本書為普通高等教育“十二五”規劃教材，由全國16所中醫院校長期從事數學教學工作的教師聯合編寫。全書分10章，包括一元函數微積分、空間解析幾何、多元函數微積分、微分方程與無窮級數等。編寫中既注意了數學學科本身的科學性與系統性，同時又注意了它在中醫藥學科里的應用。全書文字簡潔、內容精煉、由淺入深，章后有習題，書后附有答案。
本書可供醫藥院校各專業、各層次的學生使用，也可作為醫藥工作者學習高等數學的參考書。
嚴云良、鄭潔鋼主編的《醫藥高等數學(第4版)》全書共10章，包括一元函數微積分、空間解析幾何、多元函數微積分、微分方程、無窮級數等內容。教材編寫中注意了與中學數學的銜接；在不影響數學學科本身系統性、完整性的前提下，各章還列舉了一定數量的醫藥學科例題，使其更具醫藥院校教材特色。本教材每章后有習題，書后有習題解答，另外還配有輔導教材《醫藥高等數學學習輔導》。
嚴云良、鄭潔鋼、汪旭升、曹敏、周介南、邵建華、高敏艷、楊松濤、武京君、黃浩
第4版編寫說明
第一章 函數與極限
§1-1 函數
1-1.1 函數的概念
1-1.2 分段函數、反函數、復合函數
1-1.3 初等函數
§1-2 函數的極限
1-2.1 數列的極限
1-2.2 函數的極限
1-2.3 無窮小量與無窮大量
1-2.4 函數極限的運算
§1-3 極限存在定理與兩個重要極限
1-3.1 極限存在定理
1-3.2 兩個重要極限
§1-4 函數的連續性
1-4.1 函數的增量
1-4.2 函數的連續與間斷
1-4.3 初等函數的連續性
習題一
第二章 導數與微分
§2-1 導數的概念
2-1.1 導數的定義
2-1.2 函數連續性與可導性的關系
2-1.3 幾個基本初等函數的導數
§2-2 求導法則
2-2.1 導數的四則運算法則
2-2.2 反函數的求導法則
2-2.3 復合函數的求導法則
2-2.4 隱函數的求導法則
2-2.5 由參數方程所確定的函數的求導法則
2-2.6 高階導數
§2-3 微分概念
2-3.1 微分的定義及幾何意義
2-3.2 微分的求法、微分形式不變性
§2-4 微分的應用
2-4.1 近似計算
2-4.2 誤差估計
習題二
第三章 導數的應用
§3-1 中值定理
§3-2 洛必達法則
3-2.1 兩個無窮小量之比的極限
3-2.2 兩個無窮大量之比的極限
3-2.3 其他未定型極限的求法
§3-3 函數性態的研究
3-3.1 函數的增減性和極值
3-3.2 曲線的凹凸與拐點
3-3.3 曲線的漸近線
3-3.4 函數圖形的描繪
習題三
第四章 不定積分
§4-1 不定積分的概念與性質
4-1.1 原函數
4-1.2 不定積分的概念
4-1.3 不定積分的幾何意義
4-1.4 不定積分的簡單性質
§4-2 不定積分的基本公式
4-2.1 基本公式
4-2.2 直接積分法
§4-3 兩種積分法
4-3.1 換元積分法
4-3.2 分部積分法
*§4-4 有理函數與三角函數有理式的積分
4-4.1 有理函數的積分
4-4.2 三角函數有理式的積分
習題四
第五章 定積分及其應用
§5-1 定積分的概念
5-1.1 兩個實際問題
5-1.2 定積分的概念
§5-2 定積分的簡單性質
§5-3 定積分的計算
5-3.1 牛頓萊布尼茨公式
5-3.2 定積分的換元積分法和分部積分法
§5-4 定積分的應用
5-4.1 平面圖形的面積
5-4.2 旋轉體的體積
*5-4.3 平面曲線的弧長
5-4.4 函數在區間上的平均值
5-4.5 變力所做的功
5-4.6 液體的靜壓力
§5-5 廣義積分和Γ函數
5-5.1 廣義積分
5-5.2 Γ函數
習題五
第六章 空間解析幾何
§6-1 空間直角坐標系
6-1.1 空間直角坐標系
6-1.2 空間兩點間的距離
§6-2 向量代數
6-2.1 向量及其坐標表示
6-2.2 向量的數量積
6-2.3 向量的向量積
§6-3 空間的平面與直線
6-3.1 空間平面及其方程
6-3.2 空間直線及其方程
§6-4 空間的曲面與曲線
6-4.1 空間曲面及其方程
6-4.2 二次曲面
6-4.3 空間曲線及其方程
習題六
第七章 多元函數微分學
§7-1 多元函數的概念
7-1.1 多元函數的概念
7-1.2 二元函數的極限
7-1.3 二元函數的連續性
§7-2 多元函數的偏導數
7-2.1 偏導數的概念與計算
7-2.2 偏導數的幾何意義
7-2.3 偏導數與連續的關系
7-2.4 高階偏導數
§7-3 多元函數的全微分及其應用
7-3.1 全增量與全微分的概念
7-3.2 全微分在近似計算上的應用
§7-4 多元復合函數與隱函數的微分法
7-4.1 連鎖法則
7-4.2 隱函數的微分法
7-4.3 全微分形式不變性
§7-5 多元函數的極值
7-5.1 多元函數的極值
7-5.2 多元函數的最值
7-5.3 多元函數的條件極值
習題七
第八章 多元函數積分學
§8-1 二重積分的概念及簡單性質
8-1.1 二重積分的概念
8-1.2 二重積分的簡單性質
§8-2 二重積分的計算
8-2.1 直角坐標系中二重積分的計算方法
8-2.2 利用極坐標計算二重積分
*§8-3 對弧長的曲線積分
8-3.1 對弧長的曲線積分的概念及其簡單性質
8-3.2 對弧長的曲線積分的計算
§8-4 對坐標的曲線積分
8-4.1 對坐標的曲線積分的概念及簡單性質
8-4.2 對坐標的曲線積分的計算
§8-5 格林公式及其應用
8-5.1 格林公式
8-5.2 曲線積分與路徑無關的條件
習題八
第九章 微分方程
§9-1 基本概念
9-1.1 實例
9-1.2 微分方程及其階
9-1.3 微分方程的解
§9-2 可分離變量的微分方程
§9-3 一階線性微分方程
§9-4 可降階的二階微分方程
9-4.1 y″=f(x)型的二階微分方程
9-4.2 y″=f(x,y′)型的二階微分方程
9-4.3 y″=f(y,y′)型的二階微分方程
§9-5 二階常系數線性微分方程
9-5.1 二階線性微分方程的解的結構
9-5.2 二階常系數線性齊次微分方程的解法
9-5.3 二階常系數線性非齊次方程的解法
*§9-6 拉普拉斯變換
9-6.1 拉普拉斯變換的基本概念
9-6.2 拉氏變換的基本性質
9-6.3 拉氏逆變換
9-6.4 利用拉氏變換解微分方程的初值問題
習題九
第十章 無窮級數
§10-1 常數項級數的概念及性質
10-1.1 常數項級數的概念
10-1.2 無窮級數的基本性質
§10-2 常數項級數的斂散性
10-2.1 正項級數及其審斂法
10-2.2 任意項級數
10-2.3 交錯級數及其審斂法
§10-3 冪級數
10-3.1 函數項級數的概念
10-3.2 冪級數及其收斂性
10-3.3 冪級數的運算
§10-4 函數的冪級數展開及其應用
10-4.1 泰勒公式與泰勒級數
10-4.2 函數的冪級數展開
10-4.3 函數展成冪級數的應用
*§10-5 傅里葉級數
10-5.1 三角級數
10-5.2 三角函數系的正交性
10-5.3 函數展開成傅里葉級數
習題十
習題答案
第一章
函數與極限
高等數學是研究變量的一門科學，它的主要研究對象是函數．極限方法是高等數學的基礎，
它從方法論上突出地表現了高等數學不同于初等數學的特點．本章將介紹函數和極限的基本概
念，建立極限的運算法則，給出函數連續性的定義及性質．
§ 1-1 函數
1-1.1 函數的概念
一、常量與變量
在觀察和研究某一變化過程時，會遇到各種各樣的量，如溫度、時間、路程、重量、體積、血
壓、物價、利率等．其中有的量在過程中不變化，也就是保持一定的數值，這種量叫做常量；還有
一些量在過程中是變化著的，也就是可以取不同的數值，這種量叫做變量．
常量與變量的劃分是相對的，它依賴于研究問題的場合，同一個量在某種場合下是常量，在
另一種場合下則可能為變量．例如，重力加速度在地球表面一個不大的范圍內是常量，在一個廣
大的范圍內就是變量．
也有這種情況，某些量在整個過程中是變化的，但在過程的某一階段可以看做常量．例如，
人的身高在一天內看成常量，商品的價格在短期內看成是常量．
二、函數的概念
在自然現象和現實生活中，在某一變化過程中同時牽涉到幾個變量，它們通常不是孤立的，
圖1-1
而是遵循一定的規律相互依賴又相互制約地變化的，如
下面的例子．
例1 球的體積V 與半徑R 之間有關系式V ＝
4
3 π R3 ，當R �。�0 ，+ ∞ ）中的任一個值時，按照這個關
系可以唯一地確定V 的一個值與之對應．
例2 氣象臺氣溫記錄儀所記下的某一天24小
時內的氣溫曲線如圖1-1 所示，橫坐標t 表示時刻，
縱坐標T 表示氣溫．這條曲線表示了時間t 和氣溫T
之間的關系．對于［0 ，24］上的任一個值t0 ，通過圖像
可以唯一地確定該時刻的氣溫T0 ．
上面的兩個例子，雖然實際意義各有不同，變量間
的對應關系也是用不同方式表達的，但它們都表達了兩個變量之間的相依關系． 當其中一個變
量在某范圍內每取一個數值時，按照一定的規律（對應的法則） ，另一變量就有唯一確定的值與
之對應．由此，可以抽象出函數的定義．
定義1 設有兩個變量x 和y ，D 為一非空數集，如果對于D 內每個數x ，變量y 按一定的
法則f 總有唯一確定的數值與之對應，則稱y 是x 的函數．記作
y ＝ f（ x）
數集D 稱為該函數的定義域，x 叫做自變量，y 叫做因變量，自變量取x0 時的函數值記成
f（ x0 ）或y｜x ＝ x0 ，全體函數值的集合
M ＝ ｛ y | y ＝ f（ x） ，x ∈ D｝ （1 -1）
稱為函數的值域．
函數的定義中，涉及定義域、對應法則和值域三個因素．很明顯，只要定義域和對應法則確定
了，值域也就隨之確定． 因此，定義域和對應法則是確定函數的兩個要素． 例如，y ＝ lnx3 與
y ＝ 3lnx ，兩要素都相同，所以是同一函數；而y ＝ x2 - 1
x - 1 與y ＝ x + 1 ，因定義域不同，不是同一函數．
三、函數的表示法
常用的函數表示法有：解析法（公式法） 、列表法、圖像法．
1.解析法
用數學運算式子來表示變量間關系的方法，稱為解析法（公式法） ，如例1 是用解析法表示
的函數．用解析法表示函數便于計算和理論分析，在高等數學中討論的函數，大都用這種方法
表示．
2.列表法
列表法即把一系列自變量的值及其對應的函數值列成一個表格來表示函數關系， 如對數
表、三角函數表等．列表法使用方便，可以不用計算直接從表上讀出函數值．
3.圖像法
圖像法用坐標平面內的圖形（一般是曲線）表示變量間的函數關系，如例2 中的函數關系．
圖像法的優點是直觀、形象、函數特征一目了然，對研究有一定的啟發性．
在實際問題中，上述三種方法常結合應用．
四、函數的基本性質
1.函數的有界性
設函數f（ x）在區間I 上有定義，若存在一個正數M ，使得當x ∈ I 時，恒有
f（ x） ≤ M
成立，則稱函數f（ x）在I 上有界，如果這樣的正數M 不存在，則稱f（ x）在I 上無界．如果函數
f（ x）在其定義域內有界，則稱f（ x）為有界函數．
例如，y ＝ sin x 在定義域（ - ∞ ，+ ∞ ）內是有界的，因而是有界函數．而y ＝ 1
x 在區間（0 ，1）
內是無界的．
顯然，如果函數y ＝ f（ x）在區間I 上有界，則它的圖形在I 上必介于平行線y ＝ ± M 之間．
2.函數的奇偶性
設函數f（ x）的定義域為對稱區間（ - L ，L）（也可以是［ - L ，L］ ，（ - ∞ ，+ ∞ ）） ，如對于定義
域的任一x 都滿足
f（ - x） ＝ - f（ x） �。ɑ騠（ - x） ＝ f（ x））
則稱函數f（ x）為奇函數（或偶函數） ，否則稱為非奇非偶函數．
例如，函數f（ x） ＝ ex + e- x
2 為偶函數，f（ x） ＝ x3 + sinx 為奇函數，而f（ x） ＝ ex 是非奇非偶函數．
偶函數的圖形關于y 軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱．
3.函數的單調性
設函數f（ x）在區間I 上有定義，如果對于區間I 上任意兩點x1 ，x2 ，當x1 ＜ x2 時，有
f（ x1 ） ＜ f（ x2 ） �。ɑ騠（ x1 ） ＞ f（ x2 ））
則稱函數f（ x）在區間I 上單調增加（或單調減少） ．
例如，函數y ＝ x2 在（ - ∞ ，0］上單調減少，而在［0 ，+ ∞ ）上單調增加．
單調增加函數和單調減少函數統稱為單調函數．
4.函數的周期性
設有函數f（ x） ，如果存在一個不為零的數T ，使得對于定義域的任一實數x ，都有
f（ x + T） ＝ f（ x）
則稱函數f（ x）為周期函數，T 為函數的周期，通常我們說周期函數的周期指的是最小正周期．
例如，函數sinx ，cos x 都是以2π 為周期的函數，而tanx ，cot x 的周期為π ．
1-1.2 分段函數、反函數、復合函數
一、分段函數
在實際問題中，經常會遇到一個函數在其定義域內的不同區間上用不同解析式表示的情
圖1-2
形．例如，脈沖發生器產生一個如圖1-2 所示的三角波，它的電壓u
與時間t 的關系為
u（ t） ＝
3
2 t ， 0 ≤ t ＜ 10
- 3
2 （ t - 20） ， 10 ≤ t ≤ 20
它表示了在不同時間區間內電壓變化的不同規律．
如果一個函數在其定義域的不同區間上用不同的解析式表示，
則稱這種形式的函數為分段函數，必須注意，雖然分段函數在其自變量變化的不同范圍內有不
同的表達式，但它只是一個函數．
例如，函數
圖1-3
f（ x） ＝
x2 ，x ＞ 0
1
2 ， x ＝ 0
1 - x ， x ＜ 0
的圖形如圖1-3 所示．它的定義域為（ - ∞ ，+ ∞ ） ，當自變量取
（0 ，+ ∞ ）內的數值時，對應的函數值由y ＝ x2 確定，當自變量取
（ - ∞ ， 0 ） 內的數值時， 函數值由y ＝ 1 - x 確定，
如f（ - 1） ＝ 2 ， f（1） ＝ 1 ， f（0） ＝ 1
2 ．
分段函數的分段點有其特殊意義，討論函數在分段點上的極限、連續性、可導性時務請
注意．
二、反函數
在研究兩個變量間的關系時，常根據實際問題的需要選定其中一個變量為自變量，另一個
就是因變量．例如，自由落體運動中，如考慮下落距離S 隨下落時間t 的變化規律，則有S ＝
1
2 gt2 ．有時需反過來考慮問題，已知下落距離，求下落時間t ，則從S ＝ 1
2 gt2 解出t ，得t ＝
2 S
g ．此時，t 是S 的函數，稱前者為直接函數，后者為反函數．一般地，有如下定義．
定義2 設函數y ＝ f（ x）的定義域為D ，值域為M ．如對于任意的y ∈ M ，有唯一的x ∈ D ，
使得f（ x） ＝ y ，則變量x 是變量y 的函數，其對應規則記作f - 1 ． 這個定義在M 上的函數
x ＝ f - 1 （ y） ，稱它為函數y ＝ f（ x）的反函數，而y ＝ f（ x）稱為直接函數．
函數取決它的定義域和對應規則，與用什么字母表示自變量與因變量無關，而習慣上，常以
x 表示自變量，y 表示因變量，于是y ＝ f（ x）的反函數x ＝ f - 1 （ y）也可寫成y ＝ f - 1 （ x） ．
不難發現，函數y ＝ f（ x）的定義域和值域分別是它反函數y ＝ f - 1 （ x）的值域和定義域．
可以證明：單調函數存在反函數．
例3 求函數y ＝ x2 ，x ∈ ［0 ，+ ∞ ）的反函數．
解 由y ＝ x2 ，x ∈ ［0 ，+ ∞ ）解得x ＝ y ，y ≥ 0 ．于是y ＝ x2 ，x ∈ ［0 ，+ ∞ ）的反函數為y ＝
x ，x ∈ ［0 ，+ ∞ ） ．
應當注意，函數y ＝ x2 ，x ∈ （ - ∞ ，+ ∞ ）不存在反函數．
一般地，函數y ＝ f（ x）與它的反函數y ＝ f - 1 （ x）在同一坐標系內的圖像關于直線y ＝ x 對稱．
三、復合函數
在實際問題中，經常遇到兩個變量之間的聯系不是直接的，即因變量不直接依賴于自變量，
而是通過另一個變量聯系起來．
例如，有質量為m 的物體，以初速度v0 豎直上拋，由物理學知其動能E 是速度v 的函數
E ＝ 1
2 mv2
而速度v 在不計空氣阻力時又為v ＝ v0 - gt ， g 是重力加速度，因此E 通過v 成為t 的函數
E ＝ 1
2 m（ v0 - gt）2
它是由函數E ＝ 1
2 mv2 和v ＝ v0 - gt 復合而成的復合函數．一般地，有
定義3 設y 是u 的函數y ＝ f（ u） ，而u 又是x 的函數u ＝ φ（ x） ，如果x 在φ（ x）的定義域
或其一部分上取值時，對應的u 值使y ＝ f（ u）有定義，則y 通過u 和x 建立了函數關系
y ＝ f（ u） ＝ f（ φ（ x））
稱為由函數y ＝ f（ u）與u ＝ φ（ x）復合而成的復合函數，并把u 叫做中間變量， f （ u）叫外層函
數，φ（ x）叫內層函數．
例4 求下列函數的復合函數：
（1） y ＝ 1 - u2 與u ＝ loga x ；
（2） y ＝ 1 - u2 與u ＝ 2x ；
（3） y ＝ arcsinu 與u ＝ 2 + x2 ；
（4） f（ x） ＝ x
1 - 2 x ，求f（ f（ x）） ．
解�。�1） 因對于任意x ＞ 0 ，u ＝ loga x ∈ （ - ∞ ，∞ ） ，它對于y ＝ 1 - u2 有意義，所以復合函數
為y ＝ 1 - loga
2 x ，x ∈ （0 ，∞ ） ．
（2） 因當x 在（ - ∞ ，0］上變化時，u ＝ 2x ∈ （0 ，1］ ，它對于y ＝ 1 - u2 有意義，所以復合函數
為y ＝ 1 - 4x ，x ∈ （ - ∞ ，0］ ．
（3） 無論x 取什么值，u ＝ 2 + x2 ≥ 2 ，此時u 值對y ＝ arcsinu 沒有意義（ u ＝ 2 + x2 的值域
與y ＝ arcsinu 的定義域的交集是空集） ，故y ＝ arcsinu 與u ＝ 2 + x2 不能復合成復合函數．
（4） 因
f（ x） ＝ x
1 - 2 x
所以
f（ f（ x）） ＝ f（ x）
1 - 2 f（ x） ＝
x
1 - 2 x
1 - 2 x
1 - 2 x
＝ x
1 - 4 x ， x ≠ 1
2 ，14
從上面的例子可看出，兩個函數的復合是有條件的，當且僅當u ＝ φ（ x）的值域與y ＝ f （ u）
的定義域有非空的交集，如例4（1） 、（2） 、（4）中y ＝ f （ u）的定義域與u ＝ φ（ x）的值域的交集非
空，可以復合，而（3）中，交集是空集，故不能復合． 一般來講，y ＝ f（ φ（ x））的定義域比u ＝ φ（ x）
的定義域要�。�
上面講的是兩個函數的復合，也可以是三個及三個以上函數的復合，設有y ＝ f （ u） ，u ＝
φ（ v） ，v ＝ ψ（ x）三個函數，如滿足復合的條件，則可得復合函數y ＝ f（ φ（ ψ（ x））） ．
我們不僅要學會把若干個簡單的函數“復合”成一個復合函數，還要善于把一個復合函數
“分解”為若干個簡單函數．這種分解技術在后面微積分運算中經常用到．“分解”過程與“復合”
過程正好相反，它是一個從外到里的分解過程．
例5 寫出下列函數的復合過程：
（1） y ＝ 1 - x ；�。�2） y ＝ 3 cos（ x2 + 1） ；
（3） y ＝ sin（ex - 1 ） ； （4） y ＝ lntan x
2
2
．
解�。�1） y ＝ 1 - x可看成由y ＝ u ，u ＝ 1 - x 復合而成．
（2） y ＝ 3 cos（ x2 + 1）可看成由y ＝ 3 u ，u ＝ cosv ，v ＝ x2 + 1 復合而成．
（3） y ＝ sin（ex - 1 ）可看成由y ＝ sinu ，u ＝ ev ，v ＝ x - 1 復合而成．
（4） y ＝ lntan x
2
2
可看成由y ＝ u2 ，u ＝ lnv ，v ＝ tanw ，w ＝ x
2 復合而成．
1-1.3 初等函數
一、基本初等函數
在中學已學過冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數，這些函數統稱為基本
初等函數，為復習和應用的方便，將其歸納成表1 -1 ．
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