本書以集合論基本知識為出發點，重點講授勒貝格測度和勒貝格積分理論，核心是勒貝格積分，而特征函數是聯系可測集、可測函數和勒貝格積分的紐帶. 對于p次可積函數類，從空間的角度刻畫了其整體性質，核心是完備性和可分性. *后通過引入*連續函數概念，獲得了牛頓萊布尼茨公式成立的充要條件.
本書可作為統計學、數學等學科的教材或相關專業人員的參考書.
針對性強：為統計系學生量身定制的教材。
序言
本書第1版是為中國人民大學統計學院統計學專業、精算專業所開設的選修課實變函數論配置的講義。出版過程中，恰逢2011年2月國務院學位委員會第二十八次會議通過了新的《學位授予和人才培養學科目錄》，統計學升為一級學科，設在理學門類中。實際上，現在的一級學科統計學就是將原來的一級學科應用經濟學下的二級學科統計學和一級學科數學下的二級學科概率論與數理統計合并而成，這為我國統計學的進一步發展提供了更大的平臺，同時，對統計學一級學科下的課程體系也提出了更高的要求。為適應這一要求，中國人民大學統計學院將實變函數論這門課程調整為統計學專業的必修課。因此，我們決定出版《實變函數論》第2版，對在這四年的使用中發現的不妥之處進行修改和完善，使得本教材更加嚴謹、科學。自本書第1版出版后，部分兄弟院校的統計學院（系）將本書作為教材并提出了許多寶貴建議，在此特表示感謝。
編者2016年11月
實變函數論是中國人民大學統計學院為本科生開設的一門選修課，總課時約54學時.從實變函數的內在邏輯體系來看，集合及其運算（包括集合列的極限運算）是基礎，開、閉集是構成可測集的基石；而可測集上的特征函數不但是構造一般可測函數的基礎，而且是聯系測度和積分的紐帶，因此，我們對其進行重點講述. 在內容的選取上，本書充分考慮了統計學專業的特點，去掉了一些復雜的數學證明. 在學習勒貝格積分之后，馬上學習Lp空間，為進一步學習概率論與數理統計的后續課程做好準備.本書的編寫力求做到下面兩點：第一，本著由淺入深、循序漸進的原則.比如，第2章測度理論的編寫，先詳細討論直線上勒貝格測度及直線上勒貝格可測集的構造，然后以此為基礎，相關的結論可平行推廣到n維歐氏空間上.由此進一步考慮一般抽象空間上的測度論.第二，注重學以致用.在保持實變函數理論核心知識體系的同時，盡量簡明扼要，使讀者既見樹木又見森林；每章均配備有代表性的例題和習題，這樣不但有助于加深對抽象概念及命題的認識和理解，而且有助于對實變函數理論特有的推理方法的理解和掌握.總之，設置本課程的目的，在于培養學生掌握有關勒貝格測度與勒貝格積分方面的基本知識和技能，培養嚴謹的數學思維能力，提高應用現代數學方法分析和解決問題的能力.教學應達到的總體目標是：1. 使學生系統地掌握各種勒貝格測度、勒貝格積分的定義思想與過程；2. 使學生掌握勒貝格測度與勒貝格積分的特點、應用條件以及與黎曼積分之間的關系；3. 提高學生掌握和運用現代數學基本知識的能力.本書根據作者在中國人民大學統計學院講授實變函數論所積累的講稿整理而成. 課程的助教和幾位研究生為此付出了很多努力，在此表示感謝. 特別要感謝周生彬博士，在內容修改和習題配置方面他花費了許多寶貴時間，沒有他的貢獻，本書很難按時完成. 同時，要感謝中國人民大學統計學院將這本選修課講義列為學院的十二五規劃教材，使得本書有機會完成寫作和出版.由于編者水平所限，謬誤之處在所難免，敬請批評指正.
編者2012年2月
第1章集合與點集1
1.1集合及相關概念1
1.1.1集合的運算2
1.1.2集合列的上極限和下極限4
習題7
1.2映射、基數與可數集8
1.2.1映射8
1.2.2基數（勢）9
1.2.3可數集12
1.2.4不可數集與連續基數16
習題18
1.3Rn中的點集20
1.3.1n維歐氏空間Rn20
1.3.2開集、閉集及其性質25
1.3.3開集與閉集的構造27
習題29
1.4集類選講*31
1.4.1集類31
1.4.2環與代數33
1.4.3單調類35
習題36
第2章測度理論38
2.1勒貝格測度38
2.1.1勒貝格外測度38
2.1.2勒貝格測度的定義42〖1〗目錄〖1〗目錄〖3〗2.1.3勒貝格測度的另一定義45
習題46
2.2勒貝格測度的性質47
習題51
2.3勒貝格可測集的結構與測度空間52
2.3.1勒貝格可測集的結構52
2.3.2測度空間54
2.3.3不可測集舉例56
習題57
第3章可測函數58
3.1可測函數概念及其性質58
3.1.1可測函數概念58
3.1.2可測函數的基本性質61
習題64
3.2可測函數列的收斂性65
3.2.1幾乎處處收斂與幾乎一致收斂65
3.2.2可測函數列的依測度收斂性68
習題71
3.3可測函數的構造72
習題75
第4章勒貝格積分77
4.1黎曼積分存在的充要條件77
4.1.1引入勒貝格積分的常用方法77
4.1.2黎曼可積的充要條件78
習題81
4.2有界函數的勒貝格積分82
習題89
4.3一般可測函數的勒貝格積分90
習題96
4.4積分的極限定理96
習題104
4.5乘積測度和富比尼定理104
4.5.1乘積測度與勒貝格積分的幾何意義104
4.5.2富比尼定理106
習題107
第5章Lp空間108
5.1Lp空間的范數與度量108
習題115
5.2Lp空間的性質116
習題122
5.3L2空間123
習題130
第6章微分與不定積分132
6.1有界變差函數132
6.2單調函數的導數136
6.3絕對連續函數與勒貝格不定積分139
6.3.1絕對連續函數140
6.3.2牛頓萊布尼茨公式143
習題144
索引146
參考文獻148
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