本書區別于以往線性代數的書籍，內容新穎，編排獨特，作者以幾何視角講述線性代數，通過二維平面和三維空間中的例子解釋線性代數中的各種概念和性質。本書強調直觀性以及知識點的背景，結合計算機中各種圖形的變換來理解線性變換，注重可讀性的同時突出數學的基本思想，將直觀圖形與數學證明進行了巧妙的結合。作者在書籍側邊空白處手繪200余幅示意圖給出了相關概念的解釋，更好的幫助讀者理解。本書可供非數學類專業的學生及數學愛好者使用，亦可作為數學專業學生和教師的參考用書。
對于工科與經濟類的大學生而言，“線性代數”是一門公共基礎課，是必修的課程之一。常見的線性代數教科書大致有這樣幾個章節——行列式、線性方程組、矩陣、向量空間、特征值與特征向量、二次型。打開教材，迎面而來的就是計算與證明，鮮有知識點產生的緣由及其在實際生活中的應用。誠然，數學是一門抽象的科學，具有高度的概括性，但是這不代表數學教材就應該這樣“斬頭去尾燒中段”，干巴巴的毫無吸引力，冷冰冰地讓人生畏。數學教育研究者們一直在呼吁數學文化的滲透，那么對于具體的一本教材而言，滲透什么內容？如何進行滲透？滲透到什么程度？我想，最基本的來說，至少要將知識的來龍去脈說個清楚。比如常見教科書開篇就是行列式的計算，那么學生肯定想要知道“行列式的本質是什么？為什么要學行列式？它在實際應用中的作用是什么？”在缺乏理解的基礎上，就算學會了計算與證明，對知識的把握也是稀里糊涂的。這是件讓人遺憾的事情。
本書，是一本彌補遺憾的書，是一本不同視角的書，是一本呈現知識點來龍去脈的書。本書按照先二維后三維的順序呈現知識，使得知識形象化，便于理解。全書共分18章，第1章到第9章是二維情形，以獨特的順序與適宜的方式介紹了線性代數的基本知識點；第10章到第13章是三維情形，因此這四章是前九章的推廣，但并不重復，各有仙機；第14章到第18章是高維情形，呈現了許多實際生活中的應用，同時也有助于讀者抽象思維的發展。本書采用了非常規卻符合認知的知識呈現順序，以直觀的、幾何的敘述方式呈現內容，以大量的實際例證呈現應用。如果你不曾學過線性代數，閱讀本書，會讓你興趣盎然地沉浸其中，順理成章地掌握所有應掌握的知識點；如果你曾經學過線性代數，閱讀本書，會讓你不斷地恍然大悟：“哦！原來這個知識點是這么來的！原來這個知識點是這么用的！原來這兩個知識點竟然有這層關系！”如果你想要看一本有趣且有用的線性代數書籍，那么本書就是一個不可錯過的上好選擇！
杰拉德·法林（Gerald Farin），1979年于布倫瑞克大學獲博士學位，著有"Curves and Surfaces for CAGD" (5th ed.), "NURBS" (2nd ed.)。同時他還兼任《計算機圖形設計》主編。
笛卡兒的發現 1 第1章
1.1 二維平面中局部坐標與整體坐標的互化 2
1.2 整體坐標到局部坐標的轉化 6
1.3 三維空間中局部坐標與整體坐標的互化 8
1.4 單位框外一點坐標的轉化 9
1.5 建立坐標系 10
1.6 習題 12
無處不在：二維平面中的點與向量 13 第2章
2.1 點與向量的坐標及運算 14
2.2 點與向量的區別 16
2.3 向量場 17
2.4 向量的長度 18
2.5 點的組合 21
2.6 線性無關 24
2.7 標量積 24
2.8 正交投影 28
2.9 不等式 29
2.10 習題 30
排列起來：二維平面上的直線 33 第3章
3.1 直線的定義 34
3.2 直線的參數方程 35
3.3 直線的隱式方程 37
3.4 直線的顯式方程 40
3.5 參數方程與隱式方程的互化 41
3.6 點到直線的距離 43
3.7 點在直線上的投影 47
3.8 相遇的地方：直線相交的計算 48
3.9 習題 54
改變形狀：二維平面上的線性映射 57 第4章
4.1 傾斜的目標框 58
4.2 矩陣形式 59
4.3 矩陣的計算性質 61
4.4 圖形放縮 63
4.5 圖形反射 65
4.6 圖形旋轉 68
4.7 圖形切變 69
4.8 圖形投影 71
4.9 投影的核 73
4.10 面積與線性映射：行列式 74
4.11 線性映射的復合 77
4.12 矩陣乘法的更多性質 81
4.13 矩陣運算的更多性質 83
4.14 習題 84
2×2線性方程組 87 第5章
5.1 再議傾斜的目標框 88
5.2 矩陣形式 89
5.3 直接求解法：克拉默法則 90
5.4 高斯消元法 91
5.5 取消映射：逆矩陣 93
5.6 無解方程組 99
5.7 欠定方程組 100
5.8 齊次方程組 100
5.9 數值應用：主元法 102
5.10 用矩陣定義映射 104
5.11 習題 104
在周圍移動：二維平面上的仿射映射 107 第6章
6.1 坐標變換 108
6.2 仿射映射與線性映射 110
6.3 平移 111
6.4 更多常見的仿射映射 112
6.5 從三角形映射到三角形 114
6.6 仿射映射的復合 116
6.7 習題 120
特征 123 第7章
7.1 固定方向 124
7.2 特征值 125
7.3 特征向量 127
7.4 特殊情形 129
7.5 對稱矩陣的幾何圖形 132
7.6 重復映射 135
7.7 映射的條件數 137
7.8 習題 138
剖分：三角 141 第8章
8.1 重心坐標 142
8.2 仿射不變性 144
8.3 幾個特殊點 145
8.4 二維平面上的三角剖分 148
8.5 數據結構 149
8.6 點的位置 150
8.7 三維空間中的三角剖分 151
8.8 習題 153
圓錐曲線 155 第9章
9.1 常見的圓錐曲線 156
9.2 圓錐曲線類型的判定 160
9.3 圓錐曲線位置的判定 162
9.4 習題 163
三維空間中的幾何 165 第10章
10.1 從二維到三維 166
10.2 向量積 168
10.3 直線 172
10.4 平面 173
10.5 應用：光與影 177
10.6 標量三重積 180
10.7 線性空間 181
10.8 習題 183
三維空間中的相交 185 第11章
11.1 點與平面的距離 186
11.2 兩直線間的距離 187
11.3 直線與平面相交 189
11.4 直線與三角形相交 191
11.5 光在平面上的反射 191
11.6 三個平面相交 193
11.7 兩個平面相交 194
11.8 建立正交坐標系 195
11.9 習題 197
三維空間中的線性映射 199 第12章
12.1 矩陣與線性映射 200
12.2 圖形放縮 202
12.3 圖形反射 204
12.4 圖形切變 204
12.5 圖形投影 207
12.6 圖形旋轉 209
12.7 體積與線性映射：行列式 213
12.8 線性映射的組合 216
12.9 更多的矩陣性質 218
12.10 逆矩陣 219
12.11 習題 221
三維空間中的仿射映射 223 第13章
13.1 仿射映射 224
13.2 平移 225
13.3 四面體的映射 225
13.4 投影 229
13.5 齊次坐標與透視映射 232
13.6 習題 238
一般線性方程組 241 第14章
14.1 問題的引入 242
14.2 高斯消元求解法 244
14.3 行列式 250
14.4 超定方程組 253
14.5 逆矩陣 256
14.6 矩陣的LU分解 258
14.7 習題 262
一般線性空間 265 第15章
15.1 基本性質 266
15.2 線性映射 268
15.3 內積 271
15.4 格拉姆-施密特正交化方法 271
15.5 高維特征問題 272
15.6 空間一覽 274
15.7 習題 276
數值方法 279 第16章
16.1 線性方程組的另一種解法：豪斯霍爾德法 280
16.2 向量的范數與序列 285
16.3 方程組的迭代解法：高斯-雅可比法與高斯-賽德爾法 287
16.4 求特征值：冪法 290
16.5 習題 294
直線組團來襲：折線和多邊形 297 第17章
17.1 折線 298
17.2 多邊形 299
17.3 凸性 300
17.4 多邊形的類別 301
17.5 不常見的多邊形 302
17.6 轉向角與分支數 304
17.7 面積 305
17.8 驗證共面問題 309
17.9 驗證點與多邊形的位置問題 310
17.10 習題 313
曲線 315 第18章
18.1 應用：參數曲線 316
18.2 貝齊爾曲線的性質 321
18.3 矩陣形式 323
18.4 導數 324
18.5 合成曲線 326
18.6 平面曲線的幾何 327
18.7 沿曲線移動 329
18.8 習題 331
后記教程 333 附錄A
A.1 來個例子熱身一下 333
A.2 復習 336
A.3 仿射映射 338
A.4 變量 339
A.5 環 340
A.6 CTM 341
部分解答 343 附錄 B
詞匯表 367
參考文獻 371
索引 373
Contents
Preface
Descartes’ Discovery 1 Chapter 1
1.1 Local and Global Coordinates: 2D 2
1.2 Going from Global to Local 6
1.3 Local and Global Coordinates: 3D 8
1.4 Stepping Outside the Box 9
1.5 Creating Coordinates 10
1.6 Exercises 12
Here and There: Points and Vectors in 2D 13 Chapter 2
2.1 Points and Vectors 14
2.2 What’s the Difference 16
2.3 Vector Fields 17
2.4 Length of a Vector 18
2.5 Combining Points 21
2.6 Independence 24
2.7 Dot Product 24
2.8 Orthogonal Projections 28
2.9 Inequalities 29
2.10 Exercises 30
Lining Up: 2D Lines 33 Chapter 3
3.1 Defining a Line 34
3.2 Parametric Equation of a Line 35
3.3 Implicit Equation of a Line 37
3.4 Explicit Equation of a Line 40
3.5 Converting Between Parametric and Implicit Equations 41
3.6 Distance of a Point to a Line 43
3.7 The Foot of a Point 47
3.8 A Meeting Place: Computing Intersections 48
3.9 Exercises 54
Changing Shapes: Linear Maps in 2D 57 Chapter 4
4.1 Skew Target Boxes 58
4.2 The Matrix Form 59
4.3 More about Matrices 61
4.4 Scalings 63
4.5 Reflections 65
4.6 Rotations 68
4.7 Shears 69
4.8 Projections 71
4.9 The Kernel of a Projection 73
4.10 Areas and Linear Maps: Determinants 74
4.11 Composing Linear Maps 77
4.12 More on Matrix Multiplication 81
4.13 Working with Matrices 83
4.14 Exercises 84
2×2 Linear Systems 87 Chapter 5
5.1 Skew Target Boxes Revisited 88
5.2 The Matrix Form 89
5.3 A Direct Approach: Cramer’s Rule 90
5.4 Gauss Elimination 91
5.5 Undoing Maps: Inverse Matrices 93
5.6 Unsolvable Systems 99
5.7 Underdetermined Systems 100
5.8 Homogeneous Systems 100
5.9 Numerical Strategies: Pivoting 102
5.10 Defining a Map 103
5.11 Exercises 104
Moving Things Around: Affine Maps in 2D 107 Chapter 6
6.1 Coordinate Transformations 108
6.2 Affine and Linear Maps 110
6.3 Translations 111
6.4 More General Affine Maps 112
6.5 Mapping Triangles to Triangles 114
6.6 Composing Affine Maps 116
6.7 Exercises 120
Eigen Things 123 Chapter 7
7.1 Fixed Directions 124
7.2 Eigenvalues 125
7.3 Eigenvectors 127
7.4 Special Cases 129
7.5 The Geometry of Symmetric Matrices 132
7.6 Repeating Maps 135
7.7 The Condition of a Map 137
7.8 Exercises 138
Breaking It Up: Triangles 141 Chapter 8
8.1 Barycentric Coordinates 142
8.2 Affine Invariance 144
8.3 Some Special Points 145
8.4 2D Triangulations 148
8.5 A Data Structure 149
8.6 Point Location 150
8.7 3D Triangulations 151
8.8 Exercises 153
Conics 155 Chapter 9
9.1 The General Conic 156
9.2 Analyzing Conics 160
9.3 The Position of a Conic 162
9.4 Exercises 163
3D Geometry 165 Chapter 10
10.1 From 2D to 3D 166
10.2 Cross Product 168
10.3 Lines 172
10.4 Planes 173
10.5 Application: Lighting and Shading 177
10.6 Scalar Triple Product 180
10.7 Linear Spaces 181
10.8 Exercises 183
Interactions in 3D 185 Chapter 11
11.1 Distance Between a Point and a Plane 186
11.2 Distance Between Two Lines 187
11.3 Lines and Planes: Intersections 189
11.4 Intersecting a Triangle and a Line 191
11.5 Lines and Planes: Reflections 191
11.6 Intersecting Three Planes 193
11.7 Intersecting Two Planes 194
11.8 Creating Orthonormal Coordinate Systems 195
11.9 Exercises 197
Linear Maps in 3D 199 Chapter 12
12.1 Matrices and Linear Maps 200
12.2 Scalings 202
12.3 Reflections 204
12.4 Shears 204
12.5 Projections 207
12.6 Rotations 209
12.7 Volumes and Linear Maps: Determinants 213
12.8 Combining Linear Maps 216
12.9 More on Matrices 218
12.10 Inverse Matrices 219
12.11 Exercises 221
Affine Maps in 3D 223 Chapter 13
13.1 Affine Maps 224
13.2 Translations 225
13.3 Mapping Tetrahedra 225
13.4 Projections 229
13.5 Homogeneous Coordinates and Perspective Maps 232
13.6 Exercises 238
General Linear Systems 241 Chapter 14
14.1 The Problem 242
14.2 The Solution via Gauss Elimination 244
14.3 Determinants 250
14.4 Overdetermined Systems 253
14.5 Inverse Matrices 256
14.6 LU Decomposition 258
14.7 Exercises 262
General Linear Spaces 265 Chapter 15
15.1 Basic Properties 266
15.2 Linear Maps 268
15.3 Inner Products 271
15.4 Gram-Schmidt Orthonormalization 271
15.5 Higher Dimensional Eigen Things 272
15.6 A Gallery of Spaces 274
15.7 Exercises 276
Numerical Methods 279 Chapter 16
16.1 Another Linear System Solver: The Householder Method 280
16.2 Vector Norms and Sequences 285
16.3 Iterative System Solvers: Gauss-Jacobi and Gauss-Seidel 287
16.4 Finding Eigenvalues: the Power Method 290
16.5 Exercises 294
Putting Lines Together: Polylines and Polygons 297 Chapter 17
17.1 Polylines 298
17.2 Polygons 299
17.3 Convexity 300
17.4 Types of Polygons 301
17.5 Unusual Polygons 302
17.6 Turning Angles and Winding Numbers 304
17.7 Area 305
17.8 Planarity Test 309
17.9 Inside or Outside 310
17.10 Exercises 313
Curves 315 Chapter 18
18.1 Application: Parametric Curves 316
18.2 Properties of Bézier Curves 321
18.3 The Matrix Form 323
18.4 Derivatives 324
18.5 Composite Curves 326
18.6 The Geometry of Planar Curves 327
18.7 Moving along a Curve 329
18.8 Exercises 331
PostScript Tutorial 333 Appendix A
A.1 A Warm-Up Example 333
A.2 Overview 336
A.3 Affine Maps 338
A.4 Variables 339
A.5 Loops 340
A.6 CTM 341
Selected Problem Solutions 343 Appendix B
Glossary 367
Bibliography 371
Index 373
新書資訊