本書是按照教育部高等學校數學與統計學教學指導委員會制定的《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》編寫而成的。全書共分七章，主要內容包括行列式、矩陣的基本概念及其運算，矩陣的初等變換與初等矩陣，n維向量空間，線性方程組解的結構與求解方法，矩陣的特征值與特征向量，以及矩陣的對角化，二次型及其標準化，線性空間與線性變換等。在第二、三章，我們介紹了MATLAB軟件與編程方法。書后附有課程實驗與應用案例附錄。在本書前六章的每一章中專門開辟了一節，介紹本章學科知識的實際應用。相信通過這些案例介紹，將加強不同數學學科之間的內在聯系，闡述數學學科知識應用的廣泛性。同時，通過這些實際應用性例子的介紹，能夠拓展學生的學習思路，增強對線性代數課程的學習興趣。在課程實驗部分，設計了兩個單元的MATLAB系列實驗與練習。在附錄中，給出了幾個帶有一定綜合性的線性代數應用案例并討論了其建模與編程求解方法。本書可作為高等院校理工科與經濟管理類等專業線性代數課程的教材，也可作為工程技術人員的自學用書。
線性代數是大學數學教育中一門重要的基礎課程，是理工科大學生學科知識結構中的一個重要環節。本書的編寫是按照《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》來實施的。首先考慮到作為高等院校理工科與經濟管理類等專業線性代數課程教材，課內學時一般在40學時左右，所以在編寫過程中充分考慮到理工科大學生的知識基礎要求，內容上以基本概念與基本方法為核心，力求做到重點突出,簡明扼要，清晰易懂，便于教學。目前大學教育的一個重要任務就是對大學生創新思維與應用能力的培養。在計算機與互聯網 時代，怎么有效地開展大學教育，尤其數學等基礎學科的教育，似乎碰到了一些瓶頸問題：比如高等數學與線性代數等課程的知識有什么作用，尤其是它與當前一些最新的科技發展領域有什么樣的聯系？這些在數學基礎課程教學中通常很難體現。已有的同類教材中有不少在理論體系的簡潔性方面達到了一個非常高的水平，如果縮減課本中的任何內容，其邏輯體系就不完整，甚至影響到讀者的理解。同時，從很多教材中我們也很難看到數學與不同學科之間，數學與專業學科之間存在哪些內在的知識聯系，更不用說進一步了解該課程具有什么樣的實際應用性。如果對課程知識的新穎性與實用性，對它與其它學科，尤其是與當前最新的科技發展領域的聯系無法了解并有所感受，學生對該學科的學習興趣就會大大降低。所以一本大學教材，特別是數學類的基礎課教材，不應局限在以傳授本學科的基本理論與方法作為其唯一目的，而應該力求以教材為載體，向學生傳授最新的課程內外的知識。新知識的傳授更要兼具對學生的創新思維與應用能力的培養。因此，本書的編寫思想和目標是：不僅要包括本學科基礎知識，同時也力求包含一定的學科外知識，尤其是應用性的知識；而且能夠把教學基本目標與創新思維和應用能力培養 有機地結合在一起，形成一本有自身特色、對讀者有一定啟發性、帶有新思想與新知識傳授的一本教材。然而在本書編寫中要去實現這些想法，編者確實也面臨了很大的困難。為此在編寫過程中，我們至少是從兩個方面做出了努力與改革嘗試。第一，介紹學科知識的廣泛應用。在某個具體學科中，介紹一兩個應用性例子，這往往是易于做到的。但是要介紹該學科中每個概念有什么應用意義與價值，它們與實際問題有什么聯系，這對于數學課程來說通常是很難實現的。為了介紹線性代數學科知識的廣泛應用性，我們在每一章中專門增加了一節來介紹本章概念與方法的應用。這些應用案例或者是跨學科的，或者是與某些科技應用領域相聯系的。比如在第一章增加了行列式幾何意義與應用舉例一節。除了介紹二、三階行列式的幾何意義外，還討論了多項式的結式以及怎么用結式行列式判斷多項式方程根的類型與判別兩個多項式是否有重根等問題。本節的探討中，涉及高等數學學科中的向量運算與導數方程等知識，一定程度上體現了兩個學科之間的聯系。在第二章矩陣概念應用舉例一節，我們介紹了二維圖像增強，還討論了一個空中交通線路問題。圖像增強需要運用概率統計中的基本方法，而后者也可以推廣到矩陣在圖論應用中的一個著名案例，即哥尼斯堡七橋問題。在第三章中介紹了藥方配制、種群基因間的距離以及保密通訊中的密碼設計問題。在第四章中，介紹了化學方程式配平，電路網絡分析與坐標測量。在第五章中探討了生態系統的變化趨勢，一階常系數線性微分方程組求解與Fibonacci數列通項公式推導問題。在第六章則介紹了一類資金使用的優化問題，二次曲線和二次曲面的化簡與類型判別，以及二次型在不等式證明與多元多項式因式分解方面應用的例子。通過這些來自于不同實際領域、不同學科背景下的若干應用案例介紹，我們試圖向讀者傳播這樣的思想：首先，不同的數學學科之間有著不可分割的內在聯系；其次，數學學科知識的應用是無處不在的，其應用的廣泛性是毋庸置疑的；同時，希望通過這些實際應用例子的介紹，能夠拓展學生的學習思路，增強對線性代數課程的學習興趣。在本書編寫中我們也參考了一些國內外有影響、優秀的教材。經過比較權衡，最終采用了在每一章中單獨增加一節來專門介紹本章知識的應用性這一模式。增加的應用舉例一節帶有*號，表明該節內容不一定要在課堂教學中全部講解，也可以留作學生課外自學之用。這樣既不影響受教學時數限制下的日常教學，同時又能使學生及時地獲得學科應用知識與數學思想的滲透。第二，工程軟件應用能力培養。為了把線性代數課程教學與學生能力的培養更緊密地結合起來，增強學生運用數學知識與數學軟件的能力，在本書第二、三章，以循序漸進的方式，簡要地介紹了工程數學軟件MATLAB在線性代數運算方面的基本功能與編程實現方法，力求解決大學生中常見的學習、運用軟件入門難的問題。在本書的每一個章節，如果所涉及的線性代數課程中的基本問題用單純分析方法去解決（手工推導與計算）比較復雜與困難，我們就適時地介紹使用軟件編程方法去解決問題的思想。盡力實現課程內容與軟件使用方法的無縫連接，使學生感受到數學軟件不是可有可無，或者只是起到一個錦上添花的作用，而是對傳統分析方法必要的擴展與補充。MATLAB與很多流行軟件一樣，入門不易進階更難。怎樣使得學習者能達到軟件使用與編程的更高水平，我們在書后增加了課程實驗部分，不僅是對課程基礎知識的鞏固與提高，同時也會進一步加強學生運用MATLAB編程方法解決實際問題的能力。按照課程內容與問題的難易，實驗部分又被分為兩個小節，以便獲得更好的遞進學習效果。把數學實驗的思想引入到數學基礎課程教學中, 把課程教學、實驗教學和應用性教學有機地結合在一起，逐步培養學生應用數學知識、運用計算機方法和使用已有的軟件來解決實際問題的能力,這樣的教學環節其重要性是毋庸置疑的。在書后的附錄部分，我們進一步給出了幾個帶有一定的綜合性與復雜性的應用案例。在這些案例中，將把數學知識運用、應用性問題系統求解與軟件使用的水平推進到一個更高的層次。本書共分七章，外加課程實驗與一個附錄。前七章主要介紹了行列式、矩陣、n 維向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型、線性空間、線性變換的基本概念，以及行列式計算，矩陣運算，線性方程組求解，特征值與特征向量計算和二次型標準化方法等線性代數傳統內容。在第二、三章末尾，簡要介紹了工程數學軟件MATLAB的基本功能與編程方法。在前六章的每一章中，專門增加了本章知識的應用案例介紹一節。在實驗部分給出了兩個單元的上機練習指導；在附錄中，我們介紹了幾個綜合應用案例與MATLAB編程求解。對每章配備的習題，以及編程實驗部分的自我練習，書后給出了部分習題參考答案或解答。本書是在原有同名教材基礎上的一本新編教材。邵建峰、劉彬、王成、殷翔等參加了原教材的編寫，后經多次的再版修訂。這次再由邵建峰、劉彬對原教材做了系統和仔細的增刪修改與審定工作，尤其在增強教材特色方面做了相當大的改變。施慶生、劉國慶，程浩老師對新版書編寫提出了很多建議，石瑋、魯曉磊老師等審閱了部分書稿。本書的出版得到了南京工業大學教務處新教材建設立項支持和化學工業出版社的大力幫助。在此謹對在本書編寫與出版過程中給予支持和幫助的有關部門表示感謝！由于時間倉促和編者水平所限,書中錯漏之處難免存在,還望使用本書的老師與學生批評指正。編者2017年6月
第一章行列式1
第一節n階行列式1
第二節n階行列式的性質7
第三節行列式的計算11
第四節克萊姆(Cramer)法則15
第五節*行列式的幾何意義與應用舉例20
習題一25
第二章矩陣30
第一節矩陣的概念30
第二節矩陣的運算34
第三節可逆矩陣41
第四節分塊矩陣47
第五節矩陣的初等變換與初等矩陣53
第六節方陣求逆·齊次線性方程組有非零解的判定58
第七節*矩陣概念應用舉例63
第八節MATLAB軟件簡介71
習題二82
第三章向量組的線性相關性與矩陣的秩87
第一節n維向量87
第二節線性相關與線性無關88
第三節向量組的秩與等價向量組93
第四節矩陣的秩97
第五節矩陣的非零子式·等價標準形102
第六節n維向量空間104
第七節向量的內積與正交矩陣108
第八節*向量概念應用舉例114
第九節MATLAB計算與編程初步122
習題三132
第四章線性方程組136
第一節齊次線性方程組136
第二節非齊次線性方程組143
第三節*線性方程組應用舉例147
習題四152
第五章特征值與特征向量·矩陣的對角化155
第一節方陣的特征值與特征向量155
第二節相似矩陣和矩陣的對角化162
第三節實對稱矩陣的對角化167
第四節*特征值與特征向量應用舉例172
習題五176
第六章二次型179
第一節二次型及其矩陣表示179
第二節化二次型為標準形183
第三節慣性定理186
第四節正定二次型與正定矩陣190
第五節*二次型理論應用舉例194
習題六201
第七章線性空間與線性變換204
第一節線性空間的定義與性質204
第二節線性空間的維數、基與坐標207
第三節基變換與坐標變換210
第四節歐氏空間214
第五節線性變換218
第六節線性變換的矩陣表示221
習題七225
課程實驗228
實驗一矩陣、行列式、方程組計算與應用問題228
實驗二矩陣的特征值、特征向量計算與應用編程232
附錄線性代數編程應用案例238
案例一投入產出模型238
案例二矛盾方程組求解與多項式曲線擬合241
案例三比賽排名問題244
案例四多元函數極值的判定與求法248
案例五種群的年齡結構模型250
部分習題參考答案255
實驗練習解答與提示263
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