本書介紹泛函分析的基礎知識，包括距離空間與賦范空間、有界線性算子、Hilbert空間、有界線性算子的譜和拓撲線性空間。
本書旨在提供一本教師易于使用、學生易于閱讀的本科生教材。為此，本書在內容編排上注重理論展開的條理性和清晰性，在文字敘述上力求可讀性強，定理的證明過程較為詳細。本書的第5章不是本科生必須學習的內容，僅供讀者需要時參考。本書配備較多的習題，以備選用。本書的末尾對大部分習題給出提示或解答要點，供讀者參考。
目錄
叢書序
前言
第1章 距離空間與賦范空間
1.1 距離空間的基本概念 2
1.1.1 距離空間的定義與例 2
1.1.2 序列的極限 4
1.2 賦范空間的基本概念 6
1.2.1 線性空間 6
1.2.2 賦范空間的定義與例 8
1.3 Lp空間 11
1.3.1 空間Lp(1≤p＜∞) 11
1.3.2 空間L∞ 14
1.3.3 空間lp(1≤p≤∞) 15
1.4 點集 連續映射與可分性 16
1.4.1 距離空間中的點集 16
1.4.2 連續映射 18
1.4.3 空間的可分性 20
1.5 完備性 22
1.5.1 空間的完備性 22
1.5.2 完備空間的性質 25
1.5.3 壓縮映射原理及其應用 26
1.5.4 空間的完備化 29
1.5.5 有限維賦范空間上的范數等價性 30
1.6 緊性 33
1.6.1 緊集與列緊集 33
1.6.2 空間C[a,b]中列緊集的等價特征 38
習題1 40
第2章 有界線性算子
2.1 有界線性算子的基本概念 46
2.1.1 有界線性算子的定義與例 46
2.1.2 算子的范數及其計算 49
2.1.3 有界線性算子空間 51
2.2 共鳴定理及其應用 52
2.3 逆算子定理與閉圖像定理 57
2.3.1 逆算子定理 57
2.3.2 閉圖像定理 60
2.4 Hahn-Banach定理 62
2.5 凸集、超平面與分離定理 67
2.5.1 凸集與超平面 67
2.5.2 凸集的分離定理 70
2.6 共軛空間的表示定理 73
2.6.1 的共軛空間 74
2.6.2 的共軛空間 76
2.6.3 的共軛空間 80
2.7 自反性 弱收斂與弱*收斂 83
2.7.1 二次共軛空間 84
2.7.2 弱收斂與弱*收斂 86
2.7.3 某些空間上弱收斂的判別條件 89
2.8 共軛算子 90
2.9 緊算子 94
習題2 97
第3章 Hilbert空間
3.1 內積空間的基本概念 104
3.2 正交分解定理投影算子 107
3.2.1 正交性 107
3.2.2 投影算子 111
3.3 正交系 115
3.3.1 規范正交系 115
3.3.2 正交系的完全性 118
3.3.3 Gram-Schmidt正交化方法 120
3.4 Riesz表示定理伴隨算子 122
3.4.1 Riesz表示定理 122
3.4.2 伴隨算子 123
3.4.3 自伴算子 127
習題3 130
第4章 有界線性算子的譜
4.1 譜的概念 134
4.1.1 可逆算子 134
4.1.2 正則集與譜 135
4.1.3 若干例子 140
4.2 緊算子的譜 141
4.2.1 緊算子譜的分布 141
4.2.2 算子方程的可解性 144
4.3 自伴算子的譜 譜分解 147
4.3.1 自伴算子的譜 147
4.3.2 正算子的正平方根 149
4.3.3 緊自伴算子的譜分解 151
4.4 自伴算子的譜分解 154
4.4.1 譜系與譜積分 155
4.4.2 譜分解定理 158
習題4 162
第5章* 拓撲線性空間
5.1 拓撲線性空間的基本概念 166
5.1.1 拓撲空間的基本概念 166
5.1.2 拓撲線性空間的定義 167
5.1.3 分離定理 171
5.1.4 平衡集 吸收集 172
5.1.5 有界集 173
5.2 局部凸空間 175
5.2.1 半范數與局部凸空間 175
5.2.2 可距離化與可賦范 180
5.2.3 若干例子 181
5.3 有界線性算子 183
5.3.1 有界線性算子與泛函 183
5.3.2 泛函延拓定理與凸集的分離定理 185
5.3.3 弱拓撲與弱*拓撲 187
習題5 188
部分習題的提示與解答要點
參考文獻
附錄1 Weierstrass逼近定理
附錄2 完備化空間的存在性定理
附錄3 等價關系 半序集與Zorn引理
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