本書從面向高等教育大眾化的角度出發, 介紹數行列式、矩陣、線性方程組、向量、矩陣的特征值、特征向量及二次型的基礎知識, 幫助養學生掌握線性代數的基本理論和基本解題方法, 提高解決問題的能力。
隨著科學技術的不斷發展以及交叉學科的進一步融合，線性代數涉及的許多內容，如行列式、矩陣、線性方程組的*優解、特征值與特征向量及二次型等，在理、工、農、醫、經濟、管理等領域的理論研究與實際應用中都發揮著重要的作用。
第2版是對2015年4月第1版的修訂。修正了第1版的一些錯誤與不妥之處，基本保持了第1版的風格與體系。“線性代數”課程是普通高校各專業大學生必修的一門數學基礎理論課程，本課程不僅可為學生進一步學習提供必要的數學基礎，而且能使學生的抽象思維能力得到進一步訓練，同時它還可為后續專業課程的學習奠定理論基礎。通過學習本課程，學生能夠不斷增強創新意識，全面提高學生運用數學方法分析問題、解決問題的能力。
本書根據教育部《高等教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃》的精神和要求，總結作者多年講授線性代數課程的實踐經驗編寫而成。編寫中本著重視概念、側重計算、強調應用的指導思想，力求做到結構嚴謹、概念準確、由淺入深、簡潔明白、通俗易懂、適于自學。
隨著科學技術的不斷發展以及交叉學科的進一步融合，線性代數涉及的許多內容，如行列式、矩陣、線性方程組的最優解、特征值與特征向量及二次型等，在理、工、農、醫、經濟、管理等領域的理論研究與實際應用中都發揮著重要的作用。
第2版是對2015年4月第1版的修訂。修正了第1版的一些錯誤與不妥之處，基本保持了第1版的風格與體系。“線性代數”課程是普通高校各專業大學生必修的一門數學基礎理論課程，本課程不僅可為學生進一步學習提供必要的數學基礎，而且能使學生的抽象思維能力得到進一步訓練，同時它還可為后續專業課程的學習奠定理論基礎。通過學習本課程，學生能夠不斷增強創新意識，全面提高學生運用數學方法分析問題、解決問題的能力。
本書根據教育部《高等教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃》的精神和要求，總結作者多年講授線性代數課程的實踐經驗編寫而成。編寫中本著重視概念、側重計算、強調應用的指導思想，力求做到結構嚴謹、概念準確、由淺入深、簡潔明白、通俗易懂、適于自學。
本書在第1版的基礎上進行了修改，參加第2版修訂工作的有，關凱老師(執筆第1章、第4章)，羅蕾老師(執筆第2章、第3章)，馬鴻老師(執筆第5章)，紀德云老師(執筆第6章)，最后由紀德云老師修改定稿。在修訂過程中，承蒙馬毅老師的大力幫助，在此表示衷心感謝！
由于編者水平有限，書中難免還有不妥之處，敬請讀者批評指正。
編者
第1章 行列式 1
1.1 二階與三階行列式 1
1.2 排列 4
1.3 n階行列式 5
1.4 行列式的性質 8
1.5 行列式按行(列)展開 14
1.6 克萊姆法則 19
習題 22
第2章 矩陣及其運算 25
2.1 矩陣的概念 25
2.2 矩陣的運算 27
2.2.1 矩陣的加法 27
2.2.2 數與矩陣的乘法 28
2.2.3 矩陣與矩陣的乘法 28
2.2.4 矩陣的轉置 31
2.2.5 矩陣的行列式 32
2.3 可逆矩陣 33
2.4 矩陣的分塊 37
習題 42
第3章 矩陣的初等變換與線性方程組 47
3.1 矩陣的初等變換 47
3.2 初等變換和矩陣的逆矩陣 53
3.3 矩陣的秩 56
3.4 線性方程組 59
習題 64
第4章 向量組的線性相關性 71
4.1 向量組及其線性組合 71
4.2 向量的線性相關性 74
4.3 極大無關組與向量組的秩 78
4.4 線性方程組解的結構 83
4.5 向量空間 88
習題 89
第5章 特征值和特征向量 矩陣的相似 93
5.1 矩陣的特征值和特征向量 93
5.2 相似矩陣 97
5.3 實對稱矩陣的對角化 99
習題 102
第6章 二次型 105
6.1 二次型及其矩陣表示法 105
6.2 標準形 107
6.3 規范形 113
6.4 正定二次型與正定矩陣 114
習題 118
習題參考答案 120
參考文獻 135
第1章 行 列 式
最初的行列式理論是人們從求解線性方程組的過程中建立和發展起來的，它在線性代數以及其他數學分支上都有著廣泛的應用。本章我們主要討論以下幾個問題。
(1) 行列式的定義；
(2) 行列式的基本性質及計算方法；
(3) 利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則)。
1.1 二階與三階行列式
設有二元線性方程組
(1.1)
使用加減消元法求解該方程組未知數的值，當時，可得
(1.2)
這就是求解二元線性方程組的一般公式。但這個公式很繁雜，不容易記憶。為此我們引入新的運算符號來表示式(1.2)這個結果，這就是行列式的起源。我們稱
為二階行列式。它含有兩行兩列。橫排稱為行，豎排稱為列。
數(i=1,2；j=1,2)為二階行列式的元素，元素的第一個下標i表示這個元素所在的行數，稱為行標；第二個下標j表示這個元素所在的列數，稱為列標。
從上述定義得知，二階行列式是這樣兩項的代數和：是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負號。可參考圖1.1來記憶。
圖1.1
根據二階行列式的定義，式(1.2)中的兩個分子也可寫成二階行列式，即
設
，，
當時，則方程組(1.1)的解的表達式(1.2)可以表示成
， (1.3)
式(1.3)中分母的行列式是由方程組(1.1)中未知數的系數按其原有的相對位置排成的，稱為系數行列式；的分子行列式可以看成是把系數行列式的第1列換成方程組(1.1)中的常數項得到的，而的分子行列式則可以看成是把系數行列式的第2列換成式(1.1)中的常數項得到的。
例1.1 用二階行列式解線性方程組
解 由于
因此
，
對于三元一次線性方程組
(1.4)
可引入三階行列式的概念。我們稱
(1.5)
為三階行列式。它有三行三列，共六項的代數和。這六項的和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素的乘積取正號，從右上角到左下角三個元素的乘積取負號，如圖1.2所示。
=
圖1.2
對于三元一次線性方程組(1.4)的求解，也有類似二元線性方程組的解的表達式(1.3)的結論。
設
，，，
當時，方程組(1.4)有解，且解可簡單地表示成
，， (1.6)
例1.2 計算
解 由三階行列式的定義得
例1.3 解線性方程組
解
，
，
由式(1.6)得
例1.4 滿足什么條件時有
(其中均為實數)
解
由題知，所以a、b須同時等于0。
因此，當且時，給定的行列式等于0。
……
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