程叢電編著的《實變函數(shù)引論》以n維歐氏空間及其上的實函數(shù)為對象，講授勒貝格測度理論與勒貝格積分理論，全書共7章，第1章導(dǎo)言，簡單介紹勒貝格測度與勒貝格積分的起源及其基本理念；第2～6章分別為集合、n 維歐氏空間、測度論、可測函數(shù)、積分論；第7章有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)，除了介紹有界變差甬數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)這兩項內(nèi)容之外，還簡單地介紹了斯蒂爾切斯積分和勒貝格-斯蒂爾切斯測度與積分，每一章的末尾均配有相當數(shù)量的例題選講和習題。 《實變函數(shù)引論》可作為高等院校數(shù)學專業(yè)及其他相關(guān)專業(yè)“實變函數(shù)論”課程的教材或教學參考書。
程叢電編著的《實變函數(shù)引論》這門課程的內(nèi)容都比較抽象，所以對于大多數(shù)學生來說，學習這門課程有一定的困難，如果能夠出版一本既可以全面、深入、系統(tǒng)地講授“實變函數(shù)論”的內(nèi)容，又適合于廣大學生們接受的專業(yè)書，則其對于推動我國數(shù)學教育事業(yè)的發(fā)展將是很有意義的。
前言
第1章導(dǎo)言
1. 1黎曼積分與勒貝格積分
1. 2例題選講
習題
第2章集合
2．1基礎(chǔ)知識
2．2對等與基數(shù)
2．3可列集
2．4連續(xù)系統(tǒng)
2．5例題選講
習題二
第3章n維歐氏空間
3．1度量空間與n維歐氏空間
3．2關(guān)聯(lián)點與關(guān)聯(lián)集
3．3開集與閉集
3．4緊致集與完備集
3．5開集和閉集的構(gòu)造
3．6例題選講
習題三
第4章測度論
4．1若爾當測度
4．2勒貝格測度的定義
4．3可測的充要條件
4．4勒貝格測度的性質(zhì)
4．5可測集類
4．6例題選講
習題四
第5章可測函數(shù)
5．1可測函數(shù)的定義
5．2函數(shù)可測的充要條件
5．3常規(guī)可測函數(shù)
5．4可測函數(shù)的性質(zhì)
5．5幾乎處處成立的命題
5．6葉果洛夫定理
5．7魯津定理
5．8依測度收斂
5．9例題選講
習題五
第6章積分論
6．1勒貝格積分的定義
6．2可積條件
6．3勒貝格積分的性質(zhì)
6．4極限定理
6．5富比尼定理
6．6例題選講
習題六
第7章有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)
7．1有界變差函數(shù)
7．2有界變差函數(shù)的性質(zhì)
7．3絕對連續(xù)函數(shù)
7．4斯蒂爾切斯積分
7．5例題選講
習題七
參考文獻
第1章 導(dǎo)言
實變函數(shù)論這個數(shù)學分支形成于19世紀末20世紀初，主要是由法國數(shù)學家勒貝格（Lebesgue，1875-1941）所創(chuàng)立的，其中心內(nèi)容是勒貝格測度與勒貝格積分，它是黎曼（Riemann，1826-1866）積分的推廣與發(fā)展，是在深入地研究實函數(shù)的黎曼積分性質(zhì)與微分性質(zhì)的基礎(chǔ)上，為了克服牛頓（Newton，1642-1727）和萊布尼茨（Leibniz，1646-1716）所建立的微積分學中存在的不足，尋求一種更加完美的數(shù)學理論而發(fā)展起來的。由于它奠定了近代分析學的基礎(chǔ)，所以近百年來，它一直被譽為“跨入近代數(shù)學的門檻”。學習這門課程不僅可以加深對于數(shù)學分析中各項內(nèi)容的認識，還可以為進一步學習現(xiàn)代數(shù)學打下良好的基礎(chǔ)。
下面通過大略地回顧相關(guān)的歷史背景與黎曼積分，對勒貝格積分的形成及其理念作一簡單的介紹，使大家對這門課程先有個初步的了解。
1.1 黎曼積分與勒貝格積分
1.1.1 歷史背景
自從牛頓與萊布尼茨創(chuàng)立微積分開始，微積分因其重要性，引起了許多數(shù)學家的興趣與進一步研究。數(shù)學分析中的許多重要內(nèi)容，如黎曼積分、達布（Darboux）上和與達布下和等，都是在這一過程中形成的。由于黎曼積分的不足，這種研究很快被一系列分析問題阻擋住了。下述三個問題可以比較全面地表明出這一系列問題的本質(zhì)內(nèi)容。
1。微分運算與積分運算的關(guān)系問題
具體地說是下面的問題：
（1）設(shè)F（x）與f（x）是［a，b］區(qū)間上的兩個實函數(shù)，若F′（x）＝f（x），是否橙x∈［a，b］都有F（x）＝∫xaf（t）dt+F（a）？
（2）設(shè)F（x）與f（x）是［a，b］區(qū)間上的兩個實函數(shù)，若F（x）＝∫xaf（t）dt+F（a）（橙x∈［a，b］），是否有F′（x）＝f（x）？
實變函數(shù)引論
（3）F′（x）＝f（x）是否為F（x）＝∫xaf（t）dt+c的充要條件？根據(jù)數(shù)學分析的知識，當f（x）連續(xù)時，這一結(jié)論是正確的。“f（x）連續(xù)”這一條件還能夠進一步擴展嗎？
2.積分與極限的換序問題，即limfn（x）dxlimfn（x）dx的條件問題n→∞∫ba＝∫ban →∞
通過學習數(shù)學分析知道，當fn（x）在［a，b］上一致收斂于f（x），并且對于每一個自然數(shù)n，fn（x）在［a，b］上都連續(xù)時，這一等式是成立的。但是，在許多不滿足上述條件的情況下，該等式也成立。這就引出了問題，它究竟在什么條件下成立？在什么條件下不成立？在生產(chǎn)實際中所遇到的許多函數(shù)都不是初等函數(shù)，當處理與非初等函數(shù)相關(guān)的一些問題時，通常的做法是用適當?shù)某醯群瘮?shù)去近似地代替這個非初等函數(shù)，這就像用有理數(shù)3。14去近似地代替無理數(shù)π一樣。設(shè)f（x）是一個非初等函數(shù)，｛fn（x）｝是一個初等函數(shù)列，若limfn（x）＝f（x）且上述等式成立，當n→∞要求∫baf（x）dx時，就可以用適當?shù)膄n（x）去代替f（x），然后通過求∫bafn（x）dx而近似地求得∫baf（x）dx。由此，可以看出積分與極限換序問題的重要意義。
注 這種用適當?shù)某醯群瘮?shù)去代替一個非初等函數(shù)的做法，從本質(zhì)上講屬于“逼近方法”，它是數(shù)學的一種基本方法，也是實變函數(shù)論的一種基本方法。
3.關(guān)于G（［0，1］，D）的求積問題
這里1 ， x ∈ Q ，D（x）＝0， x∈R-Q，而G（［0，1］，D）表示函數(shù)D（x）關(guān)于［0，1］區(qū)間的下方圖形（見定義5。1。1）或曲邊梯形，Q和R分別為有理數(shù)集和實數(shù)集。受用∫baf（x）dx求一個非負連續(xù)函數(shù)的面積的啟發(fā)，自然會想到，通過求∫baD（x）dx來求mG（［0，1］，D），其中mG（［0，1］，D）表示G（［0，1］，D）的“面積”。但是，由于D（x）在［0，1］上不可積，所以這條路是走不通的。這就是本問題的瓶頸所在。這些障礙迫使數(shù)學家們不得不進行新的開拓。勒貝格積分就是在這樣的開拓中建構(gòu)起來的。
1.1.2 反思黎曼積分
由于上述三個代表問題都與積分有關(guān)，所以為了尋找新的思路，先對黎曼積分
第1章 導(dǎo)言
進行一番深入的思考是極其有益的。設(shè)f（x）是［0，1］上的黎曼可積函數(shù)，令f（x）， f（x）≥0， f -（x）＝-f（x）， f（x）≤0，f+（x）＝0，f（x）＜0，0，f（x）＞0，
則∫baf（x）dx＝∫baf + d x -∫baf -dx ＝mJG（［a，b］，f+ ）-mJG（［a，b］，f-），（1。1）其中mJE表示E的若爾當（Jordan，1838-1922）測度。由此可見，函數(shù)f（x）的可積性及其積分的值是由G（［a，b］，f+）和G（［a，b］，f-）的若爾當測度所決定的。也就是說，從一定意義上講，可積性是由測度決定的，有什么樣的測度就有什么樣的積分，這樣就找到了積分的“根源”――測度（或度量）。
注 由于f+（x）與f-（x）都是非負函數(shù)，∫xaf +（t）dt與∫xaf -（t）dt都是單調(diào)增的，從而通過式（1。1）可將F（x）＝∫xaf（t）dt表示為兩個增函數(shù)的差。由于這種表示會帶來很多方便，所以后面常用這種表示來研究積分。將一個復(fù)雜的對象用一些較簡單的對象的某種運算表示出來或分解為一些較簡單的對象的某種運算的形式是數(shù)學的一種基本方法，稱之為“表示方法”或“分解方法”，分解質(zhì)因數(shù)與分解因式就屬于這種方法。
思考問題 （1）試考慮（Q∩［0，1］）的若爾當測度；
（2）設(shè)A＝｛（x，y）｜x，y∈（Q∩［0，1］）｝，B＝［0，1］×［0，1］-A，試考慮A與B的若爾當測度。
注 顯然，［0，1］中有限個點所形成的集合的若爾當測度是0，［0，1］的若爾當測度是1，而（Q∩［0，1］）的若爾當測度應(yīng)為多少卻不是一個顯然的問題。有趣的是，［0，1］與（Q∩［0，1］）都是無限集，這意味著無限集與無限集也是有區(qū)別的。［0，1］與（Q∩［0，1］）的元素一樣多嗎？該問題是“計數(shù)”的深入發(fā)展，它是實變函數(shù)論的一個基本問題，第2章主要討論這個問題。
1.1.3 勒貝格測度與勒貝格積分的建立
由上可知，黎曼積分是在若爾當測度的基礎(chǔ)上建立起來的，黎曼積分的不足歸根結(jié)底在于若爾當測度的不足，那么可否建立一種新的測度，使其克服若爾當測度的弱點，從而在其上建立一種新的積分，使其優(yōu)越于黎曼積分，為解決上述的三個代表問題找到突破口呢？勒貝格完成了這項任務(wù)。1902年，他在論文“積分、長度與面積”中所闡明的思想成為古典分析過渡到現(xiàn)代分析的轉(zhuǎn)折點。勒貝格積分理論不僅蘊涵了黎曼積分所達到的成果，而且還在較大程度上克服了后者的局限性。在貝格以后，還有許多數(shù)學家，如里斯（Riesz，1880-1956），當茹瓦（Denjoy，1884-不詳），拉東（Radon，1887-1956）都對積分理論的進一步發(fā)展作出了重要貢獻。這些早期工作由后來的數(shù)學家們不斷地改進，現(xiàn)在所要學習的就是這種經(jīng)過了改進的勒貝格積分理論，其大致過程如下：
（1）建立一種新的測度――勒貝格測度。
（2）設(shè)f（x）是［a，b］上的函數(shù)。當mG（［a，b］，f+）和mG（［a，b］，f-）都存在時，通過將式（1。1）中的mJG（［a，b］，f+）和mJG（［a，b］，f-）分別地轉(zhuǎn)換為mG（［a，b］，f+）和mG（［a，b］，f-）來定義一種新的積分――勒貝格積分，即
（L）∫baf（x）dx＝mG（［a，b］，f+）-mG（［a，b］，f）。
1.1.4 勒貝格積分的意義
勒貝格積分是在勒貝格測度理論的基礎(chǔ)上建構(gòu)起來的，與黎曼積分相比較，它有著許多的優(yōu)勢。例如，它不僅可以統(tǒng)一處理有界函數(shù)與無界函數(shù)的情形，不用像黎曼積分那樣，通過建立廣義積分來處理無界函數(shù)的積分問題，而且還可以允許被積函數(shù)定義在更一般的點集上，這樣它就大大擴充了可積函數(shù)的范圍，特別是它提出了比黎曼積分更加廣泛而有用的收斂定理，成功地解決了上述的三個代表問題，掃除了阻擋分析學進步的障礙。勒貝格積分不僅克服了黎曼積分的弱點，擺脫了黎曼積分的困境，而且還提供了一些寶貴的數(shù)學思想和方法，為許多數(shù)學分支的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。今天它已成為了分析數(shù)學、隨機數(shù)學中不可缺少的工具。
注：計數(shù)、測度（度量）與積分（求和）都是最古老、最基本的數(shù)學問題，分解、逼近與積分都是最基本的數(shù)學方法，從一定意義上來講，“實變函數(shù)論”加深了對于最基本的數(shù)學問題與數(shù)學方法的理解，并說明如何用它們解決某些困難的數(shù)學問題，從而極大地促進了許多新的數(shù)學研究方向的發(fā)展。
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