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第3章微分中值定理及導數應用
在這一章中，我們以微分中值定理為基礎，討論函數的導數在函數極限、曲線性態及一些實際問題中的廣泛應用.
3.1微分中值定理
在本節中，先介紹羅爾(Rolle)定理，然后根據它推出拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
3.1.1羅爾定理
定理3.1.1(羅爾定理)設函數f(x)滿足
(1) 在閉區間\[a,b\]上連續；
(2) 在開區間(a,b)內可導；
(3) 在區間兩端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，
那么至少存在一點ξ∈(a,b)，使得函數在該點處的導數為零，即f′(ξ)=0.
通常稱導數等于零的點為函數的駐點(或穩定點、臨界點).
羅爾定理的幾何意義: 函數y=f(x)的圖形是［a,b］上圖31
的一條連續的曲線段，除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，并且兩端點處的縱坐標相等，則曲線上至少存在一點ξ，過該點的切線平行于x軸，即f′(ξ)=0，如圖31所示.從圖形上不難看出，曲線上的最高點或最低點處的切線都平行于x軸.這給了我們一個證明定理的啟發: 點ξ可能是最值點.
證由于函數y=f(x)在閉區間［a,b］上是連續，由閉區間上連續函數的性質知，函數y=f(x)在閉區間［a,b］上必有最大值M和最小值m.這樣，只能分為兩種情況進行討論:
(1) 若M=m，則f(x)在閉區間［a,b］上是常值函數，因此在(a,b)內恒有f(x)=M，從而(a,b)內的每一點都可以取為定理中的ξ.
(2) 若M>m，由于f(a)=f(b)，那么M，m中至少有一個不等于f(x)在區間［a,b］的端點處的函數值.不妨假設在(a,b)內存在一點ξ，使得f(ξ)=M.下面證明f(x)在ξ處的導數為零，即f′(ξ)=0.
因為f(x)在(a,b)內一點可導，則f′(ξ)存在，即limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx 存在，根據極限存在的充要條件，有 limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx.函數f(x)在點ξ∈(a,b)處取得最大值M，只要ξ+Δx∈［a,b］，都有f(ξ+Δx)≤f(ξ)， 或f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.當Δx>0時，f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，根據函數極限的性質，有f′+(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，當Δx<0時，f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0，同理有f′-(ξ)=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0，從而f′(ξ)=f′+(ξ)=f′-(ξ)=0.注若羅爾定理的3個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.
例3.1.1證明方程x5-5x+1=0有且僅有一個小于1的正實根.
證設f(x)=x5-5x+1，因為f(x)在［0,1］上連續，且f(0)=1，f(1)=-3，所以由零點定理可得，存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=0，即x0為方程的小于1的正實根.
設另有x1∈(0,1)，x1≠x0，不妨設x0 3.1.2拉格朗日中值定理
定理3.1.2(拉格朗日中值定理)設函數f(x)滿足
(1) 在閉區間［a,b］上連續；
(2) 在開區間(a,b)內可導，
則至少有一點ξ∈(a,b)，使得等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)或f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a成立.
拉格朗日中值定理的幾何意義: 如果連續曲線y=f(x)的AB上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么在AB上至少存在一點C(ξ,f(ξ))，圖32使得過這點的切線平行于弦AB，如圖32所示.
顯然，當f(a)=f(b)時，本定理的結論即為羅爾定理的結論.這表明羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形.由兩者之間的聯系自然地想到利用羅爾定理證明拉格朗日中值定理，但是在拉格朗日中值定理中，函數f(x)不一定滿足條件f(a)=f(b)，為此構造一個與f(x)有密切聯系的輔助函數F(x)，使它滿足F(a)=F(b)，然后對F(x)使用羅爾定理，最后把F(x)的結論轉化到函數f(x)上. 由定理的結論可得f′(ξ)-f(b)-f(a)b-a=0.
證構造輔助函數F(x)=f(x)-［f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)］，容易驗證函數F(x)在［a,b］上滿足羅爾定理的3個條件，因此至少存在一點ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0，因為F′(x)=f′(x)-f(b)-f(a)b-a，所以f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a.推論1若函數y=f(x)在區間(a,b)上可導，且f′(x)≡0，則在區間(a,b)內 f(x)≡C(C為常數).
證任取兩點x1,x2∈(a,b)，且x1 推論2如果對于任意x∈(a,b)，總有f′(x)=g′(x)，則f(x)-g(x)≡C(C為常數).
例3.1.2證明: arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1).
證由于(arcsinx+arccosx)′=11-x2-11-x2=0,由推論1知 arcsinx+arccosx=C，C為常數. 為了確定常數C，取x=0，則C=arcsin0+arccos0=π2，從而arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1).例3.1.3證明: 當x>0時，11+x 證函數f(x)=lnx在區間［x,1+x］上滿足拉格朗日中值定理的條件，故有f(1+x)-f(x)=ln(1+x)-lnx=(lnx)′x=ξ(1+x-x)=1ξ，ξ∈(x,1+x)，由于 x<ξ<1+x，所以11+x<1ξ<1x，從而11+x 定理3.1.3(柯西中值定理)如果函數f(x)，F(x)在閉區間［a,b］上連續，在開區間(a,b)內可導，且F′(x)≠0，那么至少有一點ξ∈(a,b)，使得等式f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立.
例3.1.4設函數f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內可導，a>0. 證明: 至少存在ξ∈(a,b)，使 ab［f(b)-f(a)］=ξ2f′(ξ)(b-a).
分析證明結論成立，等價于證明f(b)-f(a)1b-1a=f′(ξ)-1ξ2成立.左端正好是兩個函數f(x)，1x在區間［a,b］上的增量之比，且滿足柯西中值定理條件，故可設F(x)=1x.
證設函數F(x)=1x，顯然f(x)與F(x)在區間［a,b］上滿足柯西中值定理條件，于是存在ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)1b-1a=f′(ξ)-1ξ2，ξ∈(a,b)，即至少存在ξ∈(a,b)，使ab［f(b)-f(a)］=ξ2f′(ξ)(b-a).3.2洛必達法則
在第1章研究無窮小量的運算時，已經遇到過兩個無窮小量之比的極限問題.由于這種極限可能為0，可能為非零常數，也可能不存在，因此把兩個無窮小量之比的極限稱為00型未定式.同理兩個無窮大量商的極限稱為∞∞型未定式，本節我們將利用洛必達法則來研究未定式極限.
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