本書共分9章, 第1章為預備知識, 包含級數、留數定理及其應用、傅里葉級數與積分、傅里葉變換和拉普拉斯變換, 其主要目的是給讀者作簡要的復習和適當的知識補充, 為學習后面各章節知識作必要的準備, 第2至第8章詳細地講述了數學物理方程的導出、基本的求解方法和技巧, 第9章講解了一些常見的非線性微分方程及其解法。
序
前言
第1章 預備知識
1.1 復數及其運算
1.1.1 復數及其共軛
1.1.2 復數的運算
1.2 復變函數的導數和積分
1.2.1 復變函數
1.2.2 復變函數的微商（導數）
1.2.3 復變函數的積分
1.2.4 平面標量場
1.3 級數
1.3.1 復數項級數
1.3.2 泰勒級數
1.3.3 洛朗級數
1.4 留數定理及其應用
1.4.1 奇點的類型
1.4.2 留數定理
1.4.3 留數定理在實變函數定積分計算中的應用
1.5 傅里葉級數與積分
1.5.1 傅里葉級數
1.5.2 復數形式的傅里葉級數
1.5.3 實數傅里葉級數與復數傅里葉級數的比較
1.5.4 傅里葉積分
1.6 傅里葉變換
1.7 拉普拉斯變換
習題
第2章 定解問題
2.1 定解問題的提法
2.2 數學物理方程的導出與歸類
2.2.1 波動方程
2.2.2 運輸方程
2.2.3 穩定分布問題
2.2.4 其他常見的數學物理方程
2.3 定解條件
2.3.1 初始條件
2.3.2 邊界條件
2.4 定解問題的適定性
2.5 線性偏微分方程與疊加原理
2.6 δ函數
2.6.1 δ函數的定義及其性質
2.6.2 δ函數的導數及其性質
2.6.3 δ函數在定解問題中的應用
2.7 二階線性偏微分方程的分類
2.7.1 方程的分類
2.7.2 方程的標準形式
習題
第3章 分離變量法
3.1 齊次方程齊次邊界條件的定解問題
3.1.1 問題的提出
3.1.2 解的物理意義
3.2 分離變量法應用實例
3.3 非齊次波動方程和輸運方程的解法
3.4 非齊次邊界條件的處理
3.5 具有非齊次邊界條件的定解問題
3.6 泊松方程的特解法
3.6.1 泊松方程任意特解的構造
3.6.2 泊松方程的解
3.7 施圖姆-劉維爾本征值問題
3.7.1 施圖姆-劉維爾方程
3.7.2 施圖姆-劉維爾本征值問題
3.7.3 施圖姆-劉維爾本征值問題的普遍性質
3.7.4 施圖姆-劉維爾本征值問題與厄米算符本征值問題的關系
習題
第4章 行波法與積分變換法
4.1 一維波動方程的達朗貝爾公式
4.2 三維無界空間中的波動方程
4.3 積分變換法
4.3.1 傅里葉變換的應用
4.3.2 拉普拉斯變換的應用
習題
第5章 格林函數法
5.1 拉普拉斯方程兩種常見的定解問題
5.1.1 內問題
5.1.2 外問題
5.2 調和函數的基本性質
5.3 格林函數
習題
第6章 貝塞爾函數
6.1 貝塞爾方程的導出
6.2 貝塞爾方程的解
6.3 n為整數時貝塞爾方程的通解
6.4 貝塞爾函數的遞推公式
6.5 將函數展為貝塞爾函數的級數
6.5.1 貝塞爾函數的零點
6.5.2 貝塞爾函數的正交性
6.5.3 廣義傅里葉級數
6.6 虛宗量貝塞爾函數與開爾文函數
習題
第7章 勒讓德多項式
7.1 勒讓德方程的導出
7.2 勒讓德方程的解
7.2.1 勒讓德方程的解
7.2.2 勒讓德多項式
7.3 勒讓德多項式的性質
7.3.1 勒讓德多項式的幾條基本性質
7.3.2 勒讓德多項式的正交性
7.3.3 勒讓德多項式的母函數（或生成函數）
7.3.4 勒讓德多項式的遞推公式
7.4 勒讓德多項式的應用
7.5 連帶勒讓德方程的解
7.5.1 連帶勒讓德函數
7.5.2 球函數
習題
第8章 求解線性偏微分方程近似方法簡介
8.1 變分法
8.1.1 泛函
8.1.2 變分問題
8.1.3 變分法的類型及例子
8.1.4 帶有附加條件的變分問題
8.2 差分法
8.2.1 將微分方程化為差分方程
8.2.2 差分方程的求解方法
習題
第9章 非線性微分方程
9.1 特殊高次一階微分方程的解法
9.2 非線性數學物理方程
9.2.1 非線性常微分方程
9.2.2 非線性偏微分方程
9.2.3 函數方程
9.3 某些非線性微分方程的求解方法
9.4 橢圓方程及其雅可比橢圓函數解
9.4.1 第一類橢圓方程
9.4.2 第二類橢圓方程
9.4.3 第三類橢圓方程
9.4.4 第四類橢圓方程
9.5 二階非線性微分方程及其解法
9.6 非線性微分方程的物理分析
9.7 非線性微分方程的行波法
習題
習題參考答案
參考書目
附錄
附錄A 矢量微分算符
附錄B 函數
附錄C 橢圓積分與橢圓函數
附錄D 拉普拉斯變換簡表
新書資訊