標表示
習題7.2
7.3 矢量的數量積 矢量積 *混合積
7.3.1 矢量的數量積
7.3.2 矢量的矢量積
*7.3.3 矢量的混合積
習題7.3
7.4 平面與直線
7.4.1 平面
7.4.2 空間直線
習題7.4
7.5 曲面及其方程
7.5.1 曲面及其方程
7.5.2 旋轉曲面
7.5.3 柱面
*7.5.4 二次曲面
習題7.5
7.6 空間曲線及其方程
7.6.1 空間曲線
7.6.2 空間曲線在坐標面上的投影曲線
習題7.6
7.7 用Mathematica做三維圖形及動畫
7.7.1 二元函數作圖
7.7.2 二次曲面的圖形
7.7.3 相交曲面作圖
7.7.4 動畫制作
習題7.7
第7章分層次測試題
數學欣賞 幾何學奇觀——三種幾何并存
附錄A 初等數學常用公式
附錄B 基本初等函數的圖形及其主要性質
附錄C 二階、三階行列式簡介
附錄D 極坐標、參數方程與復數簡介
附錄E 幾種常用的曲線
附錄F 符號計算系統Mathematica的常用系統函數
附錄G 積分表
部分習題參考答案
高等數學下冊
第8章 多元函數的微分法及其應用
8.1 多元函數的基本概念
8.1.1 多元函數及其定義域
8.1.2 二元函數的幾何表示
習題8.1
8.2 二元函數的極限與連續
8.2.1 二元函數的極限
8.2.2 二元函數的連續性
習題8.2
8.3 二元函數的偏導數與全微分
8.3.1 偏導數
8.3.2 高階偏導數
8.3.3 全微分及其應用
習題8.3
8.4 多元復合函數與隱函數的求導法則
8.4.1 多元復合函數的求導法則
8.4.2 一階全微分形式不變性
8.4.3 隱函數的求導法則
習題8.4
8.5 偏導數在幾何上的應用
8.5.1 空間曲線的切線與法平面
8.5.2 曲面的切平面與法線
習題8.5
8.6 多元函數的極值與最大(小)值
8.6.1 多元函數的極值
8.6.2 有界閉區域上的最大值與最小值
8.6.3 條件極值
習題8.6
8.7 方向導數與梯度
8.7.1 方向導數
8.7.2 梯度
習題8.7
*8.8 最小二乘法
8.8.1 最小二乘原理
8.8.2 多變量的數據擬合
8.8.3 非線性曲線的數據擬合
習題8.8
8.9 Mathematica在多元函數微分學中的應用
8.9.1 求多元函數的偏導數與全微分
8.9.2 微分學的幾何應用
8.9.3 多元函數的極值
習題8.9
第8章分層次測試題
數學欣賞 圓形之美與三角函數
第9章 重積分
9.1 二重積分的概念與性質
9.1.1 引例
9.1.2 二重積分的概念
9.1.3 二重積分的性質
習題9.1
9.2 利用直角坐標計算二重積分
9.2.1 X-型積分區域
9.2.2 Y-型積分區域
9.2.3 其他型積分區域
習題9.2
9.3 利用極坐標計算二重積分
習題9.3
9.4 二重積分應用舉例
9.4.1 二重積分在物理上的應用
9.4.2 二重積分在農業中的應用
習題9.4
9.5 三重積分的概念與性質
9.6 三重積分的計算
9.6.1 利用直角坐標計算三重積分
9.6.2 利用柱面坐標計算三重積分
9.6.3 利用球面坐標計算三重積分
習題9.6
9.7 用Mathematica計算重積分
習題9.7
數學欣賞 “數學中的諾貝爾獎”——菲爾茲獎
第10章 曲線積分與曲面積分
10.1 對弧長的曲線積分
10.1.1 對弧長的曲線積分的實際背景
10.1.2 對弧長的曲線積分的概念與性質
10.1.3 對弧長的曲線積分的計算
習題10.1
10.2 對坐標的曲線積分
10.2.1 對坐標的曲線積分的實際背景
10.2.2 對坐標的曲線積分的概念與性質
10.2.3 對坐標的曲線積分的計算
10.2.4 兩類曲線積分之間的聯系
習題10.2
10.3 格林公式及其應用
10.3.1 格林公式
10.3.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件
習題10.3
10.4 對面積的曲面積分
10.4.1 對面積的曲面積分的實際背景
10.4.2 對面積的曲面積分的概念與性質
10.4.3 對面積的曲面積分的計算
習題10.4
10.5 對坐標的曲面積分
10.5.1 有向曲面的概念
10.5.2 對坐標的曲面積分的概念與性質
10.5.3 對坐標的曲面積分的計算
10.5.4 兩類曲面積分之間的聯系
習題10.5
10.6 高斯公式 *通量與散度
10.6.1 高斯公式
*10.6.2 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件
*10.6.3 通量與散度
習題10.6
*10.7 斯托克斯公式 環流量與旋度
10.7.1 斯托克斯公式
10.7.2 空間曲線積分與路徑無關的條件
10.7.3 環流量與旋度
習題10.7
10.8 用Mathematica計算曲線積分和曲面積分
10.8.1 計算曲線積分
10.8.2 計算曲面積分
習題10.8
第9、10章分層次測試題
數學欣賞 中國人自己創立的學科——可拓學
第11章 微分方程
11.1 微分方程的基本概念與分離變量法
11.1.1 微分方程的基本概念
11.1.2 分離變量法
習題11.1
11.2 一階線性微分方程
11.2.1 一階齊次線性微分方程的解法
11.2.2 一階非齊次線性微分方程的解法
習題11.2
11.3 可降階的高階微分方程
11.3.1 y⁽ⁿ⁾=f(x)型的微分方程
11.3.2 y"=f(x,y')型的微分方程
11.3.3 y"=f(y,y')型的微分方程
習題11.3
11.4 二階常系數齊次線性微分方程
習題11.4
11.5 二階常系數非齊次線性微分方程
11.5.1 二階常系數非齊次線性微分方程解的性質與結構
11.5.2f(x)=P_m(x)e^αx,其中P_m(x)是m次多項式
11.5.3f(x)=e^αx(Acosβx+Bsinβx),其中α,β是實常數
習題11.5
*11.6 常微分方程在數學建模中的應用
11.6.1 人口預測模型
11.6.2 市場價格模型
11.6.3 混合溶液的數學模型
11.6.4 振動模型
習題11.6
11.7 用Mathematica解常微分方程
習題11.7
第11章分層次測試題
數學欣賞 模糊數學概覽
第12章 無窮級數
12.1 常數項級數的概念和性質
12.1.1 常數項級數的基本概念
12.1.2 無窮級數的基本性質
習題12.1
12.2 常數項級數的審斂法
12.2.1 正項級數及其審斂法
12.2.2 交錯級數及其審斂法
12.2.3 絕對收斂與條件收斂
習題12.2
12.3 冪級數
12.3.1 函數項級數的一般概念
12.3.2 冪級數及其收斂性
12.3.3 冪級數的運算與和函數的性質
習題12.3
12.4 函數展開成冪級數
12.4.1 泰勒級數
12.4.2 函數展開成冪級數
*12.4.3 函數的冪級數展開式的應用
習題12.4
12.5 傅里葉(Fourier)級數
12.5.1 三角級數 三角函數系的正交性
12.5.2 以2π為周期的函數展開成傅里葉級數
12.5.3 [-π,π]或[0,π]上的函數展開成傅里葉級數
習題12.5
*12.6 周期為2l的周期函數的傅里葉級數
習題12.6
12.7 用Mathematica進行級數運算
12.7.1 數項級數
12.7.2 求冪級數的收斂域
12.7.3 函數的冪級數展開
習題12.7
第12章分層次測試題
數學欣賞 數學史上的三次危機
部分習題參考答案
參考文獻

第1 章　函數極限與連續

數學研究的主要對象來自于現實世界中的空間形式和數量關系，生產實踐和科

學試驗中的大量問題需要人們去探討變量與變量之間的相互依存關系，并由此產生

了函數的概念及數學模型，極限是研究函數變化趨勢的一種基本方法，它奠定了微積

分學的基礎．本章將介紹函數的極限與連續性等基本概念，以及它們的一些性質．

1.1 　函數的概念

1.1.1 　集合　區間與鄰域

在初等數學中，我們對集合的概念已有所了解，本節僅介紹區間與鄰域的概念．

定義1.1 　設a 和b 都是實數，且a ＜ b ，數集｛ x｜ a ＜ x ＜ b｝稱為開區間，記作

（ a ，b） ，即

（ a ，b） ＝ ｛ x | a ＜ x ＜ b｝ ，

a 和b 稱為開區間（ a ，b）的端點；數集｛ x｜ a ≤ x ≤ b｝稱為閉區間，記作［ a ，b］ ，即

［ a ，b］ ＝ ｛ x | a ≤ x ≤ b｝ ，

a 和b 也稱為閉區間［ a ，b］的端點；數集｛ x｜ a ≤ x ＜ b｝或｛ x｜ a ＜ x ≤b｝都稱為半開半閉

區間，分別記作［ a ，b）或（ a ，b］ ．

以上這些區間都稱為有限區間，數b - a 稱為這些區間的長度．

根據實數與數軸上的點一一對應的關系，這些有限區間在數軸上表示長度為有

限的線段．如閉區間［ a ，b］與開區間（ a ，b）在數軸上表示出來，分別如圖1.1 （a）與

圖1.1（b）所示．

除以上談到的有限區間外，還有無限區間．引進記號+ ∞ （讀作正無窮大）及- ∞

（讀作負無窮大） ，則可類似地表示無限區間．例如，滿足關系式x ≥ a 的全體實數，用

區間［ a ，+ ∞ ） ＝ ｛ x｜ x ≥ a｝表示；滿足關系式x ＜ b 的全體實數，用區間（ - ∞ ，b） ＝

｛ x｜ x ＜ b｝表示，讀者可類似地定義區間（ a ，+ ∞ ）和（ - ∞ ，b］ ．

全體實數的集合R 也可記作（ - ∞ ，+ ∞ ） ，它也是無限區間．

定義1.2 　設a 與δ 是兩個實數，且δ ＞ 0 ．數集

｛ x | | x - a | ＜ δ｝

稱為點a 的δ 鄰域，記作U（ a ，δ） ．點a 稱為該鄰域的中心，δ 稱為該鄰域的半徑．

因為｜ x - a｜ ＜ δ 相當于- δ ＜ x - a ＜ δ ，即a - δ ＜ x ＜ a + δ ，所以

U（ a ，δ） ＝ ｛ x｜ a - δ ＜ x ＜ a + δ｝ ．

　圖1.2

由此看出，U（ a ，δ）也就是開區間（ a - δ ，a + δ） ，

該區間以點a 為中心，而長度為2 δ（如圖1.2） ．

以a 點為中心的δ 鄰域去掉中心a 后，稱

為點a 的去心δ 鄰域，記作U（＾a ，δ） ，即

U（＾a ，δ） ＝ ｛ x | 0 ＜ | x - a | ＜ δ｝ ，

這里0 ＜ ｜ x - a｜就表示了x ≠ a ．

1.1.2 　函數的概念

下面介紹兩個變量間的函數關系．

定義1.3 　設x 和y 是兩個變量，D 是一個給定的數集．如果對于每個數x ∈ D ，

變量y 按照一定法則f 總有確定的數值與之對應，則稱y 是x 的函數，記作y ＝ f（ x） ．

數集D 稱為這個函數的定義域，x 稱為自變量，y 稱為因變量．

當x 取數值x0 ∈ D 時，與x0 對應的y 的數值稱為函數y ＝ f（ x）在點x0 處的函

數值，記作f（ x0 ） ．全體函數值的集合W ＝ ｛ y｜ y ＝ f（ x） ，x ∈ D｝稱為函數的值域．

對于任意x ∈ D ，對應的函數值為y ＝ f（ x） ．這樣，以x 為橫坐標、y 為縱坐標就

在xOy 平面上確定一點（ x ，y） ，當x 取遍D 上的每一個數值時，就得到點（ x ，y）的一

個集合C ：

C ＝ ｛（ x ，y） | y ＝ f（ x） ，x ∈ D｝

稱這個點集C 為函數y ＝ f（ x）的圖形．

由函數的定義知，確定一個函數必須知道定義域和對應法則．于是定義域D 和

對應法則f 就稱為確定函數關系的兩大要素．兩個函數相同，是指函數的定義域和

對應法則分別相同．

例1 　設有兩個函數y ＝ ex ，y ＝ xex

x ．前者的定義域為（ - ∞ ，+ ∞ ） ；后者的定義

域為（ - ∞ ，0） ∪ （0 ，+ ∞ ） ，因此這兩個函數不相同．

例2 　函數f（ x） ＝ sin x + lnx + 1 與g（ t） ＝ sint + lnt + 1是相同的．因為這兩個

函數除自變量所采用的字母不同，定義域和對應法則完全相同．

在實際問題中，函數的定義域是根據問題的實際意義確定的．如果不考慮函數的

實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數，函數的定義域就是自變量所能取的使算

式有意義的一切實數值．

在函數的定義中，對于定義域內每一個x 值，對應的函數值只能有唯一的一個，

這種函數稱為單值函數；若允許同一x 值可以和不止一個y 值相對應，則稱它為多

值函數．以后沒有特別說明的，函數都是指單值函數．

表示函數的方法有三種：解析法、列表法、圖像法．三種表示法各有其優缺點，在

解決實際問題時要根據問題的特點選用適當的表示法或者三種方法并用．

高等數學所討論的函數，有時會遇到在自變量x 的不同取值范圍內用不同的解

析式子表示的函數，通常稱為分段函數．