醫藥高等數學學習輔導（第3版）是普通高等教育“十二五”規劃教材、全國高等醫藥院校規劃教材《醫藥高等數學》（第4版）的配套教材，也是醫藥高等數學學習輔導（第3版）的第3版。全書分10章，包括一元函數微積分、空間解析幾何、多元函數微積分、微分方程與無窮級數。《醫藥高等數學》側重于理論，醫藥高等數學學習輔導（第3版）側重于理論知識的歸納總結、各類各層次習題的分析與解法，它有利于學生對高等數學的概念與理論的理解，有利于培養學生歸納總結、分析解決問題的能力，有利于學生對運算和方法的掌握，也有利于溝通教與學兩個教學環節。
醫藥高等數學學習輔導（第3版）可供高等醫藥院校各專業層次的學生使用。
《醫藥高等數學學習輔導(第3版全國高等醫藥院校規劃教材)》(作者楊松濤、錢微微)是《醫藥高等數學》(第4版)的配套教材，相應地也有10章。每章包括三大部分：一、內容提要與基本要求；二、習題解答(該章習題的解答過程)；三、增補習題解答(增補一些有代表性，有適當難度的習題)；書的最后編入一些院校有代表性的試卷。本輔導教材有利于學生對高等數學的概念與理論的理解，有利于對運算和方法的掌握，幫助學生在學好高等數學的同時培養自己分析解決問題的能力，也有利于教師的教學工作。
第3版編寫說明
第一章 函數與極限
第二章 導數與微分
第三章 導數的應用
第四章 不定積分
第五章 定積分及其應用
第六章 空間解析幾何
第七章 多元函數微分學
第八章 多元函數積分學
第九章 微分方程
第十章 無窮級數
醫藥高等數學試題及答案
一、內容提要與基本要求
本章介紹了函數的概念、性質與表示法；數列的極限、函數的極限；函數的增量；函數的連續性．函數是高等
數學中研究的主要對象，極限方法是高等數學的主要方法．極限是從量變認識質變，從近似認識精確，從有限認
識無限的一種數學方法．本章必須掌握下面幾方面的內容：
1.正確理解函數的概念、性質，會求函數的定義域，能將復合函數分解為若干簡單函數．
2.正確理解函數的極限，能用ε-δ定義刻畫函數的極限，理解xl→imx0
f（ x）是否存在與f（ x） 在x0 是否有定義
無關，了解極限的一些性質．
3.熟練掌握極限運算法則，正確理解并熟練應用兩個重要極限lxi→m0 sinx
x ＝ 1 ，xli→m∞ 1 + 1
x
x
＝ e ．
4.了解無窮小量、無窮大量，掌握函數的極限與無窮小量的關系．
5.正確理解函數y ＝ f（ x） 在x0 點處連續的概念，會判斷函數的連續性與間斷點，了解初等函數的連續
性，掌握閉區間上連續函數的性質．
二、習題一解答
1.判斷下列各對函數是否相同，并說明理由：
（1） y ＝ x + 1 與y ＝ x2 - 1
x - 1 ； （2） y ＝ lnx2 與y ＝ 2lnx ；
（3） y ＝ f（ x） 與x ＝ f（ y） ； （4） y ＝ 1 + 1
x2 與y ＝ 1 + x2
x ；
（5） y ＝ 3 x4 - x3 與y ＝ x ? 3 x - 1 ； （6） y ＝ ax 與y ＝ ex?lna ．
解 （1） 不同． y ＝ x + 1 的定義域為（ - ∞ ，+ ∞ ） ， y ＝ x2 - 1
x - 1 的定義域為（- ∞ ，1） ∪ （1 ， + ∞ ） ．
（2） 不同． y ＝ lnx2 的定義域為（ - ∞ ，0） ∪ （0 ， + ∞ ） ， y ＝ 2lnx 的定義域為（0 ， + ∞ ） ．
（3） 相同．定義域和對應關系都相同．
（4） 不同．對應關系不同．
（5） 相同．定義域和對應關系都相同．
（6） 相同．定義域和對應關系都相同．
2.設f（ x） ＝ x
x + 1 ，求f 1
2 ， f 3
2 ， f 1
x ，［ f（ x）］2 ， f［ f（ x）］ ， f｛ f［ … f（ x）］｝
n個f
．
解 f 1
2 ＝ 1
3 ， f 32
＝ 3
5 ， f 1
x ＝ 1
x + 1 ， ［ f（ x）］2 ＝ x2
（ x + 1）2 ．
由于
f［ f（ x）］ ＝
x
x + 1
x
x + 1 + 1
＝ x
2 x + 1 ，
又
f｛ f［ f（ x）］｝ ＝
x
2 x + 1
x
2 x + 1 + 1
＝ x
3 x + 1 ，
假定對n ＝ k 均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
k個f
＝ x
kx + 1 ，
對于n ＝ k + 1 ，
f｛ f［ … f（ x）］｝
k+ 1個f
＝
x
kx + 1
x
kx + 1 + 1
＝ x
（ k + 1） x + 1 ，
故對于所有的n ，均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
n個f
＝ x
nx + 1 ．
3.設f（ x） ＝
1 - x2 ， - ∞ ＜ x ≤ 0 ，
- 2x ， 0 ＜ x ＜ + ∞ ， 求f（ - 1） ， f（0） ， f（1） ， f［ f（ - 1）］ ， f［ f（0）］ ， f［ f（1）］ ．
解 f（ - 1） ＝ 0 ， f（0） ＝ 1 ， f（1） ＝ - 2 ， f［ f（ - 1）］ ＝ 1 ， f［ f（0）］ ＝ - 2 ， f［ f（1）］ ＝ - 3 ．
4.求下列函數的反函數及其定義域：
（1） y ＝ 1 - x2 （0 ≤ x ≤ 1） ； （2） y ＝ 2sin3 x x ∈ - π
6 ，π
6 ；
（3） y ＝ 2x
2x + 1 ； （4） y ＝ aln（ bx - c） ；
（5） y ＝ ax + b
cx + d （ ad - bc ≠ 0） ．
解 （1） y ＝ 1 - x2 （0 ≤ x ≤ 1） ． （2） y ＝ 1
3 arcsin x
2 （ - 2 ≤ x ≤ 2） ．
（3） y ＝ log2 x
1 - x （0 ＜ x ＜ 1） ． （4） y ＝ 1
b （c + ex
a ） （ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） y ＝ b - dx
cx - a x ≠ a
c ．
5.求下列各題中所給函數構成的復合函數，再指出其定義域：
（1） y ＝ eu ， u ＝ sinx ； （2） y ＝ u - 1 ， u ＝ lgx ；
（3） y ＝ u2 ， u ＝ cosv ， v ＝ x - 1
x2 - 5 x + 6 ； （4） y ＝ au ， u ＝ arctanv ， v ＝ 3 w ， w ＝ t2 - 1 ；
（5） y ＝ arcsinu ， u ＝ 1 + ex
解 （1） y ＝ esinx （ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（2） y ＝ lgx - 1 （10 ≤ x ＜ + ∞ ） ．
（3） y ＝ cos2 x - 1
x2 - 5 x + 6 （ - ∞ ＜ x ＜ 2） ∪ （2 ＜ x ＜ 3） ∪ （3 ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（4） y ＝ aarctan 3 x2 - 1 （ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） 由于無論x 取什么值， u ＝ 1 + ex ＞ 1 ，此時u 值對y ＝ arcsinu 沒有意義．因此， y ＝ arcsinu 與u ＝
1 + ex 不能復合成復合函數．
6.設f（ x） ＝
0 ， x ≤ 0 ，
x ， x ＞ 0 ，
g（ x） ＝
0 ， x ≤ 0 ，
- x2 ， x ＞ 0 ，求f［ g（ x）］ ，g［ f（ x）］ ，f［ f（ x）］ ，g［ g（ x）］ ．
解 f［ g（ x）］ ＝ 0 ， g［ f（ x）］ ＝ g（ x） ， f［ f（ x）］ ＝ f（ x） ， g［ g（ x）］ ＝ 0 ．
7.下列函數中，哪些是復合函數？ 如是，它們是怎樣合成的？
（1） y ＝ arccos（5 + x3 ） ； （2） y ＝ x3 ? 3x ；
（3） y ＝ cos3 x2 + 1
2 ； （4） y ＝ lg x - 1
x + 1 ；
（5） y ＝ x
3 1 - x2 + 12
arcsinx ； （6） y ＝ lnsin 3 x2 + π
4 ．
解 （1） 是． y ＝ arccosu ， u ＝ 5 + x3 ．
（3） 是． y ＝ u3 ， u ＝ cosv ， v ＝ x2 + 1
2 ．
（4） 是． y ＝ lgu ， u ＝ v ， v ＝ x - 1
x + 1 ．
（6） 是． y ＝ lnu ， u ＝ sinv ， v ＝ w ， w ＝ 3 x2 + π
4 ．
（2） 、（5）題的函數不是復合函數。
倡8.根據極限定義證明（打“ 倡”的是可選題，以下各章同）
（1） nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 3
2 （用“ε-N”語言證明） ； （2） xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 （用“ε-X”語言證明） ；
（3） lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 （用“ε-δ”語言證明） ．
證 （1） 對任意給定的ε＞ 0 ，總存在正整數N ＝ 1
ε ．當n ＞ N 時，
3 n + 1
2 n + 1 - 32
＝ 1
2（2 n + 1） ＜ 1
n ＜ ε，
nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 32
．
（2） 對任意給定的ε＞ 0 ，總存在正數X ＝
3 1
2ε ．當x ＞ X 時，
1 + x3
2 x3 - 1
2 ＝ 1
2 x3 ＝ 1
2 x 3 ＜ 1
2 X3 ＝ ε，
xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 ．
（3） 對任意給定的ε＞ 0 ，總存在正數δ ＝ ε
5 ．當0 ＜ x - 2 ＜ δ時，
5 x + 2 - 12 ＝ 5 x - 2 ＜ 5δ ＝ ε，
lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 ．
9.求下列極限：
（1） xl→im- 1
（3 x3 - 5 x + 2） ； （2） lim x → 2
x2 + 1
x4 - 3 x2 + 1 ；
（3） lxi→m2
x2 - 3
x - 2 ； （4） lxi→m3
x2 - 2 x - 3
x - 3 ；
（5） lxi→m9
4 x - 3
x - 3
； （6） lhi→m0
（ x + h）3 - x3
h ；
（7） lxi→m0
x + 1 - （ x + 1）
x + 1 - 1
； （8） lxi→m4
2 x + 1 - 3
x - 2
；
（9） lxi→m1
xm - 1
xn - 1 （ m ，n 為自然數） ； （10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
；
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ； （12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x - 3）2
x5 + 4 ；
（13） xli→m∞
2 x2 - 6 x + 5
x3 - 8 x2 + 1 ； （14） xl→im+ ∞ eax - 1
eax + 1 （ a ＞ 0） ；
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ； （16） nli→m∞
（ n + 1 - n） ；
（17） xl→im- 1
1
x + 1 - 3
x3 + 1 ； （18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x ．
解 （1） xl→im- 1
（3 x3 - 5 x + 2） ＝ 3 xl→im- 1 x3 - 5 xl→im- 1 x + 2 ＝ 4 ．
（2） lim x → 2
x2 + 1
x4 - 3 x2 + 1 ＝ lim x → 2
（ x2 + 1）
lim x → 2
（ x4 - 3 x2 + 1） ＝ 3
- 1 ＝ - 3 ．
（3） lxi→m2
x2 - 3
x - 2 ＝ ∞ 因為lxi→m2
x - 2
x2 - 3 ＝ 0 ．
（4） lxi→m3
x2 - 2 x - 3
x - 3 ＝ lxi→m3
（ x - 3）（ x + 1）
x - 3 ＝ 4 ．
（5） lxi→m9
4 x - 3
x - 3
＝ lxi→m9
4 x - 3
（4 x - 3）（4 x + 3）
＝ 1
2 3
．
（6） lhi→m0
（ x + h）3 - x3
h ＝ lhi→m0
（3 x2 + 3 xh + h2 ） h
h ＝ 3 x2 ．
（7） lxi→m0
x + 1 - （ x + 1）
x + 1 - 1
＝ lxi→m0
x + 1（1 - x + 1）
x + 1 - 1
＝ - lxi→m0 x + 1 ＝ - 1 ．
（8） lxi→m4
2 x + 1 - 3
x - 2
＝ lxi→m4
（ 2 x + 12 - 32 ）（ x + 2）
（ x2 - 22 ）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
（2 x - 8）（ x + 2）
（ x - 4）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
2（ x + 2）
2 x + 1 + 3
＝ 4
3 ．
（9） lxi→m1
xm - 1
xn - 1 ＝ lxi→m1
xm- 1 + xm- 2 + … + 1
xn- 1 + xn- 2 + … + 1 ＝ mn
（ m ，n 為自然數） ．
（10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
＝ nli→m∞
2 + 1
n
1 + 1
n
＝ 2 ．
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ＝ ∞ ．
（12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x - 3）2
x5 + 4 ＝ 8 ．
（13） xli→m∞
2 x2 - 6 x + 5
x3 - 8 x2 + 1 ＝ 0 ．
（14） xl→im+ ∞ eax - 1
eax + 1 ＝ xl→im+ ∞
1 - 1
eax
1 + 1
eax
＝ 1 （ a ＞ 0） ．
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ＝ nli→m∞
n（ n + 1）
2 n2 ＝ 1
2 ．
（16） nli→m∞
（ n + 1 - n） ＝ nli→m∞
1
n + 1 + n
＝ 0 ．
（17） xl→im- 1
1
x + 1 - 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
x2 - x + 1 - 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
（ x + 1）（ x - 2）
（ x + 1）（ x2 - x + 1） ＝ - 1 ．
（18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x ＝ x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x x2 + 1 + x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
1
1 + 1
x2 + 1
＝ 1
2 ．
10.下列函數在給定條件下，哪些是無窮小？ 哪些是無窮大？
（1） 1 + 2 x2
x （ x → 0） ； （2） sinx
x （ x → ∞ ） ；
（3） lgx （ x → 0+ ） ； （4） 2 x + 5 （ x → - ∞ ） ；
（5） x + 1
x2 - 4 （ x → 2） ； （6） 1 - cos2 t （ t → 0） ．
解 （2） ，（6）為無窮小；（1） ，（3） ，（4） ，（5）為無窮大．
11.x2 ， x2 - 1
x3 ，e- x 何時是無窮大？ 何時是無窮小？
解 x → ∞ 時， x2 → ∞ ， x2 - 1
x3 → 0 ；
x → + ∞ 時，e- x → 0 ；
x → - ∞ 時，e- x → ∞ ；
x → ± 1 時， x2 - 1
x3 → 0 ；
x → 0 時， x2 → 0 ， x2 - 1
x3 → ∞ ．
12.x → 1 時，下列函數中哪個是1 - x 的高階無窮小？ 哪個是1 - x 的等階無窮小？
（1） （1 - x） 3
2 ； （2） 1 - x
1 + x ； （3） 2（1 - x） ．
解 （1） 因為lxi→m1
（1 - x） 3
2
1 - x ＝ lxi→m1
（1 - x） 1
2 ＝ 0 ，所以當x → 1 時，（1 - x） 3
2 較1 - x 為高階無窮小．
（2） 因為lxi→m1
1 - x
1 + x
1 - x ＝ lxi→m1
1
1 + x ＝ 1
2 ，所以當x → 1 時，1 - x
1 + x 與1 - x 是同階無窮小．
（3） 因為lxi→m1
2（1 - x）
1 - x ＝ lxi→m1
2
1 + x
＝ 1 ，所以當x → 1 時，2（1 - x） 與1 - x 等價，即2（1 - x） ~ （1 - x） ．
13.設有函數
f（ x） ＝
（ x + a）2 - a2
x ， x ＜ 0 ，
x - 2 ， 0 ＜ x ≤ 1 ，
x2 - 5 x + 4
x2 + x - 2 ， x ＞ 1 ．
（1） 求xl→im- ∞ f（ x） ，xl→im+ ∞ f（ x） ； （2） a 為何值時，lxi→m0 f（ x） 存在；
（3） 求lxi→m1 f（ x） ．
解 （1） x l→im- ∞ f（ x） ＝ x l→im- ∞
（ x + a）2 - a2
x ＝ x l→im- ∞
x2 + 2 ax
x ＝ x l→im- ∞
（ x + 2 a） ＝ - ∞ ，
x l→im+ ∞ f（ x） ＝ x l→im+ ∞
x2 - 5 x + 4
x2 + x - 2 ＝ 1 ．
（2） 因為
lim x → 0 + f（ x） ＝ lim x → 0 +
（ x - 2） ＝ - 2 ，
lim x → 0 - f（ x） ＝ lim x → 0 -
（ x + a）2 - a2
x ＝ lim x → 0 -
（ x + 2 a） ＝ 2 a ，
所以
a ＝ - 1 時，lxi→m0 f（ x） 存在．
（3） 因為
lim x → 1 + f（ x） ＝ lim x → 1 +
x2 - 5 x + 4
x2 + x - 2 ＝ lim x → 1 +
（ x - 1）（ x - 4）
（ x - 1）（ x + 2） ＝ - 1 ，
lim x → 1 - f（ x） ＝ lim x → 1 -
（ x - 2） ＝ - 1 ，
所以
lxi→m1 f（ x） ＝ - 1 ．
14.已知xli→m∞
x2 + 1
x + 1 - ax - b ＝ 0 ，試確定a ，b的值．
解 xli→m∞
x2 + 1
x + 1 - ax - b ＝ xli→m∞
（1 - a） x2 - （a + b） x - b + 1
x + 1 ．
因為極限存在，所以1 - a ＝ 0 ，即a ＝ 1 ，從而
原式＝ xli→m∞
- （1 + b） x - b + 1
x + 1 ＝ - （1 + b） ．
由給定條件知- （1 + b） ＝ 0 ，所以b ＝ - 1 ．
15.求下列極限：
（1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ； （2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ；
（3） xli→m∞ xsin 1
x ； （4） lxi→m0 xsin 1
x ；
（5） lxi→mπ sinx
π - x ； （6） lhi→m0
1 - cos2 x
xsinx ；
（7） nli→m∞
2n sin a
2n （ a ≠ 0） ； （8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ；
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ； （10） xli→m∞ 1 + k
x
x
；
（11） lxi→m0 1 + x
2
x - 1
x ； （12） lxi→m0
（1 + 2tanx）cotx ；
（13） lxi→m0
（cosx） 1
1 - cosx ； （14） xli→m∞
x + 3
x
x + 2
．
解 （1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
sin4 x
4 x ? 4 x
＝ 3
4 lxi→m0
sin3 x
3 x
sin4 x
4 x
＝ 3
4 ．
（2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
cos3 x
sin5 x
5 x ? 5 x
＝ 3
5 ．
（3） xli→m∞ xsin 1
x ＝ xli→m∞
sin 1
x
1
x
＝ 1 ．
（4） 因為lxi→m0 x ＝ 0 ，而sin 1
x 為有界函數，即sin 1
x ≤ 1 ，所以
lxi→m0 xsin 1
x ＝ 0
（5） lxi→mπ sinx
π - x ＝ lxi→mπ sin（π - x）
π - x ＝ 1 ．
（6） lxi→m0
1 - cos2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sin2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sinx
x ＝ 2 ．
（7） nli→m∞
2n sin a
2n ＝ nli→m∞
sin a
2n
a
2n
? a ＝ a（ a ≠ 0） ．
（8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ＝ lxi→m0
1 + 2 sinx
x
1 + sinx
x
＝ 3
2 ．
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ＝ xl→im- ∞
- sin 1
x2
1
x2
＝ - 1 ．
（10） xli→m∞
1 + k
x
x
＝ xli→m∞
1 + k
x
x
k k
＝ ek ．
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