《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是普通高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”基礎(chǔ)課教材。全書(shū)共9章，主要內(nèi)容包括：隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量及其分布、多維隨機(jī)變量及其分布、數(shù)字特征、大數(shù)定律與中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》每節(jié)配有習(xí)題，每章末（第9章除外）均有本章小結(jié)并配有相應(yīng)的自測(cè)題，書(shū)后附有參考答案。
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》可供高等院校工科、經(jīng)濟(jì)、管理、金融、旅游等專業(yè)的學(xué)生使用，也可作為工程技術(shù)人員、自然科學(xué)工作者和社會(huì)科學(xué)工作者的自學(xué)用書(shū)。
陳文英、吳志丹、王艷芳、王濤、丁巍、張洪陽(yáng)、耿瑩、楊淑輝、王亞男
前言
緒論
第1章 隨機(jī)事件與概率
1.1 隨機(jī)事件和樣本空間
1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)
1.1.2 樣本空間與隨機(jī)事件
1.2 事件間的關(guān)系與運(yùn)算
1.2.1 事件間的關(guān)系與運(yùn)算
1.2.2 事件的運(yùn)算性質(zhì)
1.3 隨機(jī)事件的概率
1.3.1 概率的公理化定義
1.3.2 概率的性質(zhì)
1.3.3 概率的三種計(jì)算方法
1.4 條件概率與乘法公式
1.4.1 條件概率
1.4.2 乘法公式
1.5 全概率公式與貝葉斯公式
1.6 事件的獨(dú)立性與伯努利概型
1.6.1 事件的獨(dú)立性
1.6.2 伯努利概型
本章小結(jié)
自測(cè)題1
第2章 隨機(jī)變量及其分布
2.1 隨機(jī)變量
2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布
2.2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布律
2.2.2 幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量及其分布律
2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)
2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度
2.4.1 連續(xù)型隨機(jī)變量的定義
2.4.2 幾個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)
2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布
2.5.1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
2.5.2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
本章小結(jié)
自測(cè)題2
第3章 多維隨機(jī)變量及其分布
3.1 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)
3.1.1 二維隨機(jī)變量
3.1.2 聯(lián)合分布函數(shù)
3.1.3 邊緣分布函數(shù)
3.2 二維離散型隨機(jī)變量
3.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量
3.3.1 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布
3.3.2 常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量
3.4 條件分布
3.4.1 二維離散型隨機(jī)變量的條件分布
3.4.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布
3.5 隨機(jī)變量的獨(dú)立性
3.5.1 二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性
3.5.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性
3.6 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布
3.6.1 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
3.6.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
本章小結(jié)
自測(cè)題3
第4章 數(shù)字特征
4.1 數(shù)學(xué)期望
4.1.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
4.1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
4.1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望
4.1.4 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
4.2 方差
4.2.1 方差的定義及其計(jì)算公式
4.2.2 方差的性質(zhì)
4.2.3 切比雪夫不等式
4.3 常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差
4.3.1 兩點(diǎn)分布
4.3.2 二項(xiàng)分布
4.3.3 泊松分布
4.3.4 均勻分布
4.3.5 指數(shù)分布
4.3.6 正態(tài)分布
4.4 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)
4.4.1 協(xié)方差的定義與性質(zhì)
4.4.2 相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)
4.4.3 獨(dú)立和不相關(guān)的關(guān)系
4.4.4 矩
4.4.5 協(xié)方差陣
本章小結(jié)
自測(cè)題4
第5章 大數(shù)定律與中心極限定理
5.1 大數(shù)定律
5.1.1 依概率收斂的概念
5.1.2 大數(shù)定律的定義
5.1.3 幾個(gè)重要的大數(shù)定律
5.2 中心極限定理
5.2.1 中心極限定理的客觀背景
5.2.2 兩個(gè)常用的中心極限定理
本章小結(jié)
自測(cè)題5
第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念
6.1 引言
6.1.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法
6.1.2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容
6.2 總體與樣本
6.2.1 總體及其分布
6.2.2 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本
6.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布
6.3.1 統(tǒng)計(jì)量
6.3.2 三大統(tǒng)計(jì)分布
6.3.3 抽樣分布定理
6.4 分位數(shù)
本章小結(jié)
自測(cè)題6
第7章 參數(shù)估計(jì)
7.1 點(diǎn)估計(jì)
7.1.1 點(diǎn)估計(jì)的概念
7.1.2 矩估計(jì)
7.1.3 極大似然估計(jì)
7.2 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)
7.2.1 無(wú)偏性
7.2.2 有效性
7.2.3 一致性
7.3 區(qū)間估計(jì)
7.3.1 置信區(qū)間的概念
7.3.2 置信區(qū)間的求法
7.4 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)
7.4.1 單個(gè)正態(tài)總體均值μ的置信區(qū)間
7.4.2 兩個(gè)正態(tài)總體均值差μ1-μ2的置信區(qū)間
7.5 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)
7.5.1 單個(gè)正態(tài)總體方差σ2的置信區(qū)間
7.5.2 兩個(gè)正態(tài)總體方差比σ21/σ22的置信區(qū)間
7.6 單側(cè)區(qū)間估計(jì)
本章小結(jié)
自測(cè)題7
第8章 假設(shè)檢驗(yàn)
8.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念
8.1.1 假設(shè)檢驗(yàn)基本問(wèn)題的提法
8.1.2 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想
8.1.3 假設(shè)檢驗(yàn)的步驟
8.1.4 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤
8.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)
8.2.1 單個(gè)正態(tài)總體均值μ的檢驗(yàn)
8.2.2 兩個(gè)正態(tài)總體均值μ1;μ2的檢驗(yàn)
8.3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)
8.3.1 單個(gè)正態(tài)總體方差σ2的檢驗(yàn)
8.3.2 兩個(gè)正態(tài)總體方差σ21,σ22的檢驗(yàn)
8.4 單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)
8.4.1 正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)
8.4.2 正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)
8.5 假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)之間的關(guān)系
本章小結(jié)
自測(cè)題8
第9章 概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用
9.1 回歸分析
9.1.1 回歸模型和回歸方程
9.1.2 參數(shù)β0;β1的最小二乘估計(jì)
9.1.3 預(yù)測(cè)問(wèn)題
9.2 質(zhì)量管理的統(tǒng)計(jì)方法
9.2.1 統(tǒng)計(jì)過(guò)程管理
9.2.2 控制圖
9.3 統(tǒng)計(jì)決策簡(jiǎn)介
9.3.1 統(tǒng)計(jì)決策概述
9.3.2 期望值準(zhǔn)則決策法
9.3.3 最大可能性決策法
9.3.4 決策樹(shù)
9.3.5 貝葉斯決策法
參考答案
附錄
附表1 泊松分布表
附表2 正態(tài)分布表
附表3 χ2分布上側(cè)分位數(shù)表
附表4 t分布上側(cè)分位數(shù)表
附表5 F分布上側(cè)分位數(shù)表
第1 章隨機(jī)事件與概率
“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是以數(shù)量化的方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門(mén)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科.20世紀(jì)以來(lái),概率論向各個(gè)領(lǐng)域的滲透已成為近代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要特征之一,并被廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)、生活的各個(gè)方面,其理論和方法正在為時(shí)代發(fā)展和社會(huì)建設(shè)發(fā)揮著不可替代的獨(dú)特作用.
本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.其主要內(nèi)容包括：隨機(jī)事件和樣本空間,事件間的關(guān)系與運(yùn)算,概率的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法,條件概率與乘法公式,全概率公式與貝葉斯公式,事件的獨(dú)立性與伯努利概型.
1.1 隨機(jī)事件和樣本空間
1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)
我們所指的試驗(yàn)是一個(gè)廣義的概念,它可指對(duì)某個(gè)過(guò)程的記錄、對(duì)一個(gè)問(wèn)題的調(diào)查、各種科學(xué)實(shí)驗(yàn)等.
1. 隨機(jī)現(xiàn)象
什么是隨機(jī)現(xiàn)象？這可以用兩個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn)來(lái)闡明：
試驗(yàn)1 一袋裝有3 個(gè)外形完全相同的白球, 從中任取一球;
試驗(yàn)2 一袋裝有3 個(gè)外形完全相同但顏色不同的球, 從中任取一球.
對(duì)于試驗(yàn)1,根據(jù)其條件,我們就能斷定取出的必是白球.像這樣在試驗(yàn)之前能斷定結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.確定性現(xiàn)象非常廣泛.例如,同種電荷互相排斥;標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到100.C會(huì)沸騰;邊長(zhǎng)為a,b的矩形,其面積必為ab.諸如此類都是確定性現(xiàn)象.?
對(duì)于試驗(yàn)2,根據(jù)其條件,在球沒(méi)有取出之前,不能斷定取出的是哪種顏色的球.我們把在試驗(yàn)之前無(wú)法知道確切結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.隨機(jī)現(xiàn)象更是廣泛地存在于客觀世界之中.例如,拋一枚硬幣,落地后可能出現(xiàn)正面,也可能出現(xiàn)反面;新生嬰兒可能是男孩,也可能是女孩;將來(lái)某日某種股票的價(jià)格可能漲,可能跌,也可能價(jià)格不變.諸如此類都是隨機(jī)現(xiàn)象.
2. 隨機(jī)試驗(yàn)
試驗(yàn)常用大寫(xiě)字母E,E1,E2,表示.下面看幾個(gè)試驗(yàn)的例子：
E1：擲一枚骰子,觀察朝上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);
1.1 隨機(jī)事件和樣本空間5
E2：先后拋兩次硬幣,觀察正面與反面出現(xiàn)的情況;E3：記錄一部熱線電話在2分鐘內(nèi)接到電話的次數(shù);E4：按戶調(diào)查農(nóng)村居民年購(gòu)買(mǎi)食品、家電的支出.以上試驗(yàn)具有三個(gè)特點(diǎn)：
(1) 試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;
(2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不唯一, 但能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;
(3)試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生.滿足上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).以后我們所說(shuō)的試驗(yàn)均指隨機(jī)試驗(yàn).
1.1.2 樣本空間與隨機(jī)事件
1. 樣本空間
為了研究隨機(jī)試驗(yàn)E,首先需要知道E的一切可能出現(xiàn)的結(jié)果.我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記作Ω.其中每一個(gè)可能的結(jié)果稱為樣本點(diǎn),記作ω.
例1寫(xiě)出1.1.1小節(jié)中隨機(jī)試驗(yàn)E1,E2,E3,E4對(duì)應(yīng)的樣本空間Ω1,Ω2,Ω3,Ω4.解Ω1={1, 2, 3, 4, 5, 6}; Ω2 ={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)};
Ω3 = {0, 1, 2, ? ? ?}; Ω4 = {(x,y)|x.0,y.0} ,
其中Ω1,Ω2中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為有限個(gè),稱為有限樣本空間;Ω3,Ω4中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè),稱為無(wú)限樣本空間;又因?yàn)棣?中的樣本點(diǎn)可以按一定順序排列,又稱為可列樣本空間.
2. 隨機(jī)事件
進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí),人們常關(guān)心某一類結(jié)果是否發(fā)生.如調(diào)查農(nóng)村每戶居民年購(gòu)買(mǎi)食品、家電的支出是否分別大于5000元和3000元,記A={(x,y)| x>5000,y>3000},顯然A是Ω4的子集.一般地,樣本空間Ω的任意子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.事件一般用大寫(xiě)的字母A,B,C,A1,A2等表示.
隨機(jī)事件發(fā)生是常用的一個(gè)術(shù)語(yǔ),規(guī)定：隨機(jī)事件A發(fā)生. 隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件.樣本空間Ω有兩個(gè)特殊的子集：一
個(gè)是空集.,它不包含任何樣本點(diǎn),因此在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,稱為不可能事件;另一個(gè)是Ω本身,由于它包含了試驗(yàn)所有可能的結(jié)果,所以在每次試驗(yàn)中它總是會(huì)發(fā)生,稱為必然事件.
例2在公路上隨機(jī)抽查10輛汽車(chē),考察其中公有車(chē)輛數(shù),寫(xiě)出樣本空間并將下列事件用列舉法表示為集合的形式：
第1 章隨機(jī)事件與概率
A = {沒(méi)有公車(chē)},
B = {有1 輛或2 輛公車(chē)},
C = {公車(chē)不超過(guò)3 輛},
D = {公車(chē)多于2 輛}.
解Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A = {0},B = {1, 2},
C = {0, 1, 2, 3},D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
注(1)對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)而言,當(dāng)試驗(yàn)的目的不同時(shí),樣本空間往往是不同的.如把籃球運(yùn)動(dòng)員投籃作為隨機(jī)試驗(yàn)時(shí),若以考察是否命中為目的,試驗(yàn)的樣本空間Ω={中, 不中};若以考察投籃的得分情況為目的,試驗(yàn)的樣本空間Ω={0, 1, 2, 3}, 所以我們應(yīng)從試驗(yàn)的目的來(lái)確定樣本空間.
(2)必然事件和不可能事件本來(lái)沒(méi)有隨機(jī)性可言,但為了研究問(wèn)題的需要,常把它們看成隨機(jī)事件的極端情況.
習(xí)題1.1
1. 判斷下列試驗(yàn)是否為隨機(jī)試驗(yàn)：
(1)在一定條件下進(jìn)行射擊,觀察是否擊中靶上紅心;
(2) 在恒力作用下一質(zhì)點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng);
(3)在4個(gè)同樣的球(標(biāo)號(hào)1,2,3,4)中,任取一只,觀察所取球的標(biāo)號(hào).
2.有五件產(chǎn)品,其中有一件次品(記為a),四件正品(記為b1,b2,b3,b4).從中一次取出兩件,觀察結(jié)果.寫(xiě)出樣本空間.
3.連續(xù)投三枚硬幣,觀察正面與反面出現(xiàn)的情況.寫(xiě)出樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)：
A = {第一枚出現(xiàn)正面,第三枚出現(xiàn)反面B={第二枚出現(xiàn)反面}; }; C = {至少出現(xiàn)一個(gè)正面}.
4. 寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：
(1)將一枚骰子連投四次,觀察點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)是6的次數(shù).
(2)丟甲、乙兩枚骰子,觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和.
(3)袋中有標(biāo)號(hào)為1,2,3的三個(gè)球.
①隨機(jī)取兩次,一次一個(gè),取后不放回,觀察取到球的序號(hào);
②隨機(jī)取兩次,一次一個(gè),取后放回,觀察取到球的序號(hào);
③一次隨機(jī)取兩個(gè),觀察取到球的序號(hào).
5. 寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：
(1)記錄一個(gè)小班(30人)一次概率考試的平均分?jǐn)?shù)(以百分制記分);
(2)生產(chǎn)某產(chǎn)品直到有10件正品為止,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù).
6. 寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)事件：
(1)由1,2,3三個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù);
(2)10個(gè)零件,其中有2件次品,隨機(jī)的取5件.A={正品個(gè)數(shù)多于次品個(gè)數(shù)},B={正品個(gè)數(shù)不多于次品個(gè)數(shù)}.
1.2 事件間的關(guān)系與運(yùn)算
事件是一個(gè)集合,事件間的關(guān)系和運(yùn)算就是集合間的關(guān)系和運(yùn)算,只是在概率論中從事件的角度給出了新的術(shù)語(yǔ).
1.2.1 事件間的關(guān)系與運(yùn)算
1. 事件的包含與相等
若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,即A的每一個(gè)樣本點(diǎn)都是B的樣本點(diǎn),則稱事件A包含于事件B,或稱事件B包含事件A,記作A. B 或者B . A.圖1.1是其文氏圖.
若A . B 且B . A,即A與B含有相同的樣本點(diǎn),則稱事件A與事件B相等,記作A=B.
2.互斥事件(互不相容事件)
若事件A與事件
B 不能同時(shí)發(fā)生, 即A
與B沒(méi)有公共的樣本點(diǎn),則稱事件A與事件B是互斥事件或互不相容事件.圖1.2是其文氏圖.互斥事件包含三種情形：①A發(fā)生B不發(fā)生;②B發(fā)生A不發(fā)生;③A與B都不發(fā)生.
圖1.1圖1.2
若事件A1,A2,,An中的任意兩個(gè)事件都互斥,則稱這些事件兩兩互斥.同一
???
樣本空間中的基本事件是兩兩互斥的.
3. 對(duì)立事件
“事件A不發(fā)生”這一事件稱為事件A的對(duì)立事件,記作A.事件A的對(duì)立事件A 就是A的補(bǔ)集.圖1.3是其文氏圖.一個(gè)事件與它的對(duì)立事件中有且只有一個(gè)發(fā)生.對(duì)立事件一定是互不相容事件,互不相容事件不一定是對(duì)立事件.
第1 章隨機(jī)事件與概率
4.事件的并(或和)
事件A 與B
至少有一個(gè)發(fā)生,稱為事件
A與B的并(或和),記作A∪ B(或A+B).事件A∪ B發(fā)生意味著要么事件A發(fā)生,要么事件B發(fā)生,要么事件A與B都發(fā)生.圖1.4是其文氏圖.
圖1.3圖1.4
事件的和可以推廣到多個(gè)事件的情形.n個(gè)事件A1,A2,,An的和事件記作
???
nAi,它表示A1,A2,,An中至少有一個(gè)發(fā)生.
???
i=1
5.事件的交(或積)
事件A與B同時(shí)發(fā)生,稱為事件A與B的交(或積)事件,記作A∩ B,也簡(jiǎn)記作AB.圖1.5是其文氏圖.n
類似于n個(gè)事件的和事件,n個(gè)事件A1,A2,,An的積記作.Ai,它表示
???
i=1A1,A2,,An同時(shí)發(fā)生
事件A發(fā)生B不發(fā)生,稱為事件A與B
的差,記作A. B.圖1.6是其文氏圖.
圖1.5圖1.6
1.2.2 事件的運(yùn)算性質(zhì)
下面僅列出事件運(yùn)算所滿足的法則：
(1) 交換律A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A.
(2)結(jié)合律(A∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);(A∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(3) 分配律A ∩ (B ∪ C)=(A∩ B) ∪ (A ∩ C);A∪ (B ∩ C)=(A∪ B) ∩ (A ∪ C).
(4) 對(duì)偶律A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B.
對(duì)偶律也稱德摩根律.上述運(yùn)算律可以推廣到有限個(gè)或可數(shù)個(gè)事件的情形.另外可以驗(yàn)證下列各式的正確性：
A ∪ .=A,A.=.,A∪ Ω=Ω,AΩ=A,
A ∪ A = Ω, AA =.,A=A,A. B = AB = A . AB, A ∪ B = B ∪ AB = A ∪ BA.
例1從一堆產(chǎn)品(正、次品數(shù)都多于2件)中任取2件,判斷下列事件A,B是否互斥？是否對(duì)立?
(1)A={恰有一件次品},B={恰有兩件次品};
(2)A={至少有一件次品},B={至少有一件正品}.
解(1)因?yàn)锳,B不能同時(shí)發(fā)生,所以事件A,B互斥,又因?yàn)锳,B可能都不發(fā)生,所以事件A,B不對(duì)立;
(2)因?yàn)锳,B可能同時(shí)發(fā)生,所以事件A,B不對(duì)立也不互斥.例2設(shè)A,B,C是同一試驗(yàn)中的三個(gè)事件,則
(1)事件“A發(fā)生,B,C不發(fā)生”可表示為ABCˉ;
(2)事件“A,B,C恰有一個(gè)發(fā)生”可表示為ABC∪ ABC ∪ ABC;
(3)事件“A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生”可表示為A∪ B ∪ C;
(4)事件“A,B,C至少有兩個(gè)發(fā)生”可表示為ABC∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC;
(5)事件“A,B,C至多有兩個(gè)發(fā)生”可表示為ABC.
習(xí)題1.2
1.指出下列命題哪些正確,哪些不正確：
(1) A ∪ B = AB ∪ B; (2) A = AB ∪ AB; (3) AB = A ∪ B;
(4)(AB)(AB)=.;(5)若A. B, 則A = AB; (6) 若A . B, 則A ∪ B = A;
(7) 若A . B, 則B . A;(8)若AB=.,則AB = ..
2.甲、乙、丙三位射手向同一目標(biāo)各射擊一次.設(shè)A,B,C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo),試用A,B,C表示下列事件：
(1)甲與乙命中,丙未命中;
(2) 甲、乙、丙都命中;
(3) 甲、乙、丙都未命中;
(4) 甲、乙、丙未都命中;
(5) 甲、乙、丙至少有兩個(gè)命中;
(6) 目標(biāo)被命中.
3.說(shuō)出下列各對(duì)事件A與B之間的關(guān)系：
(1)A={ 2 次投籃全投中},B={2 次投籃恰有一次未投中};
(2)A={ 2 次投籃全投中},B={2 次投籃至少一次未投中};
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