《常微分方程定性與穩定性方法》是為理工類專業的碩士研究生和高年級本科生的需要所編寫的一《常微分方程定性與穩定性方法》.《常微分方程定性與穩定性方法》為第二版.主要包括定性理論、穩定性理論和分支理論三個部分.內容著眼于應用的需要 取材精練，注意概念實質的揭示、定理思路的闡述、應用方法的介紹和實際例子的分析，并配合內容引入計算機軟件. 每章后附有習題供讀者練習.
第二版前言
第一版前言
第 1 章 基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解對初值和參數的連續依賴性和可微性 9
1.4 比較定理 13
習題 1 21
第 2 章 動力系統的基本知識 23
2.1 自治系統與非自治系統 23
2.1.1 相空間與軌線 23
2.1.2 自治系統的基本性質 25
2.1.3 動力系統的概念 28
2.2 軌線的極限集合.29
2.2.1 常點與奇點 29 2.2.2 自治系統解的延拓性 30
2.2.3 極限集與 極限集及其基本性質 32
2.3 平面上的極限集.35
2.3.1 平面有界極限集的特性與結構35
2.3.2 Poincar.e-Bendixson 環域定理37
2.4 極限集的應用實例 39
2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39
2.4.2 三極管電路的 van der Pol 方程 42
習題 2 44
第 3 章 穩定性理論 46
3.1 穩定性的定義和例子 46
3.1.1 穩定性的幾個定義 46
3.1.2 穩定性的關系及例子 49
3.2 自治系統零解的穩定性 54
3.2.1 V 函數 54？
3.2.2 Liapunov 穩定性定理 55
3.2.3 不穩定性定理 57
3.3 非自治系統零解的穩定性 59
3.3.1 V 函數和 k 類函數 59
3.3.2 零解的穩定性 62
3.3.3 零解的不穩定性 65
3.4 全局穩定性 67
3.4.1 全局穩定的概念和判定定理 67
3.4.2 應用舉例.71
3.4.3 吸引域的估計 73
3.5 線性系統及其擾動系統的穩定性 73
3.5.1 常系數線性系統的穩定性 74
3.5.2 線性系統的擾動 81
3.5.3 非自治線性系統的穩定性 84
3.6 臨界情形下奇點的穩定性分析 87
3.6.1 中心流形.88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 臨界情況下奇點的穩定性分析舉例.95
3.7 Liapunov 函數的構造 102
3.7.1 Liapunov 函數的存在性 102
3.7.2 常系數線性系統的巴爾巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推廣 108
3.7.4 線性類比法 110
3.7.5 能量函數法 112
3.7.6 分離變量法 113
3.7.7 變梯度法 114
3.8 判定穩定性時的比較方法 116
3.8.1 與數量方程的比較 116
3.8.2 與向量方程的比較 120
習題 3122
第 4 章 平面系統的奇點 125
4.1 初等奇點.125
4.1.1 線性系統的孤立奇點 125
4.1.2 非線性系統的雙曲奇點 135
4.2 中心與焦點的判定 140
4.2.1 非雙曲初等奇點的類型與中心的判定定理 140
4.2.2 細焦點及其判定法 147
4.3 高階奇點.157
4.3.1 沿不變直線方向的拉伸變換158
4.3.2 通過極坐標變換的吹脹" 技巧 160
4.3.3 沿 x 與 y 方向的吹脹"165
4.3.4 非齊次 吹脹" 169
4.4 旋轉數與指數 171
4.4.1 旋轉數及其基本性質 171
4.4.2 奇點的指數 173
習題 4177
第 5 章 極限環.179
5.1 基本概念與極限環的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 極限環不存在性的判定法 181
5.2 極限環的存在性.187
5.3 后繼函數與極限環的穩定性.198
5.3.1 Poinear.e 映射與后繼函數 198
5.3.2 曲線坐標與極限環的穩定性200
5.4 極限環的唯一性.204
習題 5211
第 6 章 無窮遠奇點與全局結構 212
6.1 無窮遠奇點 212
6.1.1 Poincar.e 球面與 Poincar.e 變換 212
6.1.2 無窮遠奇點與 Poincar.e 圓盤214
6.2 軌線的全局結構分析舉例 224
習題 6228
第 7 章 分支理論 229
7.1 一個例子.229
7.2 結構穩定與分支現象230
7.2.1 結構穩定的定義 230
7.2.2 結構穩定的等價描述 232
7.2.3 結構不穩定:分支現象 233
7.3 奇點分支.234
7.3.1 一維系統的奇點分支 234
7.3.2 二維或更高維系統的奇點分支.238
7.3.3 給定擾動參數的奇點分支問題.242
7.4 Hopf 分支 243
7.4.1 平面系統的 Hopf 分支 244
7.4.2 利用特征根的共振性求正規形.255
7.4.3 三維或更高維系統的 Hopf 分支 257
7.5 閉軌分支.259
7.5.1 平面系統的閉軌分支 259
7.5.2 三維或更高維系統的閉軌分支.263
7.6 奇異閉軌分支 268
7.6.1 平面系統的同宿分支 269
7.6.2 旋轉向量場 270
7.6.3 平面系統同宿分支的例子 272
7.6.4 關于異宿分支和高維系統奇異閉軌分支的介紹 275
7.7 Poincar.e 分支||從平面閉軌族分支極限環 276
7.7.1 平面 Hamilton 系統的擾動問題 276
7.7.2 高階 Melnikov 函數.284
7.7.3 平面可積系統的擾動問題 286
7.7.4 弱化的希爾伯特第 16 問題 287
7.8 從高維系統的閉軌族產生周期解的分支問題 289
7.9 Bogdanov-Takens 分支 296
7.9.1 利用變換求正規形 296
7.9.2 余維 2 的 B-T 分支:普適開折的推導 298
7.9.3 余維 2 的 B-T 分支:分支圖與軌線拓撲分類 302
習題 7303
第 8 章 常微分方程的應用舉例 308
8.1 一個三種群相互作用的 Volterra 模型研究 308
8.1.1 正平衡解的穩定性 308
8.1.2 模型平面解的存在性及其漸近性態 311
8.1.3 一個 Volterra 模型的 Hopf 分支 314
8.2 傳染病模型 317
8.2.1 假設和記號 317
8.2.2 SIS 模型 317
8.2.3 SIR 模型 319
8.2.4 SEIR 模型 321
8.3 一個總人口變化的 SEIR 模型的全局性態分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 無病平衡點的穩定性 325 8.3.3 地方病平衡點的穩定性 327
8.3.4 地方病平衡點的全局穩定性329
8.4 三分子反應模型.332
8.4.1 模型及其奇點分析 332
8.4.2 極限環的存在唯一性 334
8.5 一個具有非線性傳染率的 SI 模型的穩定性與分支 336
8.5.1 具有非線性傳染率的 SI 模型 336
8.5.2 平衡點的穩定性 338
8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341
8.6 一個具有飽和恢復率的季節性傳染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生數 348
8.6.2 兩個正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的穩定性 354
習題 8 359
參考文獻362
第1章 基本定理
本章將介紹常微分方程解的一些基本定理，它們是本書的理論基礎.其中有些定理在常微分方程的一般教程中已有論述.這里我們再作復習？補充和提高.
1.1解的存在唯一性定理
在大部分常微分方程教材中，解的存在唯一性定理是采用逐步逼近的近似解序列方法加以證明的，這種方法有其直觀？實用的優點，但步驟復雜.下面對一般的向量微分方程，采用壓縮映像原理給出一個簡捷的證明.
定理1.1(存在唯一性定理) 考慮Cauchy問題①:
其中z為R“中的向量，，是實變量￡和n維向量x的7維向量值函數.若，(￡，z)在開區域G∈R×Rn中滿足下列條件:
(1)，在G內連續，簡記為，∈C(G);
(2)，關于z滿足局部Lipschitz條件，即對于點PO (t0，xo)∈G，和依賴于PO點的常數LPo，使得V(￡，Xl)，(￡，X2)∈Go有不等式成立，其中表示歐氏范數.
則Cauchy問題(1.1.1)在區間上存在唯一的解.其中
證 容易看出，在區間上Cauchy問題(1.1.1)等價于積分方程
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