本書首先介紹了集合論和拓撲學的基礎知識，然后結合微積分的發展簡史與不完善之
處，從分析學的角度系統地介紹了實變函數的基本理論框架. 全書所列內容均由作者多年講
義結合國際上*的《實分析》教材內容整理而成，輔以數學史的注解，對初學者真正學懂
這門專業課十分有益.
本書采用國際上*的體系講述勒貝格積分*基本的內容，主要介紹一維的勒貝格積分理論。對學習實變函數論所需集合論和拓撲學知識用*小的篇幅作了系統講述。尤其對建立勒貝格積分所需的集合論知識用很小的篇幅作了系統而深入的介紹。對學習實變函數論所需拓撲學知識采用現代拓撲學的觀點講述。本書盡量采用拓撲學的方式講述，使讀者能夠了解實變函數論中結果成立的拓撲背景，也便于讀者繼續深入一般測度論的學習。本書還對實變函數論中主要概念和結論的歷史背景知識作了適當介紹。
序言
了解歷史的變化是了解這門科學的一個步驟.陳省身積分學的歷史最早可以追溯到公元前 3世紀時 , Archimedes(阿基米德 )利用圓的內接多邊形計算圓的周長和面積.中國古代魏晉時期 (公元 3世紀)劉徽獨立于西方創立了割圓術計算圓的周長、面積、圓周率等 .隨后南北朝時期 (公元 5世紀)祖沖之發展了割圓術,成功地提高了圓周率的精度.割圓術的思想其實就是現代分析中的無限分割.17世紀 Newton(牛頓 )計算積分的流數法和 Leibniz(萊布尼茨 )的《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》一書宣告微積分的正式誕生 . 18世紀 ,微積分發展迅速，大部分積分計算方法都是這一時期給出的，其中對分析學的發展貢獻巨大的數學家有 Euler(歐拉 )、Bernoulli(伯努利 )兄弟、 Taylor(泰勒)、Lagrange(拉格朗日 )、Legendre(勒讓德 )等.需要特別指出的是 , 18世紀微積分發展的一個歷史性轉折是函數被放到了核心位置 ,此前數學家是以曲線作為主要研究對象的. Euler在他的《無限小分析引論》中明確宣布：數學分析是關于函數的科學 .需要說明的是, Newton和 Leibniz的微積分關于無限小概念的使用比較隨意,容易引起混亂 ,當時引起不少人的質疑 .因此數學家們意識到分析需要嚴格化來消除這些混亂和隨意性 .分析的嚴格化工作的杰出人物有 dAlambert(達朗貝爾 )、Euler、Lagrange等人 ,其中 Euler和 Lagrange引入了形式化的觀點,而 dAlambert則引入了極限的觀點 .到了 19世紀初 ,分析的嚴格化已經卓有成效 ,其中最重要的代表人物是 Cauchy(柯西 ),他給出了微積分基本定理的現代形式和級數的收斂性的定義等一系列重要工作 . 19世紀中期 ,為了彌補 Cauchy等人采用的 無限地趨近 這種說法不夠嚴謹的不足 , Weierstrass(魏爾斯特拉斯 )引入了現在分析中采用的嚴謹的 ε-語言 ,重新定義了極限、連續函數、導數等分析中的主要概念 ,使得分析達到了非常嚴密的程度 ,因此 Weierstrass被稱為現代分析之父.在分析的嚴格化過程中 ,數學家們遇到了極大的困難 .一些基本概念如極限、實數、級數等的研究涉及無窮多個元素構成的集合 ,比如不連續函數的連續點和不連續點構成的集合 .為了克服這些困難 , Dirichlet(狄利克雷)、Riemann(黎曼 )等人作了不少工作 .而 Cantor(康托爾 )則走得更遠 ,他在這一研究過程中系統發展了點集理論 ,開拓了一個全新的數學領域 集合論.集合論已經成為現代數學的基礎.19世紀末 20世紀初，分析已經成為數學的基礎，其內容已經非常豐富 ,體系也相對比較完整 .然而 ,在很多地方分析學還存在較大的局限性和不完美之處.比如： (1)一個函數 Riemann可積的充要條件是什么 ?能否給出類似于連續性的 Riemann可積的充要條件 ? (2)極限與積分次序交換問題 .如果函數列不一致收斂,是否函數列的極限和積分次序一定不可交換? (3)微積分基本定理在被積函數不連續時是否成立？針對上述問題 ,在集合論的基礎上 Lebesgue發展了一套完整的積分理論 Lebesgue積分.和 Riemann積分相比 , Lebesgue積分具有更好的分析性質 .比如 ,可積函數類更廣 ; Lebesgue積分和極限可以交換次序的條件很弱 ;微積分基本定理成立的條件不僅限于連續函數.此外,利用 Lebesgue積分可以給出函數 Riemann可積的充要條件 . Lebesgue積分理論已成為許多現代數學分支的基礎 ,如公理概率論、計算數學、分形幾何等；也被廣泛應用于經濟學、計算機科學等應用學科當中.本書介紹的實變函數論歷來對數學專業來說是一門較難的課程 .作者近年來一直從事實變函數論課程的教學工作 .這本《實變函數論》教材以授課講義為基礎,結合國際上最新的《實分析》教材內容而形成 .本書首先對學習實變函數論需要的集合論和拓撲學基礎知識作了系統介紹.作者在教學過程中深感初學者學習實變函數論的第一個難點就是對無限概念的理解 ,因此在集合論部分對相關的無限集知識 ,如集合的基數、選擇公理、連續統假設等作了較詳細的介紹 .為了便于和拓撲學課程銜接 ,教材中拓撲學部分的內容是采用拓撲學課程的體系進行講授 .例如在測度的講述當中本書盡量采用拓撲學的方式 ,結合 Solovay(索洛韋 )關于不可測集存在性的結論對 Lebesgue測度與積分的非構造性特征作了系統介紹 ,力圖讓讀者理解 Lebesgue測度之所以抽象的根本原因 ,這也是實變函數學習的第二個難點 .度過了上述兩個難點后相信讀者學習后續部分內容就不會有太大困難 .在測度論部分對集合可測性的不同定義方式作了系統介紹 ,從而方便讀者閱讀參考書 .本書對積分的講述采用和數學分析類似的處理方式 ,即先系統講述有界集上的有界函數積分再過渡到一般函數積分 ,這樣做的目的是便于讀者和數學分析課程進行比較.微分部分的講述采用的是較為簡潔的極大函數方法.本書所有內容主要講述低維情形 ,如測度部分主要是講一維情形 .只要把低維情形學習好了 ,再推廣到高維不應有太大困難 .本書對相關知識的發展歷史作了適當介紹 ,我們相信相關知識歷史背景的了解對學好實變函數論是必不可少的,至少可以增強學習的目的性,了解前人當時是怎么思考的.本書篇幅雖然簡短 ,但自成一體 .尤其是學習實變函數論所需要的集合論和拓撲學知識的介紹比較完備 .限于篇幅 ,我們只講述實變函數論最基本的理論框架,許多深入的內容,如 Lp空間、 Fourier(傅里葉)分析等完全未涉及.本書引用了書后參考文獻中的相關內容和習題 ;編寫過程中函數論專家、浙江理工大學周頌平教授給出了不少建設性建議 ,他細致審閱了本書全文并作序;本書出版得到浙江理工大學教材建設項目和浙江省一流數學學科建設經費資助 .在此一并表示感謝 .本書以講義形式在浙江理工大學實變函數論課程中多次講述 ,因此同時感謝幾屆學生提出的寶貴意見 .最后特別感謝清華大學出版社為本書出版所付出的努力.編者2016年 12月于浙江理工大學
樊太和，博士，浙江理工大學數學科學系教授，從事拓撲學和模糊推理方面的研究工作和數學課程的教學工作31年。發表學術論文數十篇，開設過30余門數學課程，包括實變函數論，拓撲學等。賀平安，博士，浙江理工大學數學科學系教授，從事生命信息論方面研究工作和數學課程教學工作，發表學術論文數十篇。
目錄
第 1章集合 ................................... 1
1.1集合 ................................. 1
1.1.1集合的概念 ............. 1
1.1.2集合運算 ................ 2
1.2基數的概念 ....................... 8
1.3可數集和不可數集 ............13
習題 1......................................20
第 2章 n維歐氏空間上的拓撲 .......23
2.1 n維歐氏空間上的拓撲概念 .....................................................23
2.1.1開集,內部,拓撲 .....23
2.1.2閉集,閉包,導集 .....27
2.2子空間,乘積空間,緊集和連續映射 ..........................................31
2.2.1子空間 ...................31
2.2.2乘積空間 ...............32
2.2.3緊集 ......................33
2.2.4連續映射 ...............35
2.3開集的結構, Cantor三分集, Borel集 ......................................40
2.3.1開集的結構 ............40
2.3.2 Cantor三分集 .......43
2.3.3 Borel集 ................45
習題 2......................................50
第 3章測度論 ...............................53
3.1外測度 .............................54
3.2可測集 .............................57
3.3可測集類 .........................61
3.3.1可測集的進一步性質 .....................................................61
3.3.2一個不可測集的例子 .....................................................63
3.3.3集合可測性的等價定義 .................................................64
3.3.4 L作為 B的完備化簡介 ..............................................66
習題 3......................................69
第 4章可測函數............................72
4.1可測函數的定義和基本性質 .....................................................72
4.1.1廣義實數集 ............72
4.1.2可測函數 ...............75
4.1.3幾乎處處的概念 .....79
4.2簡單函數 .........................80
4.3可測函數的極限性質和構造 .....................................................83
4.3.1幾乎處處收斂與近一致收斂 ...........................................84
4.3.2依測度收斂和幾乎處處收斂 ...........................................86
4.3.3可測函數的構造 .....89習題 4......................................91
第 5章 Lebesgue積分..................94
5.1 Lebesgue積分的引入:簡單函數的積分 ....................................94
5.2測度有限集合上有界可測函數的積分 .......................................98
5.3 Lebesgue積分和 Riemann積分的關系 ................................... 103
5.4非負可測函數的積分 ....... 106
5.5一般可測函數的積分 ....... 111
5.6乘積測度與 Fubini定理 .. 118
5.6.1二維乘積測度空間 ...................................................... 118
5.6.2 Fubini定理 ..........121
5.6.3乘積集合的可測性 ...................................................... 127
習題 5.................................... 129
第 6章微分 ................................ 134
6.1積分的微分 .................... 134
6.1.1 Hardy-Littlewood極大函數 ........................................ 135
6.1.2 Lebesgue微分定理 ..................................................... 138
6.2函數的微分 .................... 141
6.2.1有界變差函數 ....... 141
6.2.2絕對連續函數 ....... 151
6.2.3跳躍函數的導數 ... 155
習題 6.................................... 158
附錄 A選擇公理的等價形式 .........163
習題7 ...................................... 167
附錄 B一般測度與積分理論簡介... 168
B.1一般測度空間 ................ 168
B.2積分 ............................. 170
B.3符號測度和 Randon-Nikodym定理 ....................................... 172
參考文獻 ........................................ 175
索引 ............................................... 177
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